nbres trigo

-1-
5.1. Angles et triangles rectangles.
5.2.1. Observations :
Si par un point situé sur le côté d'un angle aigu, on mène une perpendiculaire à l'autre côté, on
obtient un triangle rectangle.
Pour un angle donné, tous les triangles ainsi construits sont semblables (car ils ont tous …….)
A
A
C
B
B
C
5.5.2 Construction des nombres trigonométriques
Dans les trois triangles rectangles semblables ainsi construits, observons :
1er rapport
•
Triangles ADG et ACF
A
AD AC
=
par Thalès
AG AF
E
•
Dans les triangles ACF et AEB
AE AB
=
(Triangles semblables)
AC AF
B
C
F
Et donc en permutant les moyens :
D
AE AC
=
AB AF
En résumé :
G
AD AC AE Coté adjacent de l ' angle
=
=
=
Hypoténuse
AG AF AB
En français:
Pour un angle donné A, dans tous les triangles rectangles construits ayant A comme angle
aigu, le rapport entre le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse est constant.
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-22ème rapport :
•
A
Dans les triangles semblables ADG et ACF :
CF AF
CF DG
=
et donc
=
(en permutant…..)
DG AG
AF AG
•
Dans les triangles semblables ACF et AEB :
CF AF
CF BE
=
et donc
=
BE AB
AF AB
E
B
F
C
CF DG BE cot é opposé à l ' angle
=
=
=
En résumé :
Hypoténuse
AF AG AB
G
D
En français :
Pour un angle donné A, dans tous les triangles rectangles construits ayant A comme angle
aigu, le rapport entre le côté opposé à l'angle et l'hypoténuse est constant.
3ème rapport.
•
A
Dans les triangles semblables ABE et AFC :
BE AE
BE CF
=
et donc
=
CF AC
AE AC
•
E
B
Dans les triangles semblables AFC et AGD
CF AC
CF DG
=
et donc
=
DG AD
AC AD
En résumé :
C
BE CF DG
cot é opposé à l ' angle
=
=
=
AE AC AD cot é adjacent à l ' angle
D
En français
Pour un angle donné A, dans tous les triangles rectangles construits ayant A comme angle
aigu, le rapport entre le côté opposé à l'angle et le côté adjacent à l'angle est constant.
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F
G
-3-
5.2.3 Définitions et remarques
Dans tout triangle rectangle :
•
Le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse
•
Le sinus d'un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l'angle et l'hypoténuse
•
La tangente d'un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l'angle aigu et le côté
adjacent à l'angle
B
Complète :
=
cos B
=
sin B
cos A=
sin A=
=
tg B
tg A=
A
C
Conséquences :
1. Dans tout triangle rectangle, le sinus de chacun des angles aigus est égal au cosinus de
l'autre angle aigu.
= cos A
sin A = cos B
et
sin B
2. Dans tout triangle rectangle la tangente d'un angle aigu est égale au quotient du sinus
de cet angle par son cosinus. A justifier.
sin A
= tg A
cos A
Remarques :
1. Si l'amplitude de l'angle est donnée en degrés, par exemple 17°, on écrira :
cos 17°, sin17°, tg 17° (ou tan17°)
2. On note cos²Â au lieu de (cosÂ)² (même chose pour sin et tg)
3. Les nombres cos Â, sin  et tg  sont appelés les nombres trigonométriques de l'angle
aigu Â
4. La trigonométrie est donc l'étude des relations entre les longueurs des côtés d'un
triangle rectangle et les amplitudes de ses angles.
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Petit exercice
a
b
B
A
c
a) sans calculatrice, complète le tableau suivant :
1
2
a
3
4
10
b
3
c
4
Sin B
5
8
0.5
Cos B
0.3
Tan B
2
Sin C
Cos C
Tan C
b) Fais de même en utilisant la calculatrice
1
2
a
b
4
3
4
5
6
2
c
Sin B
Cos B
Tan B
Sin C
Cos C
Tan C
B
C
45°
30°
30°
60°
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