4 Dérivée de fonctions transcendantes

4
4.1
Dérivée de fonctions transcendantes
Fonctions trigonométriques
8. Trouver
dy
.
dx
1. Évaluer, sans calculatrice.
a) x sin x + y cos y = 0
a) sin
`
´
d) cot − 11π
6
8π
`3
´
b) cos − 5π
2
c) tan
e) sec
g) sin
4π
h) cos
`3 ´
f) csc − π4
3π
4
`π
3
π
12
+
b) sin xy + xy = 0
4
c) sec y 3 + y 2 = 3x4
d) x tan (ey ) + ln y = 3
4
´
π
9. Étudier la croissance et la concavité des fonctions
suivantes et tracer leur graphique.
2. À l’aide des identités trigonométriques pour sin(α+β)
et cos(α + β) trouver les identités pour
a) sin(α − β)
c) sin(2θ)
b) cos(α − β)
d) cos(2θ)
a) f (x) =
x
+ sin x, où x ∈ [0, 2π]
2
b) f (x) = sin x + cos x, où x ∈ [0, 2π]
10. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
3. Démontrer les identités trigonométriques suivantes.
a) sin2 θ =
1 − cos 2θ
2
c) sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ
4
0
`
´
e) y = cos tan x2
b) y = sin3 x + 3sin x
f) y = ex sec2 2x
c) y = ln (sec x + tan x)
g) y = etan x − sin x cos x
3
4
d) cos θ − sin θ = cos 2θ
θ
sin θ
e) tan =
2
1 + cos θ
1 + cos 2θ
b) cos2 θ =
2
a) y = cos e−x
2
d) y =
1 + csc x
1 − cot x2
h) y = cot
x−1
x−4
0
4. Trouver (sin u) et (cos u) si la variable u donne
l’angle en degré.
4.2
Fonctions trigonométriques inverses
0
5. Démontrer que (cos x) = − sin x.
11. Sans calculatrice, évaluer les nombres suivants en
radians.
a) En utilisant la définition de la dérivée.
p
b) En utilisant l’identité cos x = 1 − sin2 x.
1
2
«
„
1
b) arccos −
2
c) En utilisant`les identités
:
´
`
´
sin x = cos π2 − x et cos x = sin π2 − x
6. Démontrer les formules de dérivation suivantes :
a) (cot x)0 = − csc2 x
e) y = tan
b) y = cos 3x − 3 cos x
c) y = sec2 x
x2
x+1
d) arcsec 2
√
e) arccot 3
g) tan (arctan 3)
h) lim arctan x
x→∞
`
´ √
b) 2 sin x2 − 1 = 2
a) sin x + 1 = cos x
7. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) y = x3 sin x
f) arcsin (sin 5)
12. Résoudre les équation suivantes.
b) (csc x)0 = − csc x cot x
„
c) arctan (−1)
a) arcsin
13. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
«
`
´
a) y = arcsin x3 − 3x
sin 3x
f) y = e
b) y = (x − arctan 2x)
c) y = arccsc x2
d) y = cot 3x csc 3x
1
5
d) y = x arccos 2x
√
e) y = arcsin x
f) y =
2
arccot x
14. Trouver
dy
.
dx
a) arctan
y
= y2
x
21. Trouver
dy
.
dx
a) ex+y = y 2 + 1
b) arccos y = arcsin x
b) x ln y − 3xy 2 = 0
c) earctan y = sin (ln x)
2
22. Soit la fonction f (x) = e−x
15. Trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction
f (x) = arcsin 3x admet une droite tangente
perpendiculaire à la droite y = 3 − x/5.
a) Faire l’étude complète de croissance, concavité et
asymptotes de cette fonction puis tracer son graphique.
b) Trouver les dimensions du rectangle d’aire maximale
que l’on peut inscrire entre l’axe des x et la courbe de
f.
16. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) y = x arctan x
2x
b) y = arccos
1 − x2
`
´
c) y = arccot e3 sec x
`
´
d) y = arcsec x2 + 1
e) y =
23. Soit f (x) = xk − k x , où k est une constante positive.
Trouver la valeur de k pour laquelle f 0 (1) = 0.
arcsin x2
ln x
24. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) y = e
4.3 Fonctions
logarithmiques
exponentielles
b) y = e
et
b) log100 10
4.4
1
9
d) log3 54
+
√
ex
x2
x−5
c) y = 23
17. Évaluer, sans calculatrice, les nombres suivants
sachant que log3 2 ≈ 0, 63.
a) log10 1000
√
x
5x
d) y = ln x log x
ln x4
x4
`
´5
f) y = x + ln2 x
e) y =
Applications
c) log3
25. Soit la fonction f (x) = x + ln x2 + 1
a) Montrer que f est toujours croissante.
b) Étudier sa concavité et donner ses points d’inflexion.
18. Résoudre les équations suivantes.
a) log2 x = 5
c) 5 · 3x = 2x+1
b) 3x = 100
d) 2 log4 x − log4 x − 1 = 1
26. Trouver les extremums absolus des fonctions données
sur l’intervalle [0, 2π].
a) f (x) = cos2 2x
b) f (x) = 5 sin x + 12 cos x
19. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) y = 3x + 3−x + x3 + 3x
b) y = 82
x
+x2
x3
ex
d) y = x · 8x
27. Un virus se propage de telle sorte que le nombre
de personnes atteintes du virus t semaines après son
5000
apparition est donné par N (t) =
3t .
2 + 8e− 4
c) y =
a) Initialement, combien de personnes sont porteuses du
virus ?
20. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
`
´
a) y = log5 x3 + 1
b) y =
ln x
x
b) Combien de personnes seront atteintes 4 semaines
après son apparition ?
c) y = x4 ln5 x
d) y =
p
c) Dans combien comptera-t-on 1300 victimes ?
log3 x
2
d) À long terme, combien de personnes contracteront ce
virus ?
e) Quel est le taux de propagation du virus après 2
semaines ?
f) Quel est ce taux à long terme ?
g) À quel moment le virus se propage-t-il le plus
rapidement ?
32. Trouver l’équation de la droite tangente
à la courbe
de f (x) = ln (sin x) au point π4 , f ( π4 ) .
28. On lance un projectile avec un canon selon une
vitesse initiale de v0 m/s. Si on néglige la résistance
de l’air, la portée (la distance horizontale parcourue
par le projectile) est donnée par la fonction
R(θ) =
33. Un caméraman est posté à 5 m d’une route rectiligne
et doit filmer une voiture qui passera sur cette route
à vitesse constante de 10 m/s. À quelle vitesse
angulaire (en rad/s) la caméra doit-elle pivoter
exactement une seconde après que la voiture soit
passée devant elle ?
v02 sin 2θ
g
où g = 9, 8 m/s2 et θ est l’angle d’inclinaison du
canon. Selon quel angle doit-on placer le canon pour
avoir une portée maximale ?
29. Les côtés congrus d’un triangle isocèle mesurent
5 cm. Trouver l’angle θ entre ces deux côtés qui
maximise l’aire du triangle.
34. Une étune menée auprès d’athlètes olympiques révèle
que la capacité pulmonaire de ces derniers obéit à la
fonction
0, 8 ln x − 1, 8
C(x) =
0, 009x
30. À quelle distance de la ligne des buts un ailier gauche
de hockey sur table doit-il lancer pour maximiser
ses chances de marquer si le but mesure 5 cm de
largeur et que le joueur est restreint à un rail situé
à 8 cm du poteau le plus près ? On suppose que le
joueur maximise ses chances de marquer si l’angle
d’ouverture vers le but est maximal.
où x est l’âge de l’athlète. À que âge un athlète a-t-il
une capacité pulmonaire maximale ?
35. À l’aide du test de la dérivée seconde, trouver les
x2
extremums relatifs de f (x) = arctan x +
− x.
2
√
36. Soit f (x) = x − 4 et la droite D joignant l’origine et
un point quelconque sur la courbe de f . Quelle valeur
de x minimise l’angle entre la droite D et l’axe des x ?
37. On doit suspendre une lampe au dessus du centre
d’une table carrée de 2 m par 2 m. L’intensité de
la lumière à un point P de la table est directement
proportionnel au sinus de l’angle que forme le rayon
lumineux avec la table, et inversement proportionnel
à la distance entre P et la lampe. À quelle hauteur
31. On fabrique une auge à partir d’une feuille de métal
de 120 cm de largeur. De chaque côté, on replie une
bande de 40 cm selon un angle θ. Quel doit être
cet angle pour que l’auge puisse contenir un volume
maximal ?
3
la lampe doit-elle être suspendue pour que l’intensité
lumineuse soit maximale aux quatre coins de la
table ?
42. Trouver
dy
.
dx
√
c) arcsin ey = x y
a) ex ln y = y tan x
`
´
b) cos x2 y 2 = ln x
43. Soit la fonction


ex − x + k


−x3
f (x) =

ln x


x
38. Trouver les
suivantes.
extremums
`
´
a) y = ln2 2x2 − x .
relatifs
des
si
si
x<0
0≤x<1
si
x≥1
fonctions
a) Quelle doit être la valeur de k pour que f soit continue
en x = 0 ?
b) y = sin2 x + 2 cos x.
b) Pour cette valeur de k, f est-elle dérivable en x = 0 ?
c) f est-elle continue en x = 1 ?
39. Quelle est la longueur maximale du tuyau de
diamètre négligeable qui peut tourner le coin de ce
corridor si on néglige la hauteur du corridor ?
d) f est-elle dérivable en x = 1 ?
44. Utiliser les propriétés des logarithmes pour dériver
f (x) = ln
sin5 2x sec4 3x
√
x2 + 5
45. Utiliser la dérivée logarithmique pour dériver les
fonctions suivantes.
4.5
a) y = xsin x
Exercices récapitulatifs
46. Soit f (x) = 3e4x . Trouver une expression pour
f (n) (x) (la ne dérivée de f ).
40. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
√
a) y = log3 x
q
√
b) y = ln x
s„ «
x
1
c) y = 4
3
d) y = (ex + 2x )5
ex
e) y = x
e −x
h) y = sin (2x + cos x)
` `
´´
i) y = ln csc 3x4 − 2ex
√
√
j) y = cot x + sec x2
47. Faire l’étude complète de la fonction f (x) = xex et
tracer son graphique.
x2
√
tan 3 x
p
l) y = sec (sin x2 )
k) y =
48. On veut atteindre un mur fragile en appuyant une
échelle sur un muret de 2 m de haut situé à 1 m du
mur. Déterminer l’angle θ qui minimise la longueur
de l’échelle à utiliser.
x
m) y = ln (arctan e )
1
x
f) y = tan e
ln x
g) y = log (cos 3x − cos3 2x) o) y = arcsin
x
2
x3
b) y = (sin x)arctan x
n) y = arccot
41. Vous avez remarqué au numéro (38 n) que
0
0
arccot x1
= (arctan x) . Montrer, à l’aide d’un
triangle rectangle, que arccot x1 = arctan x.
4
49. On veut placer une caméra de surveillance sur le mur
de 10 mètres. À quel endroit doit-on la placer pour
maximiser son champ de vision ?
5
Réponses aux exercices
√
1.
a)
3
2
b) 0
c) −1
√
d)
3
e) −2
√
f) − 2
11. Sans calculatrice, évaluer les nombres suivants en radians.
g) sin π
cos π + cos
√ 3 √ 4
2+ 6
π
3
sin
π
4
=
a)
4
√
h)
2+
√
b)
6
a) sin α cos β − sin β cos α
c) 2 sin θ cos θ
b) cos α cos β + sin α sin β
d) cos2 θ − sin2 θ
c) −
6
2π
d)
3
4
12.
2.
π
a) x =
π
2
π
4
e)
π
π
g) 3
6
h)
f) 5
3
π
2
+ kπ, k ∈ Z
s
b) x = ±
π
4
s
+ +1 + 2kπ, k ∈ Z ou x = ±
3π
4
+ +1 + 2kπ, k ∈
Z
3. Laissé à l’étudiant.
a)
dy
3x2 − 3
= q
dx
1 − (x3 − 3x)2
5. Laissé à l’étudiant.
b)
2
dy
4 4x − 1
= 5 (x − arctan 2x)
dx
4x2 + 1
6. Laissé à l’étudiant.
c)
dy
−2
= √
dx
x x4 − 1
d)
dy
2x
= arccos 2x − √
dx
1 − 4x2
e)
dy
1
= √
dx
2 x − x2
f)
dy
2
=
dx
(x2 + 1) arccot2 x
13.
4.
7.
180
π
cos u et − 180
π sin u.
a)
dy
2
3
= 3x sin x + x cos x
dx
b)
dy
= 3 sin x − 3 sin 3x
dx
dy
2
c)
= 2 sec x tan x
dx
“
”
dy
2
= 3 csc 3x 1 − 2 csc 3x
dx
“ 2 ”
` 2
´
x
x + 2x sec2 x+1
dy
=
e)
dx
(x + 1)2
d)
dy
sin 3x
f)
= 3e
cos 3x
dx
14.
8.
9.
dy
12x3
=
2
dx
3y sec y 3 tan y 3 + 2y
a)
sin x + x cos x
dy
=
dx
y sin y − cos y
b)
−y tan (ey )
dy
dy
−y − 4y sin3 xy cos xy
=
d)
=
dx
xyey sec2 (ey ) + 1
dx
4x sin3 xy cos xy + x
c)
dy
−y
=
dx
2x2 + 2y 3 − x
s
1 − y2
dy
=−
b)
dx
1 − x2
a)
c)
dy
=
dx
`
´
1 + y 2 cos (ln x)
xearctan y
15. x = −4/15 et x = 4/15
a)
16.
b)
dy
−x
−x
10. a)
=e
sin e
dx
“
”
dy
2
sin x
b)
= cos x 3 sin x + 3
ln 3
dx
dy
c)
= sec x
dx
`
´
−2x csc x2 1 + cot x2 + csc x2
dy
d)
=
dx
(1 − cot x2 )2
“
”
dy
2 2
2
e)
= −2x sec x sin tan x
dx
“
”
dy
x3
2
2
f)
= e sec 2x 3x + 4 tan 2x
dx
dy
tan x
2
g)
=e
sec x − cos 2x
dx
„
«
dy
3
x−1
2
h)
=
csc
dx
(x − 4)2
x−4
a)
dy
x
= arctan x +
dx
1 + x2
b)
dy
2x2 + 2
=−
√
2
dx
(1 − x ) x4 − 6x2 + 1
c)
dy
3e3 sec x sec x tan x
=−
dx
1 + e6 sec x
d)
dy
2
=
√
dx
(x2 + 1) x2 + 2
e)
arcsin x2
dy
2x
−
=
√
4
dx
x ln2 x
ln x 1 − x
a) 3
18.
a) x = 32
c) x =
b) x ≈ 4, 19
d) x =
19.
b) 1/2
c) −2
17.
d) 3,63
ln(5/2)
ln (2/3)
≈ −2, 26
1
2
dy
x
−x
2
a)
= 3 ln 3 − 3
ln 3 + 3x + 3
dx
´
dy
2x +x2 ` x
b)
=8
2 ln 2 + 2x ln 8
dx
dy
x2 (3 − x)
=
dx
ex
dy
x
d)
= 8 (1 + x ln 8)
dx
c)
20.
6
a)
dy
3x2
= 3
dx
x +1
b)
dy
1 − ln x
=
dx
x2
dy
3
4
= x ln x(4 ln x − 5)
dx
dy
1
=
d)
p
dx
2x ln 3 log3 x
c)
21.
a)
22.
a)
dy
ex+y
=
dx
2y − ex+y
b)
dy
y ln y − 3y 3
=
dx
6xy 2 − x
39. Environ 9,87 m
40.
√
1
2, hauteur de √ .
e
b) Base de
` x
´
dy
x ´4 ` x
x
=5 e +2
e + 2 ln 2
dx
dy
ex (1 − x)
= x
e)
dx
(e − x)2
„
«
„
«
dy
2 x3
x3
2
x3
f)
= 6x e tan e
sec
e
dx
d)
23. k = e
√
24.
dy
e x
= √ +
dx
2 x
a)
√
ex
2
d)
x2 x2 − 10x
dy
b)
= e x−5
dx
(x − 5)2
x
dy
35
5x x
=2
3 5 ln 2 ln 3 ln 5
dx
c)
25.
dy
2 log x
=
dx
x
g)
dy
4 − 16 ln x
=
dx
x5
`
´4
5 x + ln2 x (x + 2 ln x)
dy
f)
=
dx
x
e)
dy
−3 sin 3x + 6 cos2 2x sin 2x
=
dx
ln 10 (cos 3x − cos3 2x)
` x
´
` x
´
dy
= 2 ln 2 − sin x cos 2 + cos x
dx
“
”
“
”
dy
x
3
4
x
i)
= 2e − 12x cot 3x − 2e
dx
√
√
csc2 x
dy
2
j)
= x tan x sec x2 −
√
dx
2 x
√
3 4
√
dy
x
2 √
k)
= 2x cot 3 x −
csc 3 x
dx
3
“
”q
dy
2
2
l)
= x cos x tan sin x
sec (sin x2 )
dx
dy
ex
m)
=
dx
(1 + e2x ) arctan ex
h)
a) Laissé à l’étudiant.
b) Concave vers le haut sur [−1, 1],
concave vers le bas sur ] − ∞, −1] et [1, ∞[,
points d’inflexion en x = −1 et x = 1.
26.
dy
1
=
dx
2x ln 3
1
dy
=
b)
p √
dx
4x ln x
s„ «
dy
1 x
c)
= −2
ln 3
dx
3
a)
ff

3π
π
, 2π ,
0, , π,
2
2
ff

π 3π 5π 7π
,
,
,
min=0, atteint en x ∈
4 4
4
4
a) max=1, atteint en x ∈
b) max=13 (atteint en x = arctan(5/12)),
min=-13 (atteint en x = arctan(5/12) + π)
dy
1
=
dx
1 + x2
dy
1 − ln x
o)
= p
dx
x x2 − ln2 x
n)
27.
a) 500 personnes
b) Environ 2085 personnes
c) 1,96 semaines
d)
lim N (t) = 2500 personnes
41. Laissé à l’étudiant.
t→∞
e) N 0 (2) = 467, 24 personnes/semaine
0
f)
lim N (t) = 0 personnes (il faut mettre en évidence les termes les
42.
t→∞
plus dominants)
g) Il faut trouver le maximum de N 0 (t). Comme N 00 (t) < 0 ∀x > 0,
N 0 (t) est maximale lorsque t = 0.
28. θ =
29. θ =
43.
π
4
dy
yex ln y − y 2 sec2 x
=
dx
y tan x − ex
`
´
1 − 2x2 y 2 cos x2 y 2
dy
b)
=
dx
2x3 y 2 cos (x2 y 2 )
a)
a) k = 1
0
x→0−
π
d) Non, car f n’est pas continue.
44. f (x) = 10 cot 2x + 12 tan 3x −
π
rad
3
45.
√
32. y = x + ln
dθ
dt
=
dθ
dx
·
2
π
−
2
4
dx
dt
=
2
5
„
a)
dy
sin x
=x
dx
b)
dy
arctan x
= (sin x)
dx
cos x ln x +
rad/s
46. f (n) (x) = 3 · 4n · e4x
34. e13/4 ≈ 25, 79 ans
47.
35. min. relatif en (0, 0)
36. x = 8
37. h =
√
2m
«
1
− , 0 et en (1, 0).
2
„
«
π
b) max. relatifs en (2kπ, 2), min. relatifs en
+ 2kπ, −2 .
2
„
38.
0
x→0+
c) Non
2
0
33.
√
dy
2y 1 − e2y
= √
√
y
dx
2 ye − x 1 − e2y
b) Oui, car f est continue et lim f (x) = lim f (x)
√
30. À 4 26 cm.
31. θ =
c)
a) Aucun max. relatif, min. relatifs en
48. θ = arctan
√
3
2 ≈ 52◦
49. À 5,66 m du mur de 5 m.
7
„
x
x2 + 5
sin x
x
«
ln (sin x)
+ cot x arctan x
1 + x2
«