Chapitre 9 LE NOMBRE π Objectifs : revoir, sous un éclairage historique, le nombre π ainsi que les extensions successives des notions de nombre. 9.1 Valeur approchée du nombre π Définition 9.1 Le rapport de la longueur (L) d’une circonférence à son diamètre (D ) est le même pour toutes les circonférences; cette constance est notée π (première lettre du mot périmètre en grec): L =π D Approximation de π Archimède de Syracuse ( 287 − 212 A.C.) rechercha une approximation du nombre π en partant d’un hexagone régulier inscrit à un cercle et en doublant successivement le nombre de côtés jusqu’à obtenir un polygone régulier à 96 côtés. Il fit de même avec des polygones réguliers circonscrits et conclut qu’à chaque étape la longueur de la circonférence est comprise entre les périmètres des polygones inscrit et circonscrit. Il en déduit l’approximation suivante : 3, 1408 < π < 3, 1428. Archimède a fait ses calculs à partir des formules suivantes : P2n = 2pn Pn pn + Pn et p2n = 73 √ pn P2n CHAPITRE 9. LE NOMBRE π p où n Pn inscrit est le périmètre d’un polygone régulier à n côtés circonscrit 74 à un cercle. En appliquant √ces formules dans une circonférence de diamètre égal à 1 , et en partant d’un carré (n = 4, p4 = 2 2 et P4 = 4), on obtient successivement: Nombre de côtés périmètre du polygone régulier périmètre du polygone régulier du polygone inscrit à un cercle de rayon 12 circonscrit à un cercle de rayon 21 n pn Pn 4 2, 82842712 4, 00000000 8 3, 06146746 3, 31370850 16 3, 12144515 3, 18259788 32 3, 13654849 3, 15172491 64 3, 14033116 3, 14411839 128 3, 14127725 3, 14222363 256 3, 14151380 3, 14175037 512 3, 14157294 3, 14163208 1024 3, 14158773 3, 14160251 2048 3, 14159142 3, 14159512 4096 3, 14159235 3, 14159327 8192 3, 14159258 3, 14159281 16384 3, 14159263 3, 14159269 9.2 Quelques décimales... Akira Haraguchi, un Japonais de 60 ans, a récité 100000 décimales de Pi en 16h30 le 3 octobre 2006, battant ainsi son propre record (non-officiel) de 83431 décimales établi l’année dernière ! Premier commentaire de l’intéressé: ”Je n’ai rien ressenti de sensationnel, j’ai juste vidé tout ce qu’il y avait dans ma mémoire” CHAPITRE 9. LE NOMBRE π 75 A quoi cela sert-il de connaı̂tre tant de décimales de pi ? • Le calcul de décimales de pi est un très bon test pour vérifier la précision des calculs des ordinateurs (deux erreurs graves furent ainsi détectées sur les super-ordinateurs IBM 590 et R8000) • La recherche de ”motifs” de régularité et les calculs de statistiques sur les chiffres du nombre pi nécessitent de connaı̂tre de plus en plus de décimales. • Mais la motivation la plus importante n’est pas de connaı̂tre de plus en plus de décimales de pi mais bel et bien de les calculer. En effet, le calcul d’un si grand nombre de chiffres demande des algorithmes de calculs très perfectionnés et a permis de très grand progrès dans ce domaine. π 816 359 446 249 530 105 643 669 430 771 302 669 806 230 695 848 847 150 341 509 862 973 983 085 488 371 468 305 885 972 762 456 = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 086 021 394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 405 132 000 568 127 145 263 560 827 785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 864 034 418 159 309 960 518 707 211 349 999 998 372 978 049 951 059 731 732 816 096 318 595 024 459 642 522 308 253 344 685 035 261 931 188 171 010 003 137 838 752 886 587 533 208 381 147 303 598 253 490 428 755 468 731 159 562 863 882 353 787 593 751 957 781 857 780 613 001 927 876 611 195 909 216 420 198 938 095 257 201 065 485 863 278 865 936 153 301 952 035 301 852 968 995 773 622 599 413 891 249 721 775 283 479 131 515 574 857 950 829 533 116 861 727 855 889 075 098 381 754 637 464 939 319 255 060 400 927 701 824 012 858 361 603 563 707 660 104 710 181 942 955 596 198 946 767 837 449 448 255 104 047 534 646 208 046 684 259 069 491 293 313 677 028 989 152 104 752 162 056 966 193 511 253 382 430 035 587 640 247 496 473 263 914 199 272 604 269 922 796 782 354 721 641 219 924 586 315 030 286 182 974 555 706 749 838 505 494 588 586 926 995 690 302 955 321 165 344 987 202 755 960 236 480 665 499 119 881 834 797 753 566 369 807 551 818 417 574 672 890 977 772 793 800 081 647 060 016 145 249 192 173 217 214 772 568 548 161 361 157 352 552 133 475 741 849 468 438 523 323 907 394 143 334 547 762 569 485 562 099 219 222 184 272 550 254 256 887 671 790 494 601 653 466 804 988 627 784 383 827 967 976 681 454 100 953 883 786 360 950 680 064 225 125 205 117 392 984 626 945 604 241 965 285 022 210 661 186 306 744 278 622 039 194 945 047 123 713 786 917 287 467 764 657 573 962 413 890 865 832 645 995 813 390 478 027 590 099 465 764 398 352 595 709 825 822 620 522 489 407 726 719 478 268 482 601 476 990 902 640 136 068 203 496 252 451 749 399 651 431 429 809 190 659 250 937 221 696 461 515 709 858 959 772 975 498 930 161 753 928 468 138 268 683 868 942 774 155 991 855 925 245 953 524 680 845 987 273 644 695 848 653 836 736 222 626 099 124 608 051 243 884 390 451 780 797 715 691 435 997 700 129 616 089 441 694 868 555 848 406 353 422 072 225 828 028 50 · · · 944 582 975 393 360 932 362 674 901 813 455 420 532 381 242 671 379 024 781 927 426 350 416 232 896 960 078 394 387 959 244 488 592 231 665 607 011 611 440 818 224 629 346 617 171 827 454 139 774 058 636 210 542 141 862 791 084 956 951 437 410 431 136 648 307 725 933 260 330 793 656 467 953 774 908 177 226 968 150 009 726 038 009 797 527 441 518 786 128 364 269 455 597 049 549 158 Chapitre 10 ANGLES ET ARCS 10.1 Mesure des angles - Unités d’angles Introduction Exercice 10.1 Soit un cercle de centre O et de rayon r . Au lieu de mesurer l’angle au centre en degrés, choisissons une nouvelle unité : l’angle au centre qui intercepte l’arc de longueur r est l’angle de mesure 1 . Compléter : B Part de cercle ⌢ Longueur de cette part Angle au centre r AB cercle entier 1 2 cercle 1 4 cercle 3 4 cercle 1 7 cercle o A r Que constate-t-on si le rayon du cercle est 1 ? Exercice 10.2 Dans le plan, on donne un cercle de centre O et de rayon 1 ainsi que le sens du parcours ”positif” sur ce cercle. Imaginons un point mobile M qui, au départ de l’origine A , parcourt le cercle dans le sens positif ou dans le sens négatif. Il s’arrête en B . Si M a parcouru, sur le cercle, une distance égale à d • sans le sens positif, on dit que B est représenté par le réel d ; • sans le sens négatif, on dit que B est représenté par le réel −d ; 76 CHAPITRE 10. ANGLES ET ARCS 77 1. Déterminer le point du cercle représenté par : d + B π 2 π − π2 3π 4 π 6 7π 6 − 5π 6 − π4 5π 2 o r=1 A B -d 2. En tenant compte des points placés sur le cercle ci-contre, compléter : C B D Points A Réels B C D + E − π2 − π4 A o E − 3π 4 F Définitions H G Définition 10.3 Le DEGRE est l’amplitude d’un angle qui intercepte ( 1 360 )ème d’un cercle centré en son sommet. Ainsi 360◦ est l’amplitude d’un angle qui intercepte tout le cercle centré en son sommet. Les subdivisions du degré sont: 1◦ = 60′ 1′ = 60′′ Le système ” degré ” est utilisé en géométrie, géodésie, astronomie, navigation, mécanique, ... La navigation reste attachée au système ” degré ” car 1′ en latitude correspond à 1 mille marin. (le mille marin international : 1852 m , le mille marin britannique : 1853 m , le mille terrestre : 1609 m ) Définition 10.4 Le RADIAN est l’amplitude d’un angle qui intercepte sur un cercle centré en son sommet un arc dont la longueur est le rayon du cercle. M l Remarques 10.5 En radians et dans un cercle de rayon 1, tout angle au centre et l’arc intercepté ont même mesure. Mais attention : l’unité n’est pas la même! • La longueur de l’arc intercepté l et la mesure de l’angle au centre qui intercepte α sont des valeurs proportionnelles. • Longueur Mesure de l’arc intercepté de l’angle au centre 2πr l 2π α A O ⇒ 2πr α = 2π l ⇒ α = l r CHAPITRE 10. ANGLES ET ARCS 78 Conversion Degré Radian 360◦ 180◦ 1◦ 180◦ π 2π π π 180 1 Exercices 10.6 1. Convertir 90◦ = 45◦ = 30◦ = 60◦ = 150◦ = π 3 π 4 π 6 5π 6 π 5 7π 4 4π 3 2π 3 3π 2 3π 4 210◦ 120◦ 240◦ 270◦ rad rad rad rad rad 7π 6 7π 12 5π 4 11π 6 5π 3 π 10 2π 5 π 18 rad = rad = rad = rad = rad = rad = rad = rad = rad = rad = = = = = rad rad rad rad rad = rad = rad = rad = rad = rad = rad = rad = 2. Compléter 23◦ = 32◦ = 13◦ 20′ = 42◦ 45′ 15′′ = 176◦ 26′ 7′′ = rad rad rad rad rad 0, 2 rad = 5, 1 rad = 2, 43 rad = 0, 04 rad = ◦ ′ ′′ ◦ ′ ′′ ◦ ′ ′′ ◦ ′ ′′ Chapitre 11 ANGLES ORIENTES 11.1 Définitions, vocabulaire 11.1.1 Cercle trigonométrique + Définition 11.1 Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou positif et le sens indirect ou négatif. 1 O Définition 11.2 Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le sens direct est celui du sens inverse des aiguilles d’une montre. - 11.1.2 Le plan orienté Définition 11.3 Le plan est dit orienté lorsque tous les cercles sont orientés comme un cercle trigonométrique. Dans la suite le plan est orienté. 11.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls Mesures positives C est un cercle trigonométrique de centre O ; A et B sont deux −→ points de C . Lorsqu’on fait fait tourner OA dans le sens direct −−→ pour l’amener sur OB , le point A parcourt un arc de cercle de longueur l (Comme le rayon du cercle est 1 , l est aussi, la mesure \ ). en radians de l’angle géométrique AOB On convient de dire que l est une mesure de l’angle orienté −→ −−→ −→ \ (OA, OB) ( OA est écrit en premier pour indiquer que l’on part de A). + B 1 α l O A - 79 CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 80 Exercice 11.4 Dans chaque cas, placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : −−\ → −→ −−→ −−→ \ est une mesure de (OK, OL) ; π2 est une mesure de (OK, OM ) ; 2π 3 est une mesure de −−\ → −−→ (OM , ON ) . −−\ → −→ −−→ −−→ \ 3π 5π 2. 7π 6 est une mesure de (OK, OL) ; 2 est une mesure de (OK, OM ) ; 3 est une mesure −−\ → −−→ de (OM , ON ). 1. π 4 −→ −−→ Après avoir fait tourner OA dans le sens direct pour l’amener sur OB une première fois, on peut faire un tour de plus, toujours dans le sens direct. Le point A parcourt un arc de cercle de longueur l + 2π . −→ −−→ \ On convient de dire que l + 2π est une mesure de l’angle orienté (OA, OB) Après être arrivé en B une première fois, si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens direct, le point A parcourt un trajet de longueur l + 2kπ , ce nombre est aussi une mesure de −→ −−→ \ (OA, OB). Exercice 11.5 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : −−\ → −→ −−→ −−→ \ π 5π 3 + 2π est une mesure de (OK, OL) ; 6 + 4π est une mesure de (OK, OM ) ; −−\ → −−→ mesure de (OM , ON ). 27π 4 est une Mesures négatives −→ −−→ Mais pour amener OA sur OB on peut aussi parcourir le cercle −→ −−→ dans le sens indirect. Alors lorsque OA arrive sur OB pour la première fois, le point A parcourt un arc de cercle de longueur 2π − l . Pour indiquer que l’on parcourt le cercle dans le sens indirect sans l’écrire, on convient de ”compter ce trajet négativement” et de dire que −(2π − l) est une mesure de −→ −−→ \ OB). l’angle orienté (OA, + B 1 α 2π-l l O A - Exercice 11.6 Dans chaque cas, placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : −−\ → −→ −−→ −−→ \ OL) ; − π2 est une mesure de (OK, OM ) ; − 2π 1. − π4 est une mesure de (OK, 3 est une mesure −−\ → −−→ de (OM , ON ). −−\ → −→ −−→ −−→ \ 3π 5π 2. − 7π 6 est une mesure de (OK, OL) ; − 2 est une mesure de (OK, OM ) ; − 3 est une −−\ → −−→ mesure de (OM , ON ). CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 81 −→ −−→ Après avoir fait fait tourner OA dans le sens indirect pour l’amener sur OB une première fois, on peut faire un tour de plus, toujours dans le sens indirect que l’on compte négativement. −→ −−→ \ On convient de dire que −(2π − l) − 2π est une mesure de l’angle orienté (OA, OB) . ′ Après être arrivé en B une première fois, si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens −→ −−→ \ indirect direct, que l’on compte négativement, on obtient pour mesure de (OA, OB) le nombre ′ ′ réel −(2π − l) − 2k π ce qui s’écrit encore l + 2(−k − 1)π . Exercice 11.7 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : −−\ → −→ −−→ −−→ \ 7π 23π − 5π est 3 − 2π est une mesure de (OK, OL) ; − 6 − 4π est une mesure de (OK, OM ) ; − 4 −−\ → −−→ une mesure de (OM , ON ). Ensemble des mesures −→ −−→ Pour amener OA sur OB on peut aussi faire une partie du parcours dans le sens direct et −→ une autre dans le sens indirect. On démontre que tous les parcours permettant d’amener OA −−→ sur OB sont associés, par les procédés décrits ci-dessus, aux nombres de la forme l + 2kπ , où k ∈ Z. −→ −−→ \ Ces nombres sont appelés les mesures de l’angle orienté (OA, OB) . Exercice 11.8 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : −−\ → −→ −−→ −−→ \ 5π 7π 3 − 2π est une mesure de (OK, OL) ; 6 − 3π est une mesure de (OK, OM ) ; −−\ → −−→ une mesure de (OM , ON ). Cas général 7π 6 + 2π − π 3 est N l B −−→ −−→ − → → u = OM et − v = ON sont deux vecteurs non nuls représentés à partir d’un point O . Notons C le cercle trigonométrique de centre O . Les demi-droites [OM et [ON coupent C en A et B . Notons l la longueur de l’arc de cercle AB , parcouru de A vers B dans le sens trigonométrique. v O A M u Définition 11.9 Les nombres de la forme l + 2kπ , k ∈ Z, sont les mesures en radians de l’angle → → \ u,− v ). orienté de vecteurs (− Remarque : si x est une mesure, toute autre mesure y s’écrit y = x + 2kπ , k ∈ Z. 11.3 Mesure principale • Parmi toutes les mesures l + 2kπ , il en existe une et une seule dans l’intervalle ]−π; +π] → → (]−180◦ ; 180◦ ]). Cette mesure est appelée la mesure principale de (− u,− v ). − → • La valeur absolue de la mesure principale de (→ u,− v ) est égale à la mesure en radians de l’angle → − → − géométrique formé par u et v . CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 11.4 82 Rotation du plan orienté Définition 11.10 I est un point fixé du plan et α un réel. La rotation de centre I et d’angle α , mesuré en radians, est la transformation du plan orienté telle que I est invariant et pour tout point M ̸= I , son image M ′ −−→ −−→ est le point tel que IM ′ = IM et (IM , IM ′ ) = α (+k . 2π avec k ∈ ZZ). M’ α M I 11.5 Propriétés des angles orientés Ne pas oublier que tout angle orienté possède une infinité de mesures... 11.5.1 Angles et colinéarité − → → → → u et − v sont deux vecteurs non nuls, l’angle (− u,− v ) permet de traduire leur colinéarité car, d’après la définition des mesures d’un angle orienté : → → → → → → (− u,− u ) = 0 et (− u , −− u ) = (−− u,− u ) = π. On en tire le théorème suivant : Théorème 11.11 → → → → Dire que − u et − v sont colinéaires et de même sens équivaut à dire que (− u,− v ) = 0. − → − → → → Dire que u et v sont colinéaires et de sens contraires équivaut à dire que (− u,− v ) = π. π v u v u 11.5.2 Relation de Chasles Théorème 11.12 (admis) → → → − → → → → → Pour tous vecteurs non nuls − u,− v ,− w : (→ u,− v ) + (− v ,− w ) = (− u,− w ). → → → → Selon cette relation de Chasles, en additionnant n’importe quelles mesures de (− u,− v ) et de (− v ,− w ), − → − → − → → − on obtient une mesure de ( u , w ). Réciproquement, toute mesure de ( u , w ) peut s’écrire comme la → → → → somme d’une mesure de (− u,− v ) et d’une mesure de (− v ,− w ). Exemple: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (BA, CD) = (BA, BC) + (BC, CD), −−→ −−→ π 5π donc (BA, CD) = − 3π 4 + 3 = − 12 . CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 83 Propriété 11.13 → → Pour tous vecteurs non nuls − u et − v: − → → → 1. (→ u,− v ) = −(− v ,− u) − → → → 2. (→ u , −− v ) = (− u,− v)+π → → → → 3. (−− u,− v ) = (− u,− v)+π → → → → 4. (−− u , −− v ) = (− u,− v) Démonstration. − → → → → → → → → → → → u,− u ) = 0 et selon la relation de Chasles, (− u,− u ) = (− u,− v )+(− v ,− u ) donc (− u,− v )+(− v ,− u)=0 1. (→ d’où le résultat. → → → → → → → → 2. (− v , −− v ) = π et selon la relation de Chasles, (− u , −− v ) = (− u,− v ) + (− v , −− v ) d’où le résultat. → → → → → → → → 3. (−− u,− u ) = π et selon la relation de Chasles, (−− u,− v ) = (−− u,− u ) + (− u,− v ) d’où le résultat. → → 4. Selon la relation de Chasles, (−− u , −− v) → → → → (−− u , −− v ) = (− u,− v ) + 2π d’où le résultat. 11.5.3 = → → → → (−− u,− u ) + (− u,− v) = → → (− v , −− v ) , donc Transformations usuelles et angles orientés Définition 11.14 • Dire qu’une transformation du plan conserve les angles orientés signifie que quels que soient les trois points du plan, distincts deux à deux, M, N, P d’images respectives M ′ , N ′ , P ′ alors −−−→ −−−→ −−→ −−→ (M ′ N ′ , M ′ P ′ ) = (M N , M P ). • Dire qu’une transformation du plan change les angles orientés en leurs opposés signifie que quels que soient les trois points du plan, distincts deux à deux, M, N, P d’images respectives M ′ , N ′ , P ′ −−−→ −−−→ −−→ −−→ alors (M ′ N ′ , M ′ P ′ ) = −(M N , M P ). Propriété 11.15 • Les translations, les homothéties et les rotations conservent les angles orientés. • Une réflexion change un angle orienté en son opposé. Chapitre 12 NOMBRES TRIGONOMETRIQUES A partir de maintenant, tout angle orienté représenté dans un cercle trigonométrique aura comme − → vecteur de départ i . + 1 j O i Définition 12.1 → → → → Un repère orthonormé (O; − ı ,− ȷ )du plan est dit direct lorsque (− ı ,− ȷ) = π − → − → ( ı , ȷ ) = −2 . 12.1 π 2 , indirect lorsque Quadrants Dans la figure suivante, les axes représentés en pointillés bordent 4 régions du plan. Chacune de ces régions porte le nom de QUADRANT. II I III IV Exercice 12.2 84 CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 85 Entoure le numéro du quadrant correspondant. 9O 60◦ 305◦ 224◦ 128◦ 400◦ −25◦ est est est est est est un un un un un un angle angle angle angle angle angle du du du du du du quadrant quadrant quadrant quadrant quadrant quadrant I I I I I I II II II II II II III III III III III III + IV IV IV IV IV IV II I O 18O o III IV 27O Exercice 12.3 Entoure le numéro du quadrant correspondant. π/2 5π 6 π 4 7π 4 4π 3 7π 3 − π4 est est est est est est un un un un un un angle angle angle angle angle angle du du du du du du quadrant quadrant quadrant quadrant quadrant quadrant I I I I I I II II II II II II III III III III III III + IV IV IV IV IV IV II π I 0 2π o III IV 3π/2 Exercice 12.4 Placer, sur le cercle trigonométrique, les points images des angles dont on donne une mesure 9O A: −30◦ F: −225◦ B: 120◦ G: 405◦ C: −200 ◦ + II ◦ H: −135 D: 330◦ I: 660◦ E: −210◦ J: −300◦ I O 18O o III IV 27O Exercice 12.5 Placer, sur le cercle trigonométrique, les points images des angles dont on donne une mesure π/2 A: − π4 B: 2π 3 C: 7π 4 D: 5π 6 E: − 3π 4 + F: 5π G: 5π 4 H: 9π 4 I: − 5π 3 J: 7π 6 II π I 0 2π o III IV 3π/2 Exercice 12.6 Donner, en degrés, la mesure principale des angles orientés dont on donne une mesure en degrés. CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 400◦ −→ 1080◦ −→ 86 550◦ −→ −260◦ −→ −390◦ −→ −200◦ −→ Exercice 12.7 Donner, en radians, la mesure principale des angles orientés dont on donne une mesure en radians. 17π 6 11π 5 −→ −→ −→ −3π −→ 5π 3 −→ − 8π 7 −→ 19π 5 Exercice 12.8 On donne des nombres. Quels sont ceux qui sont la mesure principale, en radians, d’un angle? 3π 4 5π 3 1, 9 π −4, 2 − 5π 6 Exercice 12.9 b a une infinité de mesures : π + k.2π (k ∈ ZZ) Un angle A 6 b Parmi les nombres suivantes, quels sont ceux qui sont une mesure en radians de A − 11π 6 13π 6 5π 6 − 7π 6 12.2 Cosinus et sinus d’un angle orienté de vecteurs 12.2.1 Cosinus et Sinus d’un réel − 73π 6 −→ → C est un cercle trigonométrique, A et B sont deux points de ce cercle tels que, si on pose − ı = OA et −−→ − → − → − → ȷ = OB alors le repère (O; ı , ȷ )est orthonormé direct. B Définition 12.10 α est un réel quelconque. Il lui correspond un unique point M de C (on associe donc un point du cercle à α ) tel que α soit une −−→ → mesure en radians de (− ı , OM ). sin x • Le cosinus de α , noté cos α , est l’abscisse de M dans le → → repère (O; − ı ,− ȷ ). 0 x cos x • Le sinus de α , noté sin α , est l’ordonnée de M dans le → → repère (O; − ı ,− ȷ ). Remarques : 1. On dit certaines fois, pour associer un point du cercle trigonométrique à un réel, que l’on enroule l’ensemble des réels autour du cercle trigonométrique. A CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 87 2. Il est essentiel de retenir quelques valeurs de cosinus et sinus pour des réels paticuliers. La figure suivante donne les valeurs à connaı̂tre (Le calcul de chacune de ces valeurs repose sur la géométrie élémentaire . . . et quelques symétries . . .). CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 88 sin π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π π/3 √ 3 2 √ 2 2 π/4 π/6 1 2 − √ 3 2 − √ 2 2 − 1 2 1 2 −5π/6 − 1 2 √ 2 − 2 √ 3 − 2 −3π/4 −2π/3 √ 2 2 √ 3 2 0 cos −π/6 −π/4 −π/3 −π/2 Proposition 12.11 Pour tout réel x : 1. cos2 x + sin2 x = 1 2. cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x 3. cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x 4. cos(x + π) = − cos x et sin(x + π) = − sin x 5. cos(π − x) = − cos x et sin(π − x) = sin x 6. cos( π2 − x) = sin x et sin( π2 − x) = cos x 7. cos( π2 + x) = − sin x et sin( π2 + x) = cos x Démonstration. Les figures suivantes illustrent cette proposition. CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 12.2.2 89 Fonctions cosinus et sinus Définition 12.12 (Fonction cosinus) La fonction cosinus, notée cos , est la fonction qui à tout réel x associe son cosinus. cos : IR −→ IR x 7−→ cos x Sa courbe représentative est la suivante : y +1 O y = cos x +1 x Exercice 12.13 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc. . .) que vous remarquez sur cette représentation. Définition 12.14 (Fonction sinus) La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe son sinus. sin : IR −→ IR x 7−→ sin x CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 90 Sa courbe représentative est la suivante : y y = sin x +1 O +1 x Exercice 12.15 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc. . .) que vous remarquez sur cette représentation. 12.2.3 Cosinus et sinus d’un angle orienté → → Si x désigne une mesure en radians d’un angle orienté (− u,− v ) , alors toute autre mesure est du type x + 2kπ , avec k entier relatif. Comme la fonction cosinus est 2π périodique, alors cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x. Il en résulte la définition suivante : Définition 12.16 − → Le cosinus (respectivement le sinus) d’un angle orienté (→ u,− v ) est le cosinus (respectivement le sinus) de l’une quelconque de ses mesures en radians. Notation 12.17 − → → → → → Le cosinus de l’angle (→ u,− v ) se note cos(− u,− v ) et le sinus, sin(− u,− v) 12.2.4 Lien entre cosinus d’un angle orienté et l’angle géométrique associé → → Notons α la mesure principale de l’angle orienté (− u,− v ) et \ θ la mesure en radians de l’angle géométrique AOB . Nous savons que |α| = θ et que la fonction cosinus est paire donc cos θ = cos(|α|) = cos α . → → Propriété 12.18 L’angle orienté de vecteurs (− u,− v ) et l’angle géométrique formé par ces deux vecteurs ont le même cosinus. Remarque : → → \ n’ont pas toujours le même sinus. En effet la fonction sinus est impaire donc (− u,− v ) et AOB → → \ sin |α| = sin α si α est positif et sin |α| = − sin α si α est négatif. Ainsi les sinus de (− u,− v ) et AOB sont égaux ou opposés. CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 91 12.3 Tangente et Cotangente d’un angle orienté de vecteurs 12.3.1 Tangente et Cotangente d’un réel Définition 12.19 } { Si x ∈ IR \ π2 + k . π : k ∈ ZZ , alors tg x = sin x cos x Définition 12.20 { } Si x ∈ IR \ k . π : k ∈ ZZ , alors cotg x = 12.3.2 cos x sin x Interprétation graphique de la Tangente et de la Cotangente Pour obtenir une représentation graphique de la tangente de x, on trace la droite tangente ∆ au cercle trigonométrique au point A de coordonnées (1, 0). La tangente de x est l’ordonnée du point M , intersection de ∆ avec OB . M B j αx A i B' O ∆ En effet, les triangles OAM et OB ′ B étant semblables (A - A), on a OA AM 1 AM sin x = ′ =⇒ = =⇒ AM = = tg x ′ cos x sin x cos x OB BB Pour obtenir une représentation graphique de la cotangente de x, on trace la droite tangente ∆ au cercle trigonométrique au point C de coordonnées (0, 1) . La cotangente de x est l’abscisse du point M , intersection de ∆ avec OB . ∆ M C B B’ j x A O i En effet, les triangles OCM et OB ′ B étant semblables (A - A), on a 1 OC CM CM cos x = ′ =⇒ = =⇒ CM = = cotg x ′ sin x cos x sin x OB BB CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 12.3.3 92 Fonctions tangente et cotangente Définition 12.21 (Fonction tangente) La fonction tangente, notée tg , est la fonction qui à tout réel x ̸= π2 + k . π(k ∈ ZZ) associe sa tangente tg : IR −→ IR x 7−→ tg x Sa courbe représentative est la suivante : 4 3 y = tan x 2 1 -5 -4 -3 -2 O -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Exercice 12.22 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc. . .) que vous remarquez sur cette représentation. Définition 12.23 (Fonction Cotangente) La fonction cotangente, notée cotg , est la fonction qui à tout réel x ̸= k . π(k ∈ ZZ) associe sa cotangente. cotg : IR −→ IR x 7−→ cotg x Sa courbe représentative est la suivante : 4 3 y = cotan x 2 1 -5 -4 -3 -2 O -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Exercice 12.24 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc. . .) que vous remarquez sur cette représentation. CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 12.3.4 93 Tangente et Cotangente d’un angle orienté → → Si x désigne une mesure en radians d’un angle orienté (− u,− v ) , alors toute autre mesure est du type x + 2kπ , avec k entier relatif. Comme la fonction tangente est 2π périodique, alors tg (x + 2kπ) = tg x et cotg (x + 2kπ) = cotg x. Il en résulte la définition suivante : Définition 12.25 La tangente (respectivement la cotangente) d’un angle orienté est la tangente (respectivement la cotangente) de l’une quelconque de ses mesures en radians. 12.4 Signe des nombres trigonométriques Cos a - + - + 12.5 Sin a Tg a Cotg a + + - - - + + - - + + - Nombres trigonométriques d’angles remarquables DEG → 0◦ sin 0 cos 1 tg 0 cotg ∞ RAD → 0 12.6 30◦ 1 √2 3 √2 3 √3 3 π 6 ◦ 45 √ ◦ 60 √ 1 1 √ 2 √2 2 2 π 4 3 2 1 √2 3 3 3 π 3 90◦ 1 0 ∞ 0 π 2 Exercices Exercice 12.26 Calculer sans machine. 1. sin(−90◦ ) = 8. cotg (90◦ ) = 15. sin( 5π 2 )= 2. cos(−90◦ ) = 9. cotg (0◦ ) = 16. cotg (− π2 ) = 3. sin(−270◦ ) = 10. tg (90◦ ) = 17. cos(−π) = 4. cos(−360◦ ) = 11. cos(−π) = 18. cos(−π) = 5. tg (−180◦ ) = 12. sin(− π2 ) = 19. cos(−π) = 6. cotg (−180◦ ) = 13. cos(3π) = 20. cos(−π) = 7. tg (270◦ ) = 14. tg (− π2 ) = 21. cos(−π) = Exercice 12.27 1. Sachant qu’α est un angle du deuxième quadrant et que sin α = 54 , calculer cos α , tg α et cotg α puis donner, pour chacun de ces nombres trigonométriques, une interprétation graphique sur un cercle dont le rayon mesure 2 cm. [ ] 2. Idem si α ∈ 180◦ , 270◦ et tg α = −1, 5 (rayon du cercle = 2, 5 cm). CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 3. Idem si α ∈ [ 3π 2 94 ] , 2π et cos α = − 21 (rayon du cercle = 1, 5 cm). 4. Idem si α au quadrant I et sin α = − [ ] 5. Idem si α ∈ π2 , π et cos α = − 45 . √ 3 2 . Exercice 12.28 Un élève a résolu des exercices analogues à ceux de l’exercice précédent. Chercher les éventuelles erreurs. √ [ ] 1. α ∈ 180◦ , 270◦ cos α = 14 sin α = 415 [ ] cos α = 25 sin α = 53 2. α ∈ 0◦ , 90◦ √ [ ] 3. α ∈ π2 , π sin α = 23 cotg α = − 25 Exercice 12.29 Démontrer les formules suivantes : 1 + tg 2 x = 1 cos2 x et 1 + cotg 2 x = 1 sin2 x Exercice 12.30 Vérifier les identités suivantes, après avoir précisé les conditions d’existence. 1. cos4 α − sin4 α = cos2 α − sin2 α 2. sin α(1 − cotg α) = cos α(tg α − 1) 3. cos α − cos3 α = cos α sin2 α 4. sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1 5. cotg 2 α − 6. (tg α + 1 sin2 α 1 2 cos α ) = −1 = 1+sin α 1−sin α 7. sin2 α + sin2 αtg 2 α = tg 2 α 8. (1 − cos α + sin α)(1 + cos α − sin α) = 2 sin α cos α 9. cos2 α cotg 2 α = cotg 2 α − cos2 α 10. sin4 α(3 − 2 sin2 α) + cos4 α(3 − 2 cos2 α) = 1 11. sin6 α + cos6 α − 2 sin4 α − cos4 α + sin2 α = 0 (suggestion : grouper les termes en sin α ) 12. sin6 α + cos6 α + 3 sin2 α cos2 α = 1 13. 2(sin6 α + cos6 α) − 3(sin4 α + cos4 α) = −1 14. tg 2 α 1+tg 2 α = sin2 α 15. 2tg α 1+tg 2 α = 2 sin α cos α 16. sin2 α − sin2 β = cos2 β − cos2 α Exercice 12.31 Montrer que 1 1+sin α et −1 1−sin α sont solutions de l’équation: x2 cos2 α + 2x sin α − 1 = 0. CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 95 Vocabulaire 12.32 Deux angles sont opposés si leur somme vaut une mesure de l’angle nul Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut une mesure de l’angle plat Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut une mesure de l’angle droit Deux angles sont anti-supplémentaires si leur différence vaut une mesure de l’angle plat. Ainsi, si α est un angle orienté quelconque, alors • Les angles α et π − α sont appelés angles supplémentaires. • Les angles α et −α sont appelés angles opposés. • Les angles α et π 2 − α sont appelés angles complémentaires. • Les angles α et π + α sont appelés angles antisupplémentaires. Exercice 12.33 Compléter Angle α 30◦ 55◦ Opposé Supplémentaire Complémentaire Antisupplémentaire π 5 π 4 Exercice 12.34 Parmi les propositions suivantes, repérer les égalités et corriger les signes dans les égalités fausses afin d’obtenir des égalités. 1. sin 60◦ = sin 120◦ 6. tg 135◦ = tg (−45◦ ) 2. sin 60◦ = sin(−60◦ ) 7. sin 300◦ = sin 60◦ ◦ 3. cos 30 = cos 330 ◦ ◦ ◦ 4. cos 45 = sin 45 5. cos 60◦ = sin 390◦ ◦ 8. sin 45 = cos 315 ◦ 9. sin 60◦ = sin(−240◦ ) 10. cos 3◦ = cos 177◦ 11. cos 5◦ = sin 265◦ 12. tg 12◦ = tg 192◦ 13. cotg (−290◦ ) = cotg 70◦ 14. cos(180◦ + α) = cos(180◦ − α) Exercice 12.35 Simplifier sans utiliser de calculatrice 1. cos(−20◦ ) cos 160◦ 2. sin(100◦ ) cos(−10◦ ) 3. cos( 3π 5 ) π sin( 10 ) CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 96 Exercice 12.36 Simplifier (on suppose les dénominateurs non nuls) 1. sin(90◦ −α) sin(−α) 3. sin (90◦ −α) tg (45◦ +α) cos(360◦ −α) tg (225◦ +α) 5. + sin(90◦ +α) sin(270◦ +α) 2. cos(90◦ +α) cos(90◦ −α) 4. sin(−α) sin(90◦ +α) cos(−α) cos(180◦ +α) cos(270◦ −α) tg (270◦ +α) 6. tg (180◦ −α) − sin(180◦ −α) sin(270◦ −α) 12.7 sin(180◦ −α) cos(90◦ −α) Equations trigonométriques Angles ayant même sinus : sin x x = α + 2kπ = sin α ⇕ ( angles supplémentaires) ou x = π − α + 2kπ (k ∈ ZZ) Angles ayant même cosinus : cos x = cos β ⇕ ( angles opposés) ou x = −β + 2kπ x = β + 2kπ (k ∈ ZZ) Angles ayant même tangente : tg x = tg γ ⇕ ( angles antisupplémentaires) x = γ + kπ (k ∈ ZZ) Exemples 12.37 Résolvons les équations trigonométriques élémentaires suivantes: 1. sin x = sin 21◦ 3. cos x = cos 36◦ 5. tg x = tg 45◦ 2. sin x = sin 0, 5 4. cos x = cos 1, 3 6. tg x = tg 0, 9 Exemples 12.38 Résolvons dans l’ensemble des angles (en degrés) et dans l’ensemble des réels (en radians) les équations trigonométriques suivantes : 1. sin x = √ 2 2 2. sin x = 1 √ 3. cos x = 3 2 4. cos x = −1 5. tg x = √ 3 6. tg x = 1 Exemples 12.39 Résolvons dans l’ensemble des angles (en degrés) et dans l’ensemble des réels (en radians) les équations trigonométriques suivantes : CHAPITRE 12. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 1. sin x = 0, 9137 97 2. cos x = −0, 7314 3. tg x = 2, 71 Exercices 12.40 Résoudre dans IR (poser des conditions d’existence si nécessaire): 1. sin 3x = sin 2x 4. cos 3x = sin 2x 2. cos 3x = cos 2x 5. 2 cos2 x − cos x − 1 = 0 3. tg 3x = tg x Exercices 12.41 Résous dans IR : 1. sin 4y − sin 2y = 0 ) ( ) ( 2. cos 3γ − π4 − sin 2γ + π3 = 0 4. tg 2z + tg z = 0 ( ) 5. cos 2x = − cos x − π9 3. sin 2x = − sin x Exercices 12.42 Résous dans IR : 1. 2 cos2 x = 1 2. tg 2 x + 4tg x + 3 = 0 3. tg x − cotg x = 1 Exercices 12.43 Cherche le domaine de définition et l’ensemble des racines des fonctions f : IR −→ IR : x 7→ f (x) , telles que f (x) égale 1. 1 2 cos 3x+1 2. cos 2x+cos x 2| sin x|−1