Trigonométrie 2ème année

Trigonométrie 2ème année1
Collège Sainte-Croix
Brice Canvel
[email protected]
Table des matières
I - Angles, dregrés et radians
2
II -Rappel de trigonométrie dans un triangle rectangle
5
III -Le cercle trigonométrique
7
IV -Théorème du sinus
14
V - Théorème du cosinus
15
1 Basé sur Fundamentum de mathématiques : notions élémentaires, CRM et sur le cours de Bernard GISIN, Collège Claparède, Genève
2
I-
Angles, dregrés et radians
Définition 1
Angle
Un angle est une portion de plan limitée par deux demi-droites de meme sommet.
La mesure d’un angle indique quel est l’écartement entre les deux demi-droites qui forment l’angle.
Une unité de mesure d’angle est le degré. Elle est basée sur la subdivision d’un disque en 360 angles de meme grandeur.
Une autre unité de mesure est le radian.
LE XERCICE 1
Mesurez avec un rapporteur les grandeurs des angles ci-dessous.
Déterminez les longueurs d’arcs L1 , L2 et L3 ci-dessous et dans chaque cas le rapport le la longueur d’arc sur la longueur du rayon
Lk
pour k = 1 à 3).
du cercle correspondant (
k
Ecrivez vos résultats avec 3 chiffres après la virgule. Les longeurs sont en centimètres.
(a)
α≈
L1 ≈
L2 ≈
L3 ≈
L1
≈
1
L2
≈
2
L3
≈
3
(b)
β≈
L1 ≈
L2 ≈
L3 ≈
L1
≈
1
L2
≈
2
L3
≈
3
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3
(c)
γ≈
L1 ≈
L2 ≈
L3 ≈
L1
≈
1
L2
≈
2
L3
≈
3
Que remarquez-vous ?
(d)
δ≈
L1 ≈
L2 ≈
L3 ≈
L1
≈
1
L2
≈
2
L3
≈
3
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4
(e)
ǫ≈
L1
≈
1
L2
≈
2
L3
≈
3
L1 ≈
L2 ≈
L3 ≈
Cet exercice montre une manière de définir la grandeur d’un angle. Laquelle ?
Définition 2
Radians
Le radian est une unité de mesure d’angle.
Angle =
L
[radians].
r
r : longueur du rayon d’un cercle centré au sommet de l’angle.
L : la longueur de l’arc qui est intercetpée par l’angle.

Pour un angle donné, le rapport
égal à L.
L
est indépendant du rayon r choisi. En particulier, si r = 1, alors l’angle en radian est
r
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II -
Rappel de trigonométrie dans un triangle rectangle
Conventions
ABC désigne les sommets d’un triangle rectangle.
α désigne la mesure de l’angle de sommet A.
a désigne la mesure du côté opposé à l’angle α.
β désigne la mesure de l’angle de sommet B.
b désigne la mesure du côté opposé à l’angle β.
γ désigne la mesure de l’angle de sommet C.
c désigne la mesure du côté opposé à l’angle γ.
Définition 3
Le plus long côté du triangle rectangle s’appelle :
Les autres côtés du triangle rectangle s’appelle :
Le côté
à α est le côté [AC].
Le côté
à α est le côté [BC].
Le côté
à β est le côté [AC].
Le côté
à β est le côté [BC].
par le théorème de Pythagore.
Les trois côtés sont reliés par la formule :
α
Sinus de alpha : sin(α) =
α
Cosinus de alpha : cos(α) =
α
α
Tangente de alpha : tan(α) =
Trucs mnémotechniques
"sin op ip" signifie :
"cos adj ip" signifie :
"tan op adj" signifie :
Définition 4
Fonctions réciproques
Si on connait
³ les´ longueurs des cotés du triangle rectangle, on peut déterminer les angles comme suit :
= sin−1 (
α = arcsin
) sur la calculatrice. On dit "arc sinus" de
α = arccos
³
´
= cos−1 (
) sur la calculatrice. On dit "arc cosinus" de
α = arctan
³
´
= tan−1 (
) sur la calculatrice. On dit "arc tangente" de
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sur
sur
sur
.
.
.
6
LE XERCICE 2
En raisonnant sur les triangles suivant, déterminez les valeurs exactes de sin(α), cos(α) et tan(α) pour des angles α de 30°, 45° et 60°.
LE XERCICE 3
Donner les valeurs des différents rapports trigonométriques en justifiant vos réponses :
sin(0◦ ) =
cos(0◦ ) =
tan(0◦ ) =
sin(90◦ ) =
cos(90◦ ) =
Pourquoi tan(90◦ ) n’est pas défini ?
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III -
Le cercle trigonométrique
Soit un point P sur le cercle de rayon 1, centré à l’origine.
Soit O le centre du cercle et I le point de coordonnés (1; 0).
Ce point P peut être déterminé de différentes manières :
– Par ses coordonnées que nous noterons (c; s).
– Par la grande de l’angle ∠IOP, que nous noterons α en degrés.
– Par la longueur x de l’arc de cercle intercepté par l’angle ∠IOP. L’angle ∠IOP est exprimé en radians.
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α
x
c
s
0◦
0
1
0
Dessin de P
30◦
45◦
1
2
p
3
2
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α
x
c
s
Dessin de P
π
2
20◦
57, 3◦
α◦
x
Quels liens constatez-vous entre α, x, c et s ?
L’exercice précédent montre que pour des angles α entre 0° et 90°,
la première coordonnée du point P égale cos(α) et que
la deuxième coordonnée du point P égale sin(α).
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Définition 5
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré à l’origine.
L’abscisse curviligne x d’un point P sur le cercle trigonométrique est la distance à parcourir le long du cercle, en partant du point
I = (1; 0), pour arriver au point P.
Elle est comptée positivement quand on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, négativement quand on se
déplace dans le sens des aiguilles d’une montre.
Elle coincide avec la mesure de l’angle ∠IOP exprimée en radians.
LE XERCICE 4
Convertir la mesure des angles de radians en degrés décimaux.
π
6
2π
2)
3
1)
3) 4π
π
10
7π
5) −
10
15π
6)
4
4)
7) 0, 28421, précision : 10−2
8) 1, 43216, précision : 10−2
9) 3, 45284, précision : 10−2
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LE XERCICE 5
Convertir la mesure des angles de degrés décimaux en radians. Précision : 10−5
1) 45◦
2) 150◦
3) 75◦
4) 315◦
5) −240◦
6) −1050◦
7) 22, 43◦ , précision : 10−5
8) 124, 35◦ , précision : 10−5
9) −224, 43◦ , précision : 10−5
Définition 6
Généralisation des définitions des fonctions trigonométriques
La fonction cosinus est définie par cos :
R
→
[−1; 1]
x 7→ cos(x)
cos(x) est la première coordonnée du point P d’abscisse curviligne x.
La fonction sinus est définie par sin :
R
→
[−1; 1]
x 7→ sin(x)
sin(x) est la deuxième coordonnée du point P d’abscisse curviligne x.
R\
La fonction tangente est définie par tan :
nπ
2
o
+k ·π ,k ∈ R
→
x
7→
R
sin(x) .
cos(x)
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LE XERCICE 6
Montrer que la longueur IT notée tan(x) correspond bien à la tangente de l’angle x.
Les quatre quadrants du cercle trigonométrique sont :
LE XERCICE 7
Montrez que la relation sin2 (x) + cos2 (x) = 1 est toujours vraie, quelle que soit la valeur de x.
LE XERCICE 8
Remplissez le tableau suivant en indiquant le signe de cos(x), sin(x) et tan(x) suivant le quadrant dans lequel se trouve le point P(x)
d’abscisse curviligne x :
P(x) ∈
I
II
III
IV
sin(x)
cos(x)
tan(x)
LE XERCICE 9
Complétez le tableau suivant en écrivant les valeurs exactes.
π
π
x
0
6
4
π
3
α(x) en °
sin(x)
cos(x)
tan(x)
Quelles égalités constatez-vous dans ce tableau ?
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π
2
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LE XERCICE 10
En dessinant et raisonnant sur des cercles trigonométriques, complétez les égalités suivantes avec cos(x), si n(x) et leur opposé.
cos(x + 2π) =
sin(x + 2π) =
cos(x − 2π) =
sin(x − 2π) =
cos(−x) =
sin(−x) =
cos(x + π) =
sin(x + π) =
cos(x − π) =
sin(x − π) =
cos(π − x) =
π
cos(x + ) =
2
π
cos(x − ) =
2
π
cos( − x) =
2
sin(π − x) =
π
sin(x + ) =
2
π
sin(x − ) =
2
π
sin( − x) =
2
En utilisant ce qui précède, complétez à l’aide d’expression comportant tan(x), son opposé, son inverse ou l’opposé de son inverse.
tan(x + 2π) =
tan(x − 2π) =
tan(x + π) =
tan(x − π) =
tan(−x) =
tan(π − x) =
tan(x +
π
)=
2
tan(x −
π
)=
2
tan(
π
− x) =
2
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IV -
Théorème du sinus
Considérons un triangle ABC quelconque.
Cherchons une relation qui relie les longueurs a et c aux deux angles α et β
1) Exprimez h en fonction de c et du sinus de α
2) Exprimez h en fonction de a et du sinus de γ
3) En éliminant l’inconnue h des deux égalités précédentes, obtenez une relation entre a, c, α et γ.
4) Ecrivez cette relation en mettant α et a d’un côté de l’égalité et γ et c de l’autre côté.
5) Trouvez une relation correspondante entre a, α, b et β
6) Les deux relations s’appellent théorème du sinus. Ecrivez-les dans le cadre ci-dessous.
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V-
Théorème du cosinus
Considérons un triangle ABC quelconque.
x = AH et y = HC
Cherchons une relation qui relie les longueurs a, b, c des trois côtés et l’angle γ
1) A l’aide du théorème de Pythagore, exprimez c 2 en fonction de x 2 et h 2
2) A l’aide du théorème de Pythagore, exprimez h 2 en fonction de a 2 et y 2
3) Substituez la valeur de h 2 dans l’expression obtenue en 1)
4) Utilisez une identité remarquable pour factoriser x 2 − y 2 dans l’expression précédente
5) Utilisez b = x + y pour éliminer x dans l’expression obtenue prédédemment
6) Développez l’expression
7) Exprimez y en fonction de a et cos(γ) et remplacez-le dans l’expression
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8) Vous avez exprimé c 2 en fonction de a 2 , b 2 et cos(γ).
Cette relation s’appelle le théorème du cosinus. Ecrivez-là dans le cadre ci-dessous.
c2 =
Par analogie, trouvez deux autres relations :
a2 =
b2 =
Remarques
Ce théorème est une généralisation du théorème de Pythagore.
Ecrivez-le dans le cas particulier ou γ = 90◦ .
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