rectangle sin -racine

Chapitre 8 : Géométrie
I. Triangles rectangles
1.Le théorème de Pythagore
Le côté le plus long dans un triangle rectangle est l’hypoténuse ; c’est le côté où il n’y a pas d’angle droit.
Le théorème de Pythagore dit :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
B
Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en A :
C
BC 2 = AB 2 + AC 2
A
2.Définition du sinus, cosinus et de la tangente dans un triangle rectangle :
Dans tout triangle rectangle,
le sinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse
le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse
la tangente d’un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle.
Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en C les relations trigonométriques suivantes :
Sin ….=
B
hypoténuse
Cos ….=
côté opposé à A
A
A
Tan…..=
C
côté adjacent à A
Propriétés :
 Dans un triangle rectangle, si  est la mesure d’un angle aigu, alors :
tan 
cos 2  + sin 2  = 1
sin 
cos 
 Si  est l’autre angle aigu du triangle, alors  et  sont complémentaires leur somme vaut 90°,

et on a : cos  = sin  .
1
Exercices
A) Sur la figure ci-dessous, écris trois rapports égaux à sin
CAˆ D :
C
B

A
E
Précise à
chaque fois
dans quel
triangle tu te
places !
D
B) Recopie et complète en utilisant la calculatrice (résultats arrondis au dixième) :
a) x = 50°, donc cos x  …
b) x = 72°, donc sin x  …
c) cos x = 0,7, donc x  …
d) tan x =
5
, donc x  …
3
e) sin x = 0,5, donc x  ...

C) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule la longueur demandée au mm près :
a)
ABˆ C = 68° ; AB = 12 cm ; AC  ?

b)
ACˆ B = 25° ; AB = 3,5 cm ; BC  ?

c)
ACˆ B = 48° ; AC = 7,4 cm ; BC  ?

d)
ABˆ C = 62° ; BC = 7 cm ; AB  ?

D) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule l’arrondi au dixième de l’angle demandé :
a) AC = 5 cm ; AB = 12,2 cm ;
ABˆ C  ?
b) BC = 8,5 cm ; AB= 4,5 cm ;
ACˆ B  ?
= 7,4 cm ;
c) BC = 10,8 cm ; AC
ACˆ B  ?
2

E) RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 5 cm et ST = 8 cm.
Calcule la mesure de tous ses angles au degré près.
F) x est la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Sans calculatrice, calcule la valeur manquante dans chaque cas :
a) sin x = 0,6
cos x = …
b) sin x = …
cos x =
3
2
c) sin x =
15
17
cos x =
34
d) sin x =
10
26



tan x = …
tan x = …
cos x = …
G) Soit x la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle,

tan x = …
tan x =
10
24

démontre en développant le carré que : (sin x + cos x) 2 = 1 + 2 sin x cos x
H) Des angles particuliers…
a) cos 45° =
2
, déduis-en les valeurs exactes de sin 45° et de tan 45°.
2

b) sin 30° =
1
, déduis-en les valeurs exactes de cos 30° et de tan 30°.
2

c) Sachant que sin 30° =

1
, déduis-en les valeurs exactes de cos 60°, sin 60° et de tan 60°.
2
3
I) Calcule la longueur AH au mm près, puis l’aire de ABC arrondie au cm2.
A
3,4 cm
37°
H
C
B
7,2 cm
J) Pour un maximum de sécurité, une échelle doit former avec un mur un angle de 20°.
Avec une échelle de 9 m, jusqu’à quelle hauteur de mur peut-on monter (au cm près) ?
H
20°
P
B
K) Le sommet de la tour de Pise s’écarte de la verticale d’environ 5 m et se trouve à environ 55 m du sol. Calcule (au
degré près) l’angle
ABˆ C que fait la tour avec la verticale.
A 5m C

55 m
B
4
L) Triangle de référence à connaître
Résoudre le triangle ABC rectangle en A dans chacun des cas suivants (au dixième près)
a
b
54
32

46
38,2


c
38,6°

47,5
54,3
49°18’27 ‘’
Calculs :
5
II.Cercle et disque
O est un point du plan et r est un réel positif
Définitions:
On appelle cercle de centre O et de rayon r, l’ensemble des points M du plan tels que : OM = r
On appelle disque de centre O et de rayon r, l’ensemble des points M du plan tels que : OM  r
Périmètre d’un cercle:
Le périmètre du cercle de centre O et de rayon r est …………….
Exemple :
Le périmètre du cercle de centre O et de rayon 3,5 cm est :………………………
(Donner la valeur exacte avec  puis un arrondi à 0,001 près)
Aire d’un disque :
L’aire du disque de centre O et de rayon r est égale à ………………..

Exemple :
L’aire du disque de centre O et de rayon 3,5 cm est :…………………………..
(Donner la valeur exacte avec  puis un arrondi à 0,001 près)
III.Cercle trigonométrique – radians – sinus et cosinus

1.Le cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 muni d’un sens appelé « sens direct »
(le sens anti-horaire).
J
M
+
O
I’
I
J’
A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante :
si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct.
si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.
Exemple :
La longueur totale du cercle est : 2    R = 2    1 = 2
Le point J est repéré par le nombre :

2
Le point J’est repéré par le nombre : direct)
(un quart de tour dans le sens direct)

2
(un quart de tour dans le sens indirect) ou
3
(trois quarts de tour dans le sens
2

Remarque :
Tout point peut être repéré
par une infinité de nombres.

Par exemple A est associé aux nombres 0 (aucun tour), 2 (un tour), 4 (deux tours…), -2…
6
Exercice 1 : Associe à un réel , x un point M du cercle trigonométrique C
Nombre x
0
2


-


2

4
3
2

2





Chemin parcouru
Point du Cercle
Point immobile
A
Un tour de cercle dans le sens direct
A’
Un demi-tour de cercle dans le sens direct
Un demi-tour dans le sens indirect
Un quart de tour de cercle dans le sens direct
Un huitième de tour dans le sens direct
Trois quarts d’un tour de cercle dans le sens indirect
Un quart de tour de cercle dans le sens indirect
Exercice 2 : Place sur le cercle trigonométrique C les points M associés à chacun des réels suivants
3
3 5
5 

;
;
;
;  4 ;
12
4
4
4
4 2
4

Exercice 3
Placer les points suivants sur le cercle en fonction du réel qui leur
est associé :


A()
B  12 
C3
 
 
3
D 4 
 
-
E 6 
 
J
2
F 3 
 
O

G2
 
I
-3
H 2 


7
J
Exercice 4
Placer les points suivants sur le cercle en fonction du réel qui leur
est associé :
-5
11
A ( 5 )
B 2 
C 3 




-11
D 4 


13
E 6 


O
I
-5
F 3 


Exercice 5
Associer entre eux les nombres qui correspondent au même point du cercle :


2
3
4

4
3
2

3
6











8
3
5
2

4
3
7
4
-
4
3
9
4









2
2
3
5
4
7
3
-
-
14
3

14
-
-
-
Exercice 6
Retrouver 4 autres longueurs d’arcs (2 positives, 2 négatives) correspondant au même point.
a.
3

2
b. -


4
c.
2

3
d. -
5

12
Exercice 7
A l’aide du tableau, retrouver la longueur de l’arc associé à l’angle (en degré).
Degrés
180
Longueur de
l’arc

15
30
90
135
150
2
3
9
4
5
2
A l’aide du tableau, retrouver l’angle (en degrés) associé à l’arc.
Longueur de
l’arc

Degrés
180
5
12
5
6
8
2. Le radian
Le radian est une unité de mesure angulaire, qui correspond à la longueur de
l’arc intercepté par un angle au centre du cercle trigonométrique. Cet angle est
orienté, c'est-à-dire positif ou négatif suivant le sens dans lequel on tourne.
J
C
Exemples :
IOˆ A = 45° =
+
B
A
1
1

de tour =  2 =
rad
8
8
4
120°
60°




1
1

de tour =
 2 =
rad
6
6
3



1
1
2
rad
IOˆ C = 120° = de tour =  2 =
3
3
3



1
1

IOˆ D = 30° =
de tour (sens indirect) =  2 = rad
12
12
6



ˆ
IOI' = 180° = un demi-tour =  rad
O
IOˆ B = 60° =


45°
I’
I
30°
D
J’

Remarque : Les mesures en radians et en degrés sont proportionnelles.

En règle générale :
Mesure en radians


Mesure en deg ré
180
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, il en existe « une et une seule » qui appartient à ] -π ; π [ : c’est la mesure
principale de cet angle orienté.

Exercice 8 : En complétant le tableau de proportionnalité ci-dessous :
Trouve la mesure en radian d’un angle de 20°, d’un angle de 110° et d’un angle de 60°.
Trouve la mesure en degré d’un angle de
Mesures en
degré
Mesure en
radians
20°
60°


radians, d’un angle de radians, et
4
8
d’un angle de
1 radians.
110°



4

8
1
Exercice 9 : Déterminez la mesure principale de chacun
des angles suivants

750° ; 1080° ; 376° ; 455° ;
7 9 13 73
; ;
;
.
3 2 4 18
9
3. Le cosinus d’un réel et le sinus d’un réel
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O,
Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que
OI , OJ ).
IOˆ M = x
 

J
+
M
B
O
x
A
I
Dans le triangle rectangle OAM, on a :

De même
cos x =
OA
OM
sin x =
MA
OM
cos x =
OA
(le cercle a pour rayon 1)
1
sin x =
MA
(le cercle a pour rayon 1)
1

cos x = OA

donc cos x est l’abscisse de M.
sin x = MA = OB

donc
sin
x
est
l’ordonnée
de
M
10
11
Conclusion :
Si M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x).
Remarques :
Pour tout x, on a -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1
Pour tout x, on a cos(x  2k )  cos x
Pour tout x
sin(x  2k )  sin x
cos2 x  sin2 x 1
 valeurs remarquables :
Quelques

x
0
cos x
1

0
sin x


6

4

3
3
2

1
2

2
2

2
2

1
2

3
2

2
0
1
Exercice 10
On donne les valeurs exactes du sinus et cosinus de quelques angles remarquables entre 0 et 90°.



Point
x (°)
x (rad)
I
0
-
5
6
-
3
4
-
2
3
-

2
-

3
-

4
-

6
A
30

6
3
2
1
2
0
cos x
1
sin x
0
B
45

4
2
2
2
2
C
60

3
1
2
3
2
J
90

2
2
3
3
4
5
6

0
1
J
H
C
D
a. Retrouver le point qui correspond à chaque
angle.
B
K
A

6
b. En déduire les valeurs exactes des cosinus
et sinus de tous les angles du tableau.

3

4
I’
I
O
E
M
L
G
F
N
J’
11
12
Exercice 11 : Calculer dans chaque cas l’expression pour la valeur de x donnée
f(x) = -2 sin x
pour x =
f(x) = cos x sin x
f(x) = x sin x

2
pour x =
pour x = -

6
f(x) = 5cos x + 3sin x pour x =

2
f(x) = sin²x
f(x) =
pour x =
cos x – sin x
2

3

3
pour x =
f(x) = cos 3x

4

pour x = 
3
f(x) = 3cos² x
pour x = -
f(x) = cos²x sin x

2
pour x =
2
3
12
J
13
O
Les exercices suivants seront résolus sans utiliser la machine.
Mais il est conseillé d’utiliser la figure ci-contre 
I
Exercice 12 : Compléter :
cos 30° = ……
sin 45° = ……
cos 60° = ……
sin 90° = ……
cos 180° = ……
sin 120° = ……
cos 150° = ……
sin 210° = ……
cos 330° = ……
sin 225° = ……
cos 135° = ……
sin 270° = ……
cos

= ……
4
cos -

= ……
4
sin

= ……
6

sin - = ……
6
cos 0 = ……
cos  = ……
cos
2
= ……
3
sin
5
= ……
6
cos
3
= ……
4
cos
-5
= ……
3
sin
-3
= ……
6
cos

= ……
2
sin

= ……
3

sin - = ……
3
sin
-3
= ……
4
sin
-3
= ……
2
Exercice 13 : Compléter
3
cos x =
donc x = ……° ou ……°
2
cos x =
1
donc x = ……° ou ……°
2
cos x =
cos x = -
2
donc x = ……° ou ……°
2
3
donc x = ……° ou ……°
2
cos x = -1 donc x = ……° ou ……°
sin x =
2
donc x = ……° ou ……°
2
sin x = 1 donc x = ……° ou ……°
sin x = 0 donc x = ……° ou ……°
sin x = -
sin x = -
sin x = cos x = 0 donc x = ……° ou ……°
2
donc x = ……° ou ……°
2
1
donc x = ……° ou ……°
2
3
donc x = ……° ou ……°
2
Déterminer une mesure en radians de l’angle dont on connaît le cosinus et le sinus
cos x =
3
1
et sin x = - donc x = ……
2
2
cos x = 1 et sin x = 0 donc x = ……
cos x = -
2
2
et sin x = donc x = ……
2
2
cos x = 0 et sin x = -1 donc x = ……
13
14
4. Lignes trigonométriques des angles associés
Pour tout x
cos(x)  cos x
sin(x)  sin x

Pour tout x
cos(x   )  cos x
sin(x   )  sin x

Pour tout x
cos(  x)  cos x
sin(  x)  sin x

Pour tout x
cos(x 
sin(x 


2

2
)  sin x
)  cos x
Pour tout x

cos(  x)  sin x
2

sin(  x)  cos x
2
Exercice 14 : Exprimer uniquement en fonction de sin x et cos x

A  cos  x   sinx   cos  x 




B  cos  x  cos  x 
2

2


14
15
III. Les fonctions sinus et cosinus
On appelle fonctions trigonométriques les deux fonctions définies sur R par
f : x  cos x
g : x  sin x
LA FONCTION COSINUS
Tout nombre réel a un cosinus (c’est l’abscisse du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique).
On appelle fonction cosinus la fonction f : x  cos x définie sur ]- ; +[.
Remarques :
Puisque pour tout x, cos (x + 2) = cos x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle]- ; ]. On dit que cette
fonction est périodique, de période 2.
Pour tout x, cos(-x) = cos(x), donc la fonction cosinus est paire (la courbe est donc symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées).
Sens de variation de la fonction cosinus sur l’intervalle ]- ; ]

2
La fonction est
décroissante
et négative.
(cos x varie
de 0 à -1)
La fonction est
décroissante
et positive.
(cos x varie
de 1 à 0)
- = 
0
La fonction est
croissante et
négative.
(cos x varie
de -1 à 0)
-
Conclusion :
x
-
La fonction est
croissante et
positive.
(cos x varie
de 0 à 1)

2

-
2
0

2
+
1
cos x
Représentation graphique :
0
-1
0
-1
15
16
LA FONCTION SINUS
Tout nombre réel a un sinus (c’est l’ordonnée du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique).
On appelle fonction sinus la fonction f : x  cos x définie sur ]- ; +[.
Remarque :
Puisque pour tout x, sin (x + 2) = sin x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle ]- ; ]. On dit que cette
fonction est périodique, de période 2.
Pour tout x, sin(-x) = -sin(x), donc la fonction cosinus est impaire (la courbe est donc symétrique par rapport à
l’origine du repère).
Sens de variation de la fonction sinus sur l’intervalle ]- ; ]

2
La fonction est
décroissante
et positive.
(sin x varie
de 1 à 0)
La fonction est
croissante
et positive.
(sin x varie
de 0 à 1)
- = 
0
La fonction est
décroissante
et négative.
(sin x varie:
Conclusion
de 0 à -1)
-
x
-
sin x
0
Conclusion :

-
2
La fonction est
croissante et
négative.
(si x varie
de -1 à 0)

2

0
2
1
+
0
0
-1
Représentation graphique :
1
-2
3
2
-

2
0

2

3
2
16
-1
2
17
17
18
EXERCICE 1
On a représenté sur ce graphique la fonction f : x  cos x sur l’intervalle [0, 4].
1
y=
0

2

3
2
2
5
2
7
2
3
4
-1
1. a. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0 sur l’intervalle [0, 4].
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation f(x) > 0 sur l’intervalle [0, 4].
1
2. On a tracé la droite d’équation : y =
2
1
a. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’équation f(x) = sur l’intervalle [0, 4].
2
1
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation f(x) ≤ sur l’intervalle [0, 4].
2
EXERCICE 2
On
1 a représenté sur ce graphique la fonction g : x  sin x sur l’intervalle [0, 4].
y=
0

2

3
2
2
5
2
7
2
3
-1
1. a. Résoudre graphiquement l’équation g(x) = 0 sur l’intervalle [0, 4].
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation g(x)  0 sur l’intervalle [0, 4].
1
2. On a tracé la droite d’équation : y =
2
1
a. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’équation g(x) = sur l’intervalle [0, 4].
2
1
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation g(x) < sur l’intervalle [0, 4]
2
18
4
19
Exercices supplémentaires:
1. Exprimez le nombre trigonométrique de chaque angle suivant par rapport à celui de la mesure principale
180;180
ou  ; 
sin 215°= sin –145°

cos 100° =
tg (- 400°)=
sin(-30°)=
sin 127° =
cos 320°=
9
)=
8
7
cos(
)=
4
5
)=
4
15
sin(
)=
8
sin (
cos(
2. Sans l’aide de la calculette, simplifiez les expressions suivantes
cos(30)

cos(60)
sin(45)

sin135
cos 45

sin 45
sin165

cos 75
cos(25)

sin65


3.En se basant sur les angles associés, simplifiez les expressions suivantes (les dénominateurs sont supposés non
nuls)
sin(
a)
c)


  ).tg (

2
2
cos(   )
)
cos(   ) cos(
b)
cos(   ) cos(


2

2
)
)

sin(   )cot g(   )
2
2
d)
3

cos(   )tg(   )
2
2
sin( )cos(   )

cos(   )sin(   )
2

19
20
4.Les égalités suivantes sont-elles vraies ? Sinon corrigez-les ! Justifiez vos réponses !
sin 60° = - sin 240°
cos 35° = cos 325°
sin 25° = cos 65°
cos(-120°) = cos 60°
sin 45° = sin (-135°)
sin 15° = sin 165°
5.En utilisant les formules des angles associés et le tableau des valeurs remarquables ; calculez
11

6

cos

3

sin

2
 5
sin

4
2
tg

3
tg
5

3
2
cos

3
5
sin

2
7
cos

4
6. Calculez sans 
utiliser la calculatrice
cos

3
 cos
tg  225 
tg
cos 330 
sin150 
sin120 
cos240 
tg150 
tg945 


2
4
5
 cos
 cos

3
3
3
sin60 sin120 sin240 sin 300 
sin(135)  sin(45)  sin 45  sin135 
cos
3


3
 cos
 sin  sin

4
4
4
4

20
21
7. Résoudre les équations suivantes
1.
dans [0° ; 360°]
sin x = 0,36
tg x = 1000000
2
2
cos x =
cos x = 2,3
cos²x – 1 = 0
4 sin 2x – 3 =0
cos 2x . sin 3x = 0
tg 3x . sin
2.
3
2sin x =
tg x = 3,5
x
. cos x = 0
2
dans [0 ; 2π]
cos x = -0,5
tg x = -5
sin(x +

)=0
4
cos(3x –
tg(2x +

)=0
3
sin(x –

)=0
2


) . cos(x +
)=0
6
3
21
22
Annexe
Il existe trois unités de mesure des angles : le degré, le radian et le grade.
Le degré :
Certains astronomes babyloniens ont remarqué que certaines planètes se déplacent dans une zone étroite de ciel
appelé « zodiaque ». Ils représentent alors le zodiaque sous la forme d’une bande circulaire et divisent le cercle
en autant de parties que compte l’année de jours (à l’époque 360 jours). La notation ( ° ) est due à Jacques
Pelletier(1517-1582).
Par définition, un angle d’une amplitude d’un degré est un angle au centre qui intercepte un arc dont la
longueur vaut un 360ème de la longueur de la circonférence.
Le degré est subdivisé en minutes ; elles-mêmes subdivisées en secondes.
1° = 60’
1’ = 60’’
1° = 3600’’
Le radian :
Ce mot vient du latin « radius » signifiant « rayon ».
Il fait son apparition en 1873 et choisit comme unité d’arc le rayon lui-même.
Par définition, un angle d’une amplitude d’un radian est un angle au centre qui intercepte un arc dont la
longueur est égale à la longueur du rayon de la circonférence.
Périmètre d’un cercle = 2 π r, on a donc 2π radians dans un cercle.
Le grade :
Cette unité apparaît en 1794, en même temps que le mètre. Le quart du méridien terrestre correspond à un angle
de 90°, c -à- d 100 grades. Comme le méridien terrestre mesure environ 10 000 km, il est aisé de calculer des
trajets le long de ceux-ci (1 grade correspond à 100 km). Les géodésiens utilisent le grade couramment.
Par définition, un angle d’une amplitude d’un grade est un angle au centre qui intercepte un arc dont la
longueur vaut un 400ème de la longueur de la circonférence.
On a donc le résultat suivant :
360 ° = 2 π rad = 400 gra
22