T09 Trigo Poly

Chapitre 9 :
Terminale S
Les fonctions trigonométriques
Fiche d’objectifs du chapitre 9
SAVOIR
2016 - 2017
SAVOIR FAIRE
Rappels de première
Cosinus et sinus d’un réel
Valeurs remarquables
Savoir utiliser les formules de trigonométrie
pour transformer une expression algébrique .
Cosinus et sinus des angles
associés
Savoir résoudre des équations ou inéquations
trigonométriques .
Formules d’addition et de
duplication
Fonctions trigonométriques
Parité et périodicité des
fonctions cos et sin
Savoir étudier une fonction faisant intervenir
les fonctions cos et sin .
Dérivée et variations des
fonctions cos et sin , cos u et
sin u .
lim
x 0
sin x
cos x  1
et lim
x 0
x
x
1
I – Rappels de première :
I . 1 Cosinus et sinus d’un réel :
Définition :
On se place dans un repère orthonormé  O, i , j  .
On appelle cercle trigonométrique le cercle
de centre O et de rayon 1.
A tout réel x on fait correspondre un réel M sur


le cercle trigonométrique tel que i , OM  x radians.
On définit cos x comme étant l'abscisse du point M
et sin x comme son ordonnée.
Conséquences :
 x  , 1  sin  x   1
1  cos  x   1
I . 2 . Valeurs remarquables :




6
4
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
0
1
2
2
2
3
2
1
angle
0
cos
sin
2
sin 2  x   cos 2  x   1
I . 3 Cosinus et sinus des angles associés :
Pour tout réel x , on a :
1) Angles opposés :
cos   x   cos x

sin   x    sin x
2) Angles supplémentaires :
cos   x    cos x

sin   x   sin x
3) Angles différant de  :
cos   x    cos x

sin   x    sin x
 

cos  2  x   sin x
 

4) Angles complémentaires : 
sin    x   cos x

  2

I . 4 Formules d’addition :
Formules d’addition a 
, b 
1) cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
2) cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
3) sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b
4) sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b
Formules de duplication a 
1) cos  2a   cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a
2) sin  2a   2 cos a sin a
1  cos  2a 
3) cos 2 a 
2
1  cos  2a 
4) sin 2 a 
2
3
I . 5 Résolution d’équations trigonométriques :
a) Résolution de cos x = cos a :
Résoudre dans
l'équation cos x  cos

6
b) Résolution de sin x = sin a :

 
Résoudre dans  ;   l'équation sin x  sin
5
2 
4
II – Fonctions trigonométriques :
II . 1 . Définition :
Définitions :
1) La fonction cosinus , notée cos , est la fonction définie sur
2) La fonction sinus , notée sin , est la fonction définie sur
par cos : x
par sin : x
cos x .
sin x .
II . 2 . Périodicité et parité :
Définition :
Soit f une fonction définie sur
et un réel T .
f est périodique de période T ( ou T - périodique ) si , x 
, f  x  T   f  x
Propriété :
Les fonctions cos et sin sont 2 - périodique :
x 
, cos  x  2   cos  x 
sin  x  2   sin  x 
Remarques :
Dans un repère , les courbes représentatives des fonctions cos et sin " se répètent " tous les 2 .
Donc on va étudier ces deux fonctions sur un intervalle d'amplitude 2 .
Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble D f symétrique par rapport à 0 .
1) f est paire si , x  D f , f   x   f  x 
2) f est impaire si , x  D f , f   x    f  x 
Propriété :
1) La fonction cos est paire : x 
1) La fonction sin est impaire : x 
, cos   x   cos  x 
,
sin   x    sin  x 
Remarques : Dans un repère orthogonal :
1) la courbe représentative de la fonction cos est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées .
2) la courbe représentative de la fonction sin est symétrique par rapport à l'origine du repère .
3) On étudiera donc ces deux fonctions sur  0;   , puis on " étendra sur
la périodicité .
5
" en utilisant la parité , puis
II . 3 . Dérivabilité et variations des fonctions cos et sin :
Propriétés : ( admises )
1) a) Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables sur
et sin'  cos et cos'   sin
b) Si la fonction u est dérivable sur
, alors les fonctions cos u et sin u sont dérivables sur
et
 sin u  '  u ' cos u
et
 cos u  '  u ' sin u
2) D'après le cercle trigonométrique , les tableaux de variations des fonctions cos et sin sur  0;  
sont :
x
0

x
variations de cos
0
variations de sin
3) Les courbes représentatives de cos et sin sont appelées des sinusoïdes :
6

II . 4 . Limites et taux d’accroissement :
Propriété :
sin x
1
x 0
x
lim
cos x  1
0
x 0
x
lim
Démonstration :
7