2009 - Département d`économique

Département d’Economique, Université Laval
Printemps 2009
Microéconomie
Examen de Synthèse
17 juin 2009
Comité :
Yann Bramoullé
Arnaud Dellis
Patrick González
Markus Herrmann
Bruno Larue
Instructions :
1. Cet examen contient trois parties. La première partie comprend quatre
‘vrai ou faux’. Chacune de ces quatre questions vaut 5 points. La seconde
partie contient trois questions longues qui, ensemble, valent 60 points. Finalement, la troisième partie contient deux questions au choix. Répondez
à une et une seule de ces deux questions. Cette partie compte pour
20 points. Le nombre total de points est égal à 100.
2. Vous avez 240 minutes (quatre heures) pour répondre aux questions.
3. Assurez-vous que votre copie de l’examen comprend 10 pages (cette page
+ les pages numérotées 2 à 10).
4. Aucune note ni documentation n’est permise. Seules les calculatrices numériques sont autorisées.
5. Donnez une réponse structurée à chacune des questions. Justi…ez vos réponses (notez bien que la pertinence d’une justi…cation n’a rien à voir avec
sa longueur ...).
Bonne chance !
Partie I : Vrai ou Faux
Pour chacun des énoncés suivants, dites s’il est vrai ou faux et justi…ez votre
réponse. Chacune des questions vaut 5 points.
1. Un consommateur consomme seulement trois biens, indicés par
i = 1; 2; 3. On dénote le prix du bien i par pi et la quantité de bien i par
xi . Pendant l’année 2008 notre consommateur a choisi les trois paniers
suivants :
Observation
p1
p2
p3
x1
x2
x3
A
B
C
10
10
1
10 10
1
2
1 10
10
9
15
10
25
5
10
7:5
9
A A
c’est-à-dire qu’aux prix pA
1 ; p2 ; p3 = (10; 10; 10) le consommateur a
A
A
A
choisi le panier x1 ; x2 ; x3 = (10; 10; 10), aux prix
B B
B
B
B
pB
1 ; p2 ; p3 = (10; 1; 2) il a choisi le panier x1 ; x2 ; x3 = (9; 25; 7:5) et,
C C
…nalement, aux prix pC
1 ; p2 ; p3 = (1; 1; 10) il a choisi le panier
C
C
xC
1 ; x2 ; x3 = (15; 5; 9).
Si les préférences de notre consommateur sont strictement convexes et
sont restées inchangées au cours de l’année 2008, alors les choix de notre
consommateur respectent l’axiome fort des préférences révélées.
2. Un consommateur doté des préférences u(x; y) = xy maximise son utilité
en (x ; y ). Si le ratio des prix px =py croît de 1 %, il va diminuer le ratio
x =y de 1 %.
3. On considère la loterie suivante. Une pièce de monnaie est lancée en l’air.
Si elle tombe sur pile, l’individu doit payer $10. Si elle tombe sur face, on
lance la pièce une deuxième fois. Si elle tombe sur pile, l’individu doit
payer $15. Si elle tombe sur face, l’individu gagne $40. Si un individu
accepte de jouer à cette loterie, alors notre individu ne peut pas être
averse au risque.
2
4. Un joueur obtient toujours au moins autant selon la valeur de Shapley
qu’il pourrait obtenir en formant une coalition avec un sous-ensemble de
joueurs.
3
Partie II : Questions Longues
A. Théorie des Jeux. [20 points]
On envisage une plage, représentée par l’intervalle [0; 1], sur laquelle des
vacanciers sont uniformément répartis. On normalise la masse de vacanciers à
l’unité. La localisation d’un vacancier ` sur la plage est représentée par son
abscisse x` 2 [0; 1].
Il y a deux vendeurs de crème glacée, indicés par i = 1; 2. Le vendeur 1 est
localisé au point x1 sur la plage, tandis que le vendeur 2 est localisé au point
x2 . Exception faite de leurs localisations, les deux vendeurs sont identiques en
tous points. En particulier, chaque vendeur vend la même crème glacée au
même prix unitaire p > 0 (le prix p est …xé de façon exogène et n’est donc pas
choisi par les vendeurs).
Chaque vacancier achète une (et une seule) crème glacée. De façon à minimiser
ses déplacements, un vacancier achète sa crème glacée auprès du vendeur le
plus proche. Si on dénote par d (x` ; xi ) la distance séparant le vacancier ` du
vendeur i, on a que le vacancier ` achète sa crème glacée auprès du vendeur 1
si d (x` ; x1 ) < d (x` ; x2 ) et il achète sa crème glacée auprès du vendeur 2 si
d (x` ; x1 ) > d (x` ; x2 ). Si les deux vendeurs sont localisés au même point,
x1 = x2 , alors les vacanciers se répartissent équitablement entre les deux
vendeurs.
1. Supposons tout d’abord que x1 x2 . Déterminez les revenus de chaque
vendeur en fonction de x1 et x2 .
2. Supposons maintenant que chaque vendeur choisisse sa localisation sur la
plage de façon à maximiser ses revenus. Les vendeurs choisissent leur
localisation simultanément et de façon non-coopérative. Montrez qu’il
existe un équilibre de Nash en stratégies pures où les deux vendeurs
choisissent de se localiser au milieu de la plage, c’est-à-dire
(x1 ; x2 ) = 12 ; 12 . Montrez qu’il s’agit du seul équilibre de Nash en
stratégies pures.
4
B. Choix en Incertain. [15 points]
Un individu a des préférences vis-à-vis du risque représentées par une fonction
d’utilité de Von Neumann-Morgenstern u dé…nie et deux fois di¤érentiable sur
R+ . Étant donné un niveau de richesse initiale w0 et un risque arbitraire x
~
d’espérance nulle E x
~ = 0, on dé…nit les deux quantités suivantes : (i) La prime
de risque (w0 ; u; x
~) est telle que u(w0
) = Eu(w0 + x
~) ; et (ii) la prime de
risque compensée p(w0 ; u; x
~) est telle que u(w0 ) = Eu(w0 + x
~ + p).
1. Montrez que si l’aversion absolue au risque de u est constante
(c’est-à-dire que u est de la forme u(w) = e Aw ), alors
p(w0 ; u; x
~) = (w0 ; u; x
~) et la prime de risque ne dépend pas du niveau
de richesse initiale.
2. Montrez que si l’aversion absolue au risque de u est décroissante avec le
niveau de richesse (u est DARA), alors p(w0 ; u; x
~)
(w0 ; u; x
~).
5
C. Equilibre Général. [25 points]
Le salaire d’un travailleur correspond à sa productivité marginale.
Cette proposition est paradoxale puisque le salaire des coi¤eurs des
économies riches a crû depuis un siècle alors que leur productivité marginale
est demeurée stagnante. De fait, la proposition telle qu’exprimée est fausse : le
salaire d’un travailleur correspond à la valeur de sa productivité marginale. Le
problème suivant illustre ce point.
– Considérez une économie formée de deux agents dotés des mêmes
préférences homothétiques u(x; z) = xz où x représente les biens de
consommation et z les coupes de cheveux. Le premier agent est doté d’une
unité de travail quali…é ; le second, d’une unité de travail non-quali…é.
– Il y a deux …rmes, possédées à parts égales par les agents. La première
produit des biens de consommation selon la technologie
x = A(2q + n)
et la seconde des coupes de cheveux
z =q+n
où A > 21 est un paramètre technologique, alors que q et n sont les quantités
de travail quali…é et non-quali…é employées dans la production.
– Le prix des coupes de cheveux est normalisé à 1 et celui des biens est noté p.
Une astérisque dénote une valeur à l’équilibre1 .
1. Calculez la productivité marginale d’un travailleur employé dans la
coi¤ure.
2. Expliquez intuitivement pourquoi les deux biens sont produits à
l’équilibre.
3. En équilibre, pourquoi les …rmes doivent ici faire des pro…ts nuls ?
1 Vous
pouvez présumer qu’un équilibre existe.
6
4. Soit wq et wn les prix respectif du travail quali…é et du travail
non-quali…é. Prouvez par l’absurde que 2wn wq wn .
5. En utilisant le point [3], prouvez que wq
wn implique que wn = 1.
6. Calculez les demandes agrégées de x et z à l’équilibre en fonction du prix
p et du revenu moyen2 w .
7. Selon les points [5] et [6], l’équilibre sur le marché des services demande
que
wq + 1
=q +n
2
où q et n sont les quantités de travail quali…é et non quali…é employées
dans le secteur des services. Prouvez que si wq > 1, alors ce marché ne
peut être en équilibre. Concluez-en que wq = wn = w = 1 et que la
première …rme n’embauche que des travailleurs quali…és.
8. Calculez le prix p qui équilibre le marché des biens. Quel est le prix
d’une coupe de cheveux en termes de biens de consommation ?
9. Le résultat du point [7] établit que les deux types de travailleurs
obtiennent le même revenu, quelle que soit la valeur de A. Nos coi¤eurs
sont à l’abri du progrès technologique A ! Quel rôle joue l’homothéticité
des préférences dans ce résultat ?
2 D’ordinaire, la demande agrégée dépend de la distribution des revenus mais ici, elle se
simpli…e en fonction du revenu moyen.
7
Partie III : Question au Choix
Répondez à une seule des deux questions ci-dessous (soit la question
sur la théorie du consommateur, soit la question sur la concurrence
imparfaite). Indiquez clairement la question à laquelle vous avez choisi de
répondre. Cette partie vaut 20 points.
A. Théorie du Consommateur.
Un consommateur consomme seulement deux biens, le bien ` et un bien
composite. Son ensemble de consommation, X, est identi…é à l’orthant positif
R2+ . Le prix du bien composite est normalisé à l’unité et le prix du bien ` est
noté p. Le revenu forfaitaire du consommateur est dénoté par !. On suppose
p > 0 et ! = 2.
Des études économétriques ont montré que lorsque ! = 2, notre consommateur
demande une quantité de bien ` égale à
x (p; 2) =
(
Notons pour référence ultérieure que
1
p
1
2
0
si p
2
( )
si p > 2:
p
6
2:45 et ln 23
0:405.
1. Montrez qu’un accroissement du prix du bien ` de p0 = 1 à p0 =
entraine un accroissement du surplus du consommateur égal à
SC = 14 ln 32
0:155.
3
2
2. Supposons que les préférences du consommateur sont représentées par la
fonction d’utilité suivante :
U1 (m; x) = m + ln x +
1
2
où x représente la quantité de bien ` et m la quantité de bien composite.
Calculez la fonction de demande de bien `, x (p; !), pour des valeurs de p
et de ! strictement positives. Montrez que la fonction de demande ainsi
obtenue est cohérente avec l’équation ( ) ci-dessus.
3. Déterminez la variation compensatoire, V C1 , associée au changement de
prix spéci…é au point [1]. Montrez que V C1 = SC.
8
4. Supposons maintenant que les préférences du consommateur sont
représentées par la fonction d’utilité suivante :
1=2
U2 (m; x) = (m)
1=2
(x + 1)
.
La fonction de demande de bien ` pour des valeurs de p et de !
strictement positives est maintenant donnée par
x (p; !) =
(
!
2p
0
1
2
si p
!
si p > !:
Notez que cette fonction de demande est également cohérente avec
l’équation ( ) ci-dessus. Montrez que la variation compensatoire associée
au changement de prix spéci…é au point [1] est ici égale à
p
0:175.
V C2 = 3 26 7
5. Expliquez pourquoi V C1 =
SC tandis que V C2 6=
9
SC.
B. Concurrence Imparfaite.
1. Un monopole est confronté à une demande interne q1 = 6 p1 et à une
demande d’exportation q2 = 4 p2 . La fonction de coût du monopole est
2
C (q1 + q2 ) = (q1 + q2 ) . En l’absence d’arbitrage, les prix de
discrimination de troisième degré –le monopoleur pratique des prix
di¤érents sur le marché domestique et à l’exportation, mais chaque unité
vendue sur le marché domestique (à l’exportation) est vendue au même
11
prix –sont : p1 = 14
3 = 4:67 et p2 = 3 = 3:67. En supposant que les
consommateurs locaux peuvent arbitrer toute di¤érence de prix
supérieure à 0:5, déterminez les prix qui maximisent le pro…t du
monopoleur.
2. Supposons qu’il y a deux types de consommateurs i = 1; 2 et les
consommateurs de type i ont des niveaux d’utilité i qi pi où
ai qi ; 2 = a1 < a2 = 4, qi est la quantité consommée et pi le prix
i
chargé pour la quantité qi par un monopole. Ce dernier ne peut pas
distinguer les consommateurs qui sont de type 1 de ceux qui sont de type
2, mais il sait qu’il y a 10 consommateurs de type 2 et 10
consommateurs de type 1, avec > 2. En supposant que le coût de
production unitaire est constant, c = 1, dérivez les quantités et prix de
l’équilibre de discrimination du deuxième degré –le monopoleur vend les
di¤érentes unités du bien à des prix di¤érents, mais tous les individus
qui achètent une quantité identique du bien paient le même prix. Notez
que si le surplus maximum du consommateur est
scmax = (ai
qi ) qi =
Z
qi
ri (qi ) dqi ,
0
on peut dériver la demande inverse en prenant la dérivée : ri = ai
Comment le paramètre a¤ecte-t-il les solutions du monopole et
comment celles-ci se comparent-elles aux solutions e¢ caces ? Vous
pouvez imposer = 3 pour mieux comprendre ce qui se passe.
10
2qi .