Exercices guidés pendant mon absence

A COLLER PARTIE
LECON
LES MODELES A BIEN LIRE ET RELIRE AVANT DE COMMENCER
Exercice 1
On considère ce triangle rectangle ABC :
C
On connaît : AB = 5 et BC = 2
2cm
On cherche l’angle x (on peut aussi dire l’angle d
A ). Arrondir au degré. A
x
B
5 cm
La question que vous devez vous poser est :
« dois-je utiliser le cosinus, le sinus ou bien la tangente ? »
Pour y répondre : regardez bien les données que vous avez :
AB qui est le côté adjacent
BC qui est le côté opposé
La seule formule des 3 qui utilise les côtés adjacents et opposés est la TANGENTE
(pensez à CAH SOH TOA )
MODELE DE REDACTION :
1. Dans le triangle ABC rectangle en B :
2.
3.
BC
AB
2
tan x =
5
tan x =
Sur la calculatrice on tape tan–1 (2 ÷ 5)
4.
donc x ≈ 22°
Exercice 2
On considère ce triangle rectangle ABC :
On connaît : BC = 5 et x = 25°
On cherche : AC. Arrondir au millimètre.
C
?
A
25°
5 cm
B
« dois-je utiliser le cosinus, le sinus ou bien la tangente ? »
AC, que je cherche est l’hypoténuse
BC qui est le côté opposé
La seule formule des 3 qui utilise le côté opposé et l’hypoténuse est le SINUS
(pensez à CAH SOH TOA )
MODELE DE REDACTION :
1. Dans le triangle ABC rectangle en B :
2.
3.
BC
AC
5
sin 25° =
AC
sin d
A =
AC =
4.
5
sin25°
donc AC ≈ 11,8 cm
Ce sont les produits en
croix qui permettent
d’écrire ça !!
Valeur exacte
Arrondi au millimètre
1
Suite et fin du cours. A compléter et à coller dans le cahier de leçon. A APPRENDRE !!!
III. valeurs particulières
En général, quand on tape sur la calculatrice des valeurs du style cos 37° , ou tan 75°, ou sin 61° on
s’aperçoit que cela ne « tombe pas juste ».
Certaines valeurs tombent juste, pour l’instant on va en apprendre (par cœur ) deux :
(tapez vous même)
cos 60° =
sin 30° =
IV. Relations entre sinus, cosinus et tangente
1. Première relation
Activité : A la calculatrice, tapez : tan 37° ≈…………………………..
sin(37°)
Et maintenant tapez
≈…………………………..
cos(37°)
Vous remarquez que cela donne le même résultat.
Essayez avec d’autres angles aigus (par exemple, tapez tan 72°, puis
Prouvons que si α est un angle aigu, on a
tan α =
sin(72°)
) Même remarque ? ……..
cos(72°)
sin α
cos α
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
BC
AB
BC
sin α =
cos α =
tan α =
AC
AC
AB
A
α
Donc :
BC
sin α
BC AC BC
= AC =
×
=
= tan α
cos α AB AC AB AB
AC
Retenons par cœur :
tan α =
C
B
sin α
cos α
Applications :
1. α est la mesure d’un angle aigu. On donne cosα = 0,6 et sinα = 0,8.
Calcule tanα.
Réponse : d’après la formule, on a :
sin α
= ……………………… (donne la réponse sous forme de fraction irréductible)
tanα=
cos α
2
4
2. Calcule sinβ sachant que tan β =
et cos β =
3
.
3
5
Réponse : d’après la formule, on a :
sin β
tan β =
cos β
4 sin β
=
3
3
5
Donc d’après les produits en croix : sinβ = …………………………………………….
2. Deuxième relation
Activité :
A la calculatrice, tapez : (cos37°)2 + (sin 37°)2 =………….
A la calculatrice, tapez : (cos21°)2 + (sin 21°)2 =………….
A la calculatrice, tapez : (cos76°)2 + (sin 76°)2 =………….
Essayez avec d’autres angles aigus Même remarque ? ……..
Prouvons que ( sin α ) + ( cos α ) = 1 pour tout angle α aigu
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
BC
AB
sin α =
cos α =
AC
AC
A
2
( sin α )
2
2
2
α
2
2
 BC   AB 
+ ( cos α ) = 
 +

 AC   AC 
BC2 + AC2
=
B
AC2
2
AC
=
( d’après le th de Pythagore)
AC2
=1
Retenons par cœur :
( sin α )
2
C
+ ( cos α ) = 1
2
Applications :
2
3
2
+ ( cos α ) = 1
α étant la mesure d’ un angle aigu avec cosα= , calculer sinα puis tanα sans chercher à calculer α.
d’après la formule : ( sin α )
2
2
2
2
  + ( cos α ) = 1
 3
donc : ( sin α ) = 1 −
2
donc : ( sin α ) =
2
Calcul de tanα :
5
sin α
5
tan α =
= 9 =
2
cos α
2
3
5
9
4
9
donc : sin α =
5
9
3
NOM : ………………………
Rédige ici
Exercices de base : à toi de faire (seul !!!).
C’est le même modèle que la page 1 collée dans la leçon.
ABC est un triangle rectangle en A tel que
AC = 2 cm et BC = 6 cm.
C
x
A
B
Calculer la mesure de l’angle x arrondie au degré.
ABC est un triangle rectangle en A tel que
x = 50° et BC = 6 cm.
Calculer la longueur de [AC] arrondie au centième.
C
x
A
B
IJK est un triangle rectangle en K tel que
IK = 5 cm et IJ = 13 cm.
K
J
x
I
Calculer la mesure de l’angle x arrondie au dixième
RST est un triangle rectangle en S tel que
x = 57° et ST = 19 m.
R
S
x
T
Calculer la longueur de [RS] arrondie au centimètre.
4
NOM : ……………………………….
Un peu plus dur : exercices du Brevet :
EXERCICE 1 (FACILE)
Dans le triangle ABC de hauteur [AH]
représenté ci-dessous, on donne :
Coup de pouce :
1. se placer dans le triangle ACH !!
2. Se placer dans le triangle ABH.
Attention, on ne peut pas se placer dans le triangle ABC
car on ne sait pas qu’il est rectangle !!!
AC = 4 cm ; BH = 1,5 cm ; a
ACB = 30°
A
Rédige ici :
4
30°
B 1,5 H
1.
2.
C
Calculer la valeur exacte de AH.
En déduire la valeur arrondie au degré
prés de ma mesure de l’anglea
ABC.
EXERCICE 2 (FACILE)
L’unité de longueur est le mètre. Le dessin n’est
pas à l’échelle.
1.
Roméo (R) veut rejoindre Juliette (J) à sa
fenêtre. Pour cela il place une échelle [JR] contre
le mur [JH]. Le mur et le sol sont
J
perpendiculaires.
On donne HR = 3 et JH = 4
a. Calculer JR.
Coup de pouce :
1. a) pas besoin de trigo…pensez au vieux Py………….
b) facile
2. a) attention à l’arrondi : combien de chiffres après la
virgule ?
Rédige ici :
b. Calculer cosa
HJR , puis la valeur de
l’angle a
HJR arrondie au degré.
2.
L’échelle glisse.
H
R
On donne : JR = 5 et a
HJR = 40°
a. Calculer HR (donner la valeur arrondie
au centimètre).
b. Écrire l’expression tan a
HJR ,
puis calculer JH (donner la valeur arrondie au
dixième)
5
EXERCICE 3 (FACILE)
On appelle (C) le cercle de centre O et de
diamètre [AB] tel que : AB = 8cm.
^ = 40°.
M est un point du cercle tel que : BAM
Rédige ici :
1. Faire la figure en vraie grandeur au dos.
2. Quelle est la nature du triangle BAM ?
Justifier.
3. Calculer la longueur BM arrondie au dixième.
Exercices de réflexion du livre (avec aide !!! )
Ne regardez l’aide que si vous bloquez, au contrôle, il n’y aura pas d’aide !!
A faire dans le cahier d’exercices, très sérieusement.
N° 61 p 184
Aide :
Ce n’est pas dit dans l’énoncé (c’est mal !), mais les triangles ABS et ABD sont rectangles en B.
De même, (AB) et (CD) sont parallèles donc BD = 3 m.
Il ne reste plus qu’à calculer SB pour avoir la hauteur de l’immeuble.
Mais dans le triangle ABS on ne connaît qu’un angle, il nous faudrait aussi connaître une
longueur… AB par exemple.
Vous pouvez calculer AB dans le triangle …..
Réponse : h ≈ 7, 75 m
N° 61 p 184
Aide :
Attention en faisant la figure !! 4 cm c’est le RAYON, pas le diamètre.
Une fois la figure faite, vous voyez bien qu’il nous faudrait des triangles rectangles pour utiliser la
trigonométrie… Où donc en trouver ?? Facile !! Expliquez pourquoi ils le sont !
Mes conseils pour la suite : Calculez d’abord la mesure de a
BAC dans le triangle rectangle ……
Calculez ensuite la mesure de a
BAD dans le triangle rectangle ……
CAD, il ne reste plus qu’à soustraire !!!
Pour calculer a
a ≈ 37°
Réponse : CAD
N° 73 p 186
6