x trigonométriques rayon

1
Module 7 • Les rapports trigonométriques
MODULE 7
Les rapports trigonométriques
CORRIGÉ p. 135
Préparation
1. a)
b) Vrai, car les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
c)
d)
2. L’affirmation est fausse.
Les triangles rectangles ci-dessous ne sont pas semblables, car ils n’ont qu’une paire d’angles homologues isométriques
(leurs angles droits).
3. a) 1b)
CORRIGÉ, p. 136
Activité 1
a) La valeur des rapports dépend de la mesure de l’angle aigu choisie par l’élève. Les différentes valeurs possibles
apparaissent dans le tableau du point d), ci-dessous.
b) et c)
Dans le cas de triangles rectangles ayant la même mesure d’angle aigu, la valeur du rapport 1 est la même, celle du
rapport 2 est la même et celle du rapport 3 est la même. Tous les triangles rectangles ayant le même angle aigu sont
semblables par la propriété des triangles semblables A-A.
d)
e) La valeur du rapport (1, 2 ou 3) est en relation avec la mesure de l’angle aigu. Ainsi, si la mesure de l’angle aigu varie,
celle de chacun des rapports variera aussi. De plus, tous les triangles rectangles semblables ont des rapports 1 équivalents,
des rapports 2 équivalents et des rapports 3 équivalents.
CORRIGÉ, p. 137
Activité 2
a) Le sinus d’un angle est associé au rapport 1.
Le cosinus d’un angle est associé au rapport 2.
La tangente d’un angle est associée au rapport 3.
MESURE DE L’ANGLE RAPPORT 1 RAPPORT 2 RAPPORT 3
20° 0,3420 0,9397 0,3640
30° 0,5000 0,8660 0,5774
45° 0,7071 0,7071 1,0000
60° 0,8660 0,5000 1,7321
70° 0,9397 0,3420 2,7475
6
10
3
5
ou
a
cb cc ab
,,1
c
ac bab
c
,,1
cab5 1
22

2Module 7 • Géométrie
CORRIGÉ, p. 137 (suite)
b) Angle dont la valeur du sinus est 0,5.
Puisque le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle se décrit comme suit:
, on peut conclure que, dans un triangle rectangle comportant un angle aigu de 30°,
la mesure du côté opposé à cet angle est la moitié de celle de l’hypoténuse.
Angle dont la valeur du cosinus est 0,5.
Puisque le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle se décrit comme suit:
, on peut conclure que, dans un triangle rectangle comportant
un angle aigu de 60°, la mesure du côté adjacent à cet angle est la moitié de celle de l’hypoténuse.
Angle dont la valeur de la tangente est 1.
Puisque la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle se décrit comme suit:
, on peut conclure que, dans un triangle rectangle comportant un angle aigu
de 45°, la mesure du côté opposé à cet angle est égale à celle du côté adjacent à ce même angle aigu.
Par conséquent, ce triangle rectangle est isocèle.
c) Évolution des valeurs du sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle Dans le cas d’une hypoténuse fixe, la mesure
du côté opposé à l’angle aigu augmente au fur et à mesure que l’angle aigu augmente, s’approchant ainsi de la mesure
de l’hypoténuse. Par conséquent, la valeur du rapport sinus s’approche de 1 au fur et à mesure que l’angle aigu augmente.
La valeur du sinus varie donc dans l’intervalle ]0,1[.
Évolution des valeurs du cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle
Dans le cas d’une hypoténuse fixe, la mesure du côté adjacent à l’angle aigu diminue au fur et à mesure que l’angle aigu
augmente, s’approchant ainsi d’une valeur nulle. Par conséquent, la valeur du rapport cosinus s’approche de 0 au fur et
à mesure que l’angle aigu augmente.
La valeur du cosinus varie donc dans l’intervalle ]0,1[.
Évolution des valeurs de la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle
Dans le cas d’une hypoténuse fixe, la mesure du côté opposé à l’angle aigu augmente et celle du côté adjacent diminue
au fur et à mesure que l’angle aigu augmente. Ainsi, la valeur du rapport tangente augmentera de plus en plus, puisque
le premier terme du rapport a une valeur de plus en plus grande et le second terme, une valeur de plus en plus petite.
Par conséquent, la valeur du rapport tangente est inférieure à 1 lorsque l’angle aigu est plus petit que 45°, égale à 1
lorsque l’angle est de 45° et supérieure à 1 lorsqu’il est plus grand que 45°.
La valeur du rapport tangente varie donc dans l’intervalle ]0, ⫹∞[.
d) 1) Affirmation vraie. 2) Affirmation vraie.
e) Activité de partage et de validation.
CORRIGÉ, p. 138
Activité 3
a) Triangle 1: Triangle 2:
Triangle 3:
Triangle 4:
mesure du côté opposé à l’angle
mesure de
A
ll ’ h y p o t é n u s e 
mesure du côté opposé à l’angle
mesure du
A
ccôté adjacent à l’angle  A
mesure du côté adjacent à l’angle
mesure d
A
ee l’hypoténuse 
<20°
<70° 1,34
3,68
<3,92
20°
70°
<25,54
<8,74
24
70°
50°
<4,50
<5,36
7
80°
10°
<7,11
1,35
7,22

3
Module 7 • Les rapports trigonométriques
CORRIGÉ, p. 138 (suite)
Triangle 5: Triangle 6:
b) Activité de partage et de validation.
c) Les élèves devraient tous et toutes obtenir les mêmes mesures d’angles et de côtés pour chacun des triangles.
Le tableau de valeurs permet de trouver la valeur du sinus, du cosinus ou de la tangente d’un angle, qui servira à trouver
la mesure d’un côté. On peut également utiliser les données du tableau de façon inverse: en connaissant le sinus, le
cosinus ou la tangente d’un angle aigu, on peut déterminer la mesure de cet angle dans le triangle rectangle.
d) m∠F⫽80° m ⫽7,88 unités m 1,39 unité
m∠G⫽30° m ∠H⫽60° m 4,21 unités
CORRIGÉ, p. 139 et 140
Activité 4
a) Triangles avec angle de 30° et angle de 60° : les cathètes mesurent unité et unité.
Triangle avec angle de 45° : chaque cathète mesure unité.
b) Voir le schéma ci-contre.
c) Les coordonnées sur l’axe des abscisses
correspondent aux cosinus des angles, et celles
sur l’axe des ordonnées correspondent
aux sinus des angles.
d),e) et f) Voir le schéma ci-contre.
g) Si le rayon du cercle était de 2 unités, la valeur de
chaque coordonnée doublerait. Si le rayon du cercle
était de 0,5 unité, la valeur de chaque coordonnée
serait divisée par 2. Si le rayon du cercle était de
8 unités, la valeur de chaque coordonnée serait
8 fois plus grande. De façon générale, pour
un rayon de kunités, la valeur de chaque coordonnée
serait multipliée par k.
h) Il s’agit d’une homothétie dont le centre est à l’origine du plan et de rapport k.
CORRIGÉ, p. 143
Exercices
1. a) 1) sin A⫽0,8000 b) 1) sin A⫽0,3846
2) cos A⫽0,6000 2) cos A⫽0,9231
3) tan A⫽1,3333 3) tan A⫽0,4167
4) sin B⫽0,6000 4) sin B⫽0,9231
5) cos B⫽0,8000 5) cos B⫽0,3846
6) tan B⫽0,7500 6) tan B⫽2,4000
2. a) m∠B⫽50°, m 4,77 cm, m 6,22 cm
b) m∠B⫽65°, m 8,16 cm, m 3,80 cm
c) m∠B⫽60°, m ⫽14 cm, m 12,12 cm
d) m∠A⫽45°, m ∠B⫽45°, m 11,31 cm
e) m∠C⫽90°, m 3,86 cm, m 3,73 cm
f) m∠A⫽53,13°, m ∠B36,87°, m ⫽5 cm
3. a) 30° et 60° b) 25° et 65° c) 10° et 80°
AB
AB
AC
AB
AB
AC
AC
BC
AC
AB
3
2
1
2
2
2
GI
DE
EF
65°
25°
12
<13,24
<5,60
45°
45°
<3,54
5
<3,54
21
2,3
2
()
P3
1
2,3
2
()
P2
2
2,2 2
()
P1
3
2,1
2
()
3
2,21
2
()
2
2,22 2
()
1
2,23 2
()
21
2,23
2
()
22
2,22 2
()
23
2,21 2
()
23
2,1
2
()
22
2,2 2
()

4Module 7 • Géométrie
CORRIGÉ, p. 144
4. a) x8,0 unités c) x4,7 unités
b) x17,9 unités d) x16,2 unités
5. a) 12,5 cm d) 10 cm
b) 12 cm e) 3,46 cm
c) 14 cm f) 14,14 cm
6. a) Faux. d) Vrai.
b) Vrai. e) Vrai.
c) Faux.
7. a) 3d) 2
b) 1e) 5
c) 4
CORRIGÉ, p. 145
8. a) m∠BAC ⫽45°, car le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle et que chacun de ses angles aigus mesure 45°,
soit 90° ⫼2 (les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires).
b) m∠8,4853 cm
c) 1) sin 45° 0,7071 2) cos 45° 0,7071
9. a) m∠A35° b) m∠A46° c) m∠A56°
10.a) m∠A48°, car tan A⫽, m ∠Atan⫺11,1154, m ∠A48,1221°
m∠B42°, car tan B⫽, m ∠Btan⫺10,8966, m ∠B41,8779°
b) m∠G36°, car cos G⫽, m ∠Gcos⫺10,8095, m ∠G35,9506°
m∠H54°, car sin H⫽, m ∠Hsin⫺10,8095, m ∠H54,0494°
c) m∠D45°, car sin D⫽, m ∠Dsin⫺10,7090, m ∠D45,1518°
m∠F45°, car cos F⫽, m ∠Fcos⫺10,7090, m ∠F44,8482°
d) m∠J10°, car sin J⫽, m ∠Jsin⫺10,1731, m ∠J9,9697°
m∠L80°, car cos L⫽, m ∠Lcos⫺10,1731, m ∠L80,0301°
11.a) sin 27° 0,4540 c) cos 75° 0,2588 e) cos 102° ⫺0,2079
b) sin 78° 0,9781 d) sin 102° 0,9781
CORRIGÉ, p. 146
12.a) tan θ⫽5 0,577 c) tan θ⫽5 2,142
b) tan θ⫽5 1 d) tan θ⫽5 5,661
13.a) m∠B32°, m ∠C130°, m 34,7 cm et m 14 cm
Aire du triangle: 128,67 cm2
b) m∠A20°, m ∠B70°, m ∠C⫽90°, m 10,6 cm et m 3,6 cm
Aire du triangle: 18 cm2
14.a) 0,125 b) 0,5 c) 0,5
15.a) 60° b) 30° c) Ad) 90° – A
16.a) 0,25 b) 0,75 c) 0,4830 d) 1,5 e) 0,3572
17.a) 30° b) 60° c) 45° d) 0° e) 90°
10 3 6
2
3,
AB
BC
24 18 34 7
2
sin °3,
AB
BC
125
722
,
,
125
722
,
,
229
323
,
,
229
323
,
,
17
21
17
21
26
29
29
26
AC

5
Module 7 • Les rapports trigonométriques
CORRIGÉ, p. 147
18.a) 45° b) 60° c) 30° d) 30°
19.a) 0b) c) d) e) 1
20.
21. a),d),h) et i)
b),e),f) et j)
c),g),k) et l)
CORRIGÉ, p. 148
Consolidation
1. La mesure de l’angle d’élévation est d’environ 2°.
En effet, la distance horizontale entre Éléonor et le ballon est de 1200 mètres, et la distance verticale entre Éléonor
et le ballon est de 42 mètres, soit 32 m ⫹11,4 m ⫺1,4 m.
Donc,
θ⫽2,006
2. a) Au rapport tangente.
b) La dénivellation sera d’environ 16 m, soit 0,08 ⫻200 m.
3. La longueur de la surface de la rampe est d’environ 287,94 cm ou 2,88 m.
Soit x, la longueur de la surface de la rampe.
4. Émilie est à environ 15,72 m du poteau.
Soit x, la distance qui la sépare du poteau.
CORRIGÉ, p. 149
5. a) Le poteau mesure environ 8,18 m.
En effet, la hauteur du poteau est x⫹1,25, où x⫽12 ⫻tan 30° 6,93.
Hauteur du poteau 6,93 m ⫹1,25 m 8,18 m.
b) L’angle entre l’échelle et le sol est d’environ 65,5°.
Démarche:
L’échelle est appuyée au tiers du poteau mesurant 8,18 m, soit à 2,73 m.
La mesure de l’angle est sin⫺10,91 ⫽65,5°.
6. a) La longueur de la corde est d’environ 3,3 m. En effet, la corde est fixée à l’arbre à 2,7 m du sol, soit
Donc, la longueur de la corde
b) La corde est à environ 1,9 m du pied de l’arbre. En effet, si xest la longueur recherchée,
PP P
12 3
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
222
,,,
( )( )( )
x527 1 8974
,,.
tan 55°
ø
tan 55° 527,
x
27 32961 ,,
sin 55 m. °
ø
3
43363,.
mesure du côté opposé à l’angle
mesure de l’hhypoténuse 55
273
3091
,,
sin 8,5 1,5,7
sin
24 24 15 72°° 525
xxø,
sin 50 ,50
sin
10 10 287 94°° 55
xxø,
sin mesure du côté opposé à l’angle
mesure
u5du côté adjacent à l’angle 55
42
1200 0035,