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C6 - Trigonométrie
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6.1 Angles orientés
6.1.1 Cercle trigonométrique
D ÉFINITION 1
Le cercle trigonométrique C de centre O est le cercle de centre O, de rayon 1 unité et orienté dans le sens
direct (sens giratoire).
6.1.2 le radian
D ÉFINITION 2
Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur
de l’arc que cet angle au centre intercepte sur le cercle trigonométrique.
Par exemple, un angle plat mesure π radian ; un angle droit
π
rad.
2
P ROPRIÉTÉ 1
Les mesures en degrés et en radians d’un angle sont proportionnelles.
Il faut juste se souvenir que π radians correspond à 180 ° puis effectuer un tableau de proportionnalité !
6.1.3 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls
D ÉFINITION 3 (Angle orienté)
Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan orienté.
On appelle angle orienté, noté (~
u;~
v ), le couple de ces deux vecteurs.
Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point quelconque et C le cercle trigonométrique de
centre O.
−−→
−−→
On considère A ′ et B ′ les points définis par O A ′ = ~
u et OB ′ = ~
v.
Les demi-droites [O A ′ ) et [OB ′ ) coupent le cercle trigonométrique C respectivement en A et en B (voir le
schéma ci-contre).
D ÉFINITION 4 (Mesures d’un angle orienté)
y
Une mesure de l’angle orienté (~
u;~
v ), en radian, est une mesure de l’arc orienté associé AB du cercle trigonométrique.
En pratique, il convient de travailler avec les angles géométriques puis d’orienter l’angle.
Par exemple, ABCD est un carré de centre O dans le sens direct.
Déterminer une mesure des angles suivants :
−→ −→
−−→ −−→
−→ −−→
( AB ; AC )
(OC ; OB)
( AB ; C D).
A′
×
~
v
B
A
~
u
×
B′
×
O
N. SANS
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R EMARQUE
1) Si une des mesures de (~
u;~
v ) est α, alors toutes les mesures sont de la forme α + k × 2π avec k ∈ Z.
2) Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures.
On écrit par exemple (~
u;~
v ) = π2 signifiant qu’une des mesures de (~
u;~
v ) est π2 , les autres étant de la forme
π
+ k × 2π avec k ∈ Z.
2
On écrit aussi (~
u;~
v ) = π2 + k × 2π avec k ∈ Z, ou encore (~
u;~
v ) ≡ π2 [2π] qui se lit « π2 modulo 2π ».
143π
7π
et −
sont-ils les mesures en radian d’un même angle orienté ?
3)
5
5
D ÉFINITION 5 (Mesure principale)
La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté qui appartient à ] − π ; π].
E XEMPLE 1
Déterminer la mesure principale des angles orientés de vecteurs suivants : (~
u;~
v) =
−
27π
.
5
290π
~′ ; ~
puis (u
v ′) =
6
R EMARQUE
1) Quand on connaît la mesure principale d’un angle orienté de vecteurs, alors on peut écrire toutes les valeurs de la mesure de cette angle !
ƒ = |α| où α est la mesure
2) Si M, N et O sont trois points distincts du plan, alors l’angle géométrique MON
−−→ −−→
principale de l’angle orienté de vecteurs (OM ; ON ).
D ÉFINITION 6 (Colinéarité, orthogonalité)
Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan orienté.
• Dire que ~
u et ~
v sont colinéaires revient à dire que
la mesure principale de (~
u;~
v ) est 0 (angle nul) ou
est π (angle plat).
• Dire que ~
u et ~
v sont orthogonaux revient à dire
que la mesure principale de (~
u;~
v ) est π2 (angle
π
droit direct) ou − 2 (angle droit indirect).
D ÉFINITION 7 (Repère orthonormal direct ou indirect)
¡
¢
¡
¢
Soit O ;~ı,~ un repère du plan. On dit que O ;~ı,~ est :
• indirect si une des mesures (~ı ; ~) est − π2 .
• direct si une des mesures de (~ı ; ~) est π2 ;
6.1.4 Propriétés des mesures des angles orientés
P ROPRIÉTÉ 2
Soit un vecteur non nul ~
u du plan orienté et k ∈ R.
• (~
u; ~
u ) = 0 et (~
u ; −~
u ) = π.
• Si k > 0 alors (~
u ; k~
u ) = 0.
Démonstration. Cela découle de la définition 6.
• Si k < 0 alors (~
u ; k~
u ) = π.
♦
P ROPRIÉTÉ 3 (Relation de C HASLES ADMIS)
~ trois vecteurs non nuls du plan orienté.
Soit ~
u, ~
v et w
~ ) = (~
~)
(~
u;~
v ) + (~
v;w
u; w
On en déduit :
P ROPRIÉTÉ 4
Soit ~
u et ~
u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k ′ deux réels.
• (~
u;~
v ) = −(~
v;~
u ).
• (~
u ; −~
v ) = (~
u;~
v ) + π.
u;~
v ) + π.
u;~
v ) = (~
• (−~
• (−~
u ; −~
v ) = (~
u;~
v ).
′
v ) = (~
u;~
v ).
• Si k et k sont de même signe, (k~
u ; k ′~
′
v ) = (~
u;~
v ) + π.
• Si k et k sont de signes opposés, (k~
u ; k ′~
Les preuves seront faites en classe.
N. SANS
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6.1.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté
Sauf indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal
¡
¢
direct O ;~ı,~ ; on considère le cercle trigonométrique C de centre O.
D ÉFINITION 8 (Cosinus et sinus d’un réel)
Pour
réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure de
³−−→ tout
−−→´
O A ; OM .
• L’abscisse du point M est le cosinus de x (noté cos x).
• L’ordonnée du point M est le sinus de x (noté sin x)
D ÉFINITION 9 (Cosinus et sinus d’un angle orienté)
Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. le sinus) de l’angle orienté de vecteurs (~
u;~
v)
est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note cos(~
u;~
v ) et sin(~
u;~
v ).
Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique
 formé par ~
Notons α la mesure en radians de l’angle géométrique AOB
u et ~
v , et notons x la mesure principale
de (~
u;~
v ) . On a α = |x|. Deux cas se présentent :
• si x > 0, |x| = x et par suite cos α = cos x ;
• si x 6 0, |x| = −x et par suite cos α = cos(−x) = cos x
 ).
u;~
v ) = cos( AOB
On a donc cos(~
 ) = | sin(~
Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin( AOB
u;~
v )|
6.2 Trigonométrie
6.2.1 Rappels
P ROPRIÉTÉ 5 (fondamentale)
cos2 x + sin2 x = 1
∀x ∈ R,
P ROPRIÉTÉ 6 (Sinus et cosinus des angles usuels)
x
0
sin x
0
cos x
1
π
6
1
2
p
3
2
π
4
p
2
2
p
2
2
π
3
p
3
2
1
2
π
2
1
0
P ROPRIÉTÉ 7
Pour tout réel x,
−1 6 cos(x) 6 1
et
− 1 6 sin(x) 6 1.
De plus, Pour tout entier relatif k, cos(x + k(2π)) = cos(x) et sin(x + k(2π)) = si n(x).
R EMARQUES
.
1. cos et sin d’un angle ne dépend pas de la mesure choisie.
2. Par exemple, cos(x + 8π) = cos(x + 4(2π)) = cos(x) .
sin(x)
π
.
3. Pour tout réel x 6= + kπ avec k ∈ Z, tan(x) =
2
cos(x)
N. SANS
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6.2.2 Lignes trigonométriques
Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le
premier cadran.
¢
¡
cos π2 + x = − sin x
¡
¢
sin π2 + x = cos x
π
2
¢
¡
cos π2 − x = sin x
¡
¢
sin π2 − x = cos x
π
2
+x
−x
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π−x
x
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
π+x
−x
E XEMPLE 2
Calculer : cos(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
4π
79π
5π
) puis sin( ) et enfin cos(
).
6
3
6
6.2.3 Résolutions d’équations trigonométriques
Résoudre une équation trigonométrique c’est résoudre une équation de la forme cos x = α ou sin x = α où α
est un réel donné.
P ROPRIÉTÉ 8
Soit une équation de la forme cos x = a avec a ∈ [−1 ; 1].
Si on trouve un α tel que cos α = a alors l’équation est équivalente à l’équation cos x = cos α et les solutions
de l’équation sont les réels α + k × 2π et les réels −α + k × 2π, où k entier quelconque.
P ROPRIÉTÉ 9
Soit une équation de la forme sin x = a avec a ∈ [−1 ; 1].
Si on trouve un α tel que sin α = a alors l’équation est équivalente à l’équation sin x = sin α et les solutions
de l’équation sont les réels α + k × 2π et les réels π − α + k × 2π, où k entier quelconque.
E XEMPLE 3
Résoudre les équations suivantes dans R puis donner toutes les solutions dans [0 ; 4π].
1. cos(x) = −
N. SANS
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2
2. sin(2x) =
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