Chapitre 5 : Puissances

5. Les puissances
1. Puissances entières d'un nombre relatif
Activité d'introduction : Pour la sortie de la nouvelle version d’un jeu vidéo, un message
publicitaire est diffusé sur les réseaux sociaux. Entre 10h et 11h, trois personnes prennent
connaissance du message.
On suppose que le nombre de personnes prenant connaissance du message triple durant chacune des
heures suivantes.
Combien de personnes prendront-elles connaissance du message entre 11h et 12h ?
Entre 14h et 15h ?
David effectue le calcul 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3. A quoi la réponse correspond-elle pour notre
situation ?
David dit à son amie : « Entre 22h et 23h, plus d’un million de personnes prendront connaissance
du message. », est-ce possible ?
Activité d’introduction n°2 : Complète le tableau ci-dessous.
a−3
a−2
a0
a−1
a1
a2
a3
=..............
..............
Définition : Pour tout a nombre relatif et tout n nombre entier supérieur ou égal à 2, on a
a 1=a
n
a =a×a×...×a
⏟
a 0=1 si a est non nul
n fois
1
si a est non nul.
n
a
Exemple : Écris les puissances suivantes sous forme décimale ou fractionnaire.
4
54 = → 625
014 = → 0
(−2) = → 16
7−2 = →
a−n=
136 = → 1
3
(
−2
) = →
5
−8
125
1
1
=
7² 49
−24 = → -16
Remarque : a−1 représente l’inverse de a .
Vocabulaire : a n se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Avec la calculatrice : Pour écrire une puissance, on utilise la touche x
xy .
(casio) ou
^ (TI) ou
Remarque 1 : Un nombre négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif.
Remarque 2 : Un nombre négatif élevé à une puissance impaire donne un résultat négatif.
Propriété (admise) : Dans un calcul, on effectue dans l'ordre :
1. les calculs entre parenthèses ;
2. les puissances ;
3. les multiplications et les divisions ;
4. les additions et les soustractions.
Exemple : Calcule A=5×2 3−100. → A=5×8−100=40−100=−60.
Exercices
2. Puissances de 10 et préfixes
Activité d'introduction : Complète les égalités suivantes.
10 = 10…
0,1 =
1
1
= .... .
....... 10
1
1
=
.
0,01 =
....... 10....
1
1
= .... .
0,001 =
....... 10
1
.
0, 000 000 1 =
10 ....
100 = 10 x ….. = 10…
1000 = 10 x ….. x …… = 10…
1 000 000 = 10…
Propriété (admise) : Quel que soit le nombre entier strictement positif n, on a
10n=10.
..0
⏟
10−n=0,0...0
⏟1
n zéros
n zéros
Exemple : Écris sous forme décimale.
6
10 = → 1 000 000
10−5 = → 0,000 01
On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l’écriture de mesures exprimées en puissances de
10 de certaines unités.
Préfixe
giga
méga
kilo
unité
milli
micro
nano
Symbole
G
M
k
10n
109
106
103
100 = 1
m
μ
n
10-3
10-6
10-9
Propriété (admise): Pour multiplier un nombre en écriture décimale :
• par 10n , on décale la virgule de n rangs vers la droite,
• par 10−n , on décale la virgule de n rangs vers la gauche,
en complétant éventuellement avec des zéros.
Exemple : Calcule.
3,5×10 4 = → 35 000
0,23×10 7 = → 2 300 000
3,5×10−4 = → 0,000 35
180×10−8 = → 0,000 001 8
Activité d'introduction : La masse de la Terre est d’environ 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg.
La masse d’une molécule d’eau est d’environ 0,000 000 000 000 000 000 000 03 g.
Que peut-on dire de l’écriture de ces deux masses ? Propose une autre écriture. (Plusieurs écritures
possibles pour un même nombre)
Activité d’introduction n°2 : Parmi les nombres suivants, quel est l’intrus. Quel est alors le point
commun aux autres nombres ?
−9
−43
5,7×10
8×10
1×10
12
9,1×10
7,2×10
0
999
2×10
0
1
6,000 06×10
−4
−1
35×10
8,8×10
Définition : L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est la seule écriture de la forme
n
a×10 où
• a est un nombre décimal plus grand que 1 et strictement plus petit que 10 (un seul chiffre
autre que 0 devant la virgule) ;
• n est un nombre entier relatif.
Exemple : Quelle est l’écriture scientifique des nombres 12 542 et 0,0034 ?
But : avoir un ordre de grandeur ou un encadrement et comparer des nombres.
Exercices
Activité d’introduction : Effectue sans calculatrice les produits suivants.
4
2
6
3
7
1
10 ×10 =
10 ×10 =
10 ×10 =
10 4
=
2
10
4 2
(10 ) =
Que peux-tu conjecturer ?
10 6
=
3
10
10 7
=
1
10
6 3
(10 ) =
7 1
(10 ) =
Propriété (admise) : Quels que soient les nombres entiers relatifs m et n,
1
10 n
−n
=10
=10n− m
m
n
10
10
Exemples : Écris sous la forme d’une seule puissance de 10.
10m ×10n=10 m+ n
−2
10 ×10
6
= → 10
1
= → 105
−5
10
4
105
=
10 2
→ 10³
−3 2
(10 ) =
→ 10-6
(10n )m=10 n×m
Remarque : Cette propriété est valable pour toutes les bases étant des nombres relatifs différents de
zéro.
Exercices