Site fonctions trigonométriques corrige

Corrigés des exercices de trigonométrie
I.
Résoudre algébriquement des équations, des inéquations
Pour les exercices suivants, on utilisera le cercle trigonométrique
Exercice 1
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’équation cos x = −
2
.
2
Correction :
 3π 5π 
;

 4 4 
Les solutions sont S = 
Exercice 2
€
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’équation sin x =
Correction :
 π 2π 

3 3 
Les solutions sont S =  ;
€
3
.
2
Exercice 3
Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’équation cos x =
1
.
2
Correction :
 π π
 3 3
Les solutions sont S = − ; 
Exercice 4€
Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’équation sin x = −
Correction :
Exercice 5
2
.
2
Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’inéquation cos x >
2
.
2
Correction :
 π π
;
 4 4 
Les solutions sont −
€
Exercice 6
Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’inéquation sin x ≤
Correction :

π   3π

Les solutions sont −π ;  ∪ ; π 


4  4
€
Exercice 7
2
.
2
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’inéquation sin x <
1
.
2
Correction :
Exercice 8
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π
] l’inéquation cos x > 0 .
Correction :
 π
 3π

L’ensemble des solutions est  0;  ∪  ; 2π 
 2  2

€
II.
Résoudre graphiquement des équations
Exercice 9
On a tracé sur l’intervalle [ 0 ; 2π
] la représentation graphique de la fonction cosinus.
Résoudre graphiquement dans l’intervalle [ 0 ; 2π
] l’équation cos x =
1
.
2
Correction :
Graphiquement, on lit que les solutions sont x1 ≈ 1,05 (soit x1 =
€
π
3
) et x 2 ≈ 5, 25 (soit x 2 =
€
€
5π
).
3
€
Exercice 10
On a tracé sur l’intervalle ] − π ; π
] la représentation graphique de la fonction sinus.
Résoudre graphiquement dans l’intervalle ] − π ; π
] l’équation sin x = −
3
.
2
Correction :
Graphiquement, on lit que les solutions sont x1 ≈ −1,05 (soit x1 = −
€
€
€
π
3
) et x 2 ≈ −2,1 (soit x 2 = −
€
2π
).
3
III.
Etudier le signe d’une expression
Exercice 11
On considère la fonction définie sur [ 0 ; 2π [ par f ( x) = 2 sin x + 1 .
a. Résoudre, en utilisant le cercle trigonométrique, l’inéquation sin x > −
1
sur l’intervalle
2
[0 ; 2π [ .
b. En déduire le signe de f ( x) sur [ 0 ; 2π [ .
Correction :
a. L’ensemble des solutions de
1
l’inéquation sin x > − sur
2
7π
11π
[0 ; 2π [ est 0 ;  ∪  ; 2π 
6   6


b.
1
f ( x) > 0 ⇔ 2sin x + 1 > 0 ⇔ 2sin x > −1 ⇔ sin x > − .
2
On en déduit alors le signe de f ( x ) sur [ 0 ; 2π [ , en utilisant a. :
x
7π
6
0
+
f ( x)
0
11π
6
_
0
2π
+
Exercice 12
On considère la fonction définie sur
] −π
;π
] par
f ( x) = 2 cos x − 3 .
a. Résoudre, en utilisant le cercle trigonométrique, l’inéquation cos x >
] −π
; π ].
3
sur l’intervalle
2
b. En déduire le signe de f ( x) sur ] − π ; π ] .
Correction :
a. L’ensemble des solutions de
3
sur
2
π
11π
[0 ; 2π [ est 0 ;  ∪  ; 2π 
6  6


l’inéquation cos x >
b.
f ( x) > 0 ⇔ 2 cos x − 3 > 0 ⇔ 2 cos x > 3 ⇔ cos x >
3
.
2
On en déduit alors le signe de f ( x ) sur [ 0 ; 2π [ , en utilisant a. :
x
f ( x)
π
0
11π
6
6
+
0
_
2π
0
+
Exercice 13
On considère la fonction définie sur
a. Résoudre dans ] − π ; π
] −π
;π
] par
] l’équation cos  2 x +

b. En déduire le signe de f ( x) sur ] − π ; π ] .
Correction :
π

f ( x) = cos  2 x +  .
3

π
 = 0.
3
π
π π
π
π

cos  2 x +  = 0 ⇔ 2 x + = + k 2π ou 2 x + = − + k 2π (k ∈ Z )
3
3 2
3
2

⇔ 2x =
⇔ 2x =
π
2
π
6
π
3
+ k 2π ou 2 x = −
+ k 2π ou 2 x = −
π
2
−
π
3
+ k 2π (k ∈ Z )
5π
+ k 2π (k ∈ Z )
6
5π
+ kπ ( k ∈ Z )
12
12
11π
5π π 7π
Dans l’intervalle ] − π ; π ] , les solutions sont −
.
;−
;
;
12
12 12 12
⇔ x=


Sur l’intervalle  −π ; −
π
−
11π
12
+ kπ ou x = −

,

11π
11π
π
π
11π π
puis − 2π < 2 x < −
et − 2π + < 2 x + < −
+ donc
12
6
3
3
6
3
π
7π
π
3π

−
< 2x + < −
et cos  2 x +  > 0 ;
3
3
2
3

−π < x < −

11π
5π 
Sur l’intervalle  −
;−
,
12 
 12
11π
5π
11π
5π
11π π
π
5π π
< x <−
puis −
< 2x < −
et −
+ < 2x + < −
+ donc
12
12
6
6
6
3
3
6 3
π
3π
π
π

−
< 2 x + < − et cos  2 x +  < 0 ;
2
3
2
3

−
 5π π 
; ,
 12 12 
5π
π
5π
π
5π π
π π π
puis −
et −
−
<x<
< 2x <
+ < 2 x + < + donc
12
12
6
6
6 3
3 6 3
Sur l’intervalle  −
−
π
2
< 2x +
π
3
<
π
2
π


et cos  2 x +
π
>0 ;
3
7π 
Sur l’intervalle 
;
,
 12 12 
π
7π
π
7π
π π
π 7π π
puis < 2 x <
et + < 2 x + <
+ donc
12
12
6
6
6 3
3
6 3
π
π 3π
π

et cos  2 x +  < 0 ;
< 2x + <
2
3 2
3

<x<
 7π

Sur l’intervalle 
; π ,
 12

7π
7π
7π π
π
π
< x < π puis
< 2 x < 2π et
+ < 2 x + < 2π + donc
12
6
6 3
3
3
3π
π 7π
π

et cos  2 x +  > 0 .
< 2x + <
2
3 3
3

On peut alors résumer ces résultats :
x
−π
f ( x)
IV.
−
+
11π
12
0
−
-
5π
12
0
π
7π
12
12
+
0
-
0
π
+
Utiliser la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus
Exercice 14
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = x sin x . Démontrer que f est paire.
Correction :
La fonction f est définie sur par f ( x ) = x sin x .
Pour tout réel x, f ( − x ) = ( − x ) sin( − x ) , or sin( − x ) = − sin x , donc
f (− x) = − x(− sin x) = x sin x = f ( x) ; la fonction f est donc paire.
Exercice 15
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = x + sin x . Démontrer que f est impaire.
Correction :
La fonction f est définie sur par f ( x ) = x + sin x .
Pour tout réel x, f ( − x) = − x + sin( − x ) ; or sin( − x ) = − sin x , donc
f (− x) = − x − sin( x) = − ( x + sin x ) = − f ( x) ; la fonction f est donc impaire.
Exercice 16
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = sin 2 x . Démontrer que f est périodique de
période π .
Correction :
La fonction f est définie sur par f ( x ) = sin 2 x . Pour tout réel x,
f ( x + π ) = sin(2( x + π )) = sin(2 x + 2π ) ; or sin(a + 2π ) = sin a , donc
f ( x + π ) = sin(2 x) = f ( x) ; la fonction f est donc périodique de période π .
Exercice 17
x π
+  . Démontrer que f est périodique de
3 4
On considère la fonction f définie sur par f ( x) = cos 
période 6π .
Correction :
x π
+ .
3 4
La fonction f est définie sur par f ( x) = cos 
 x + 6π π 
 x 6π π 
x π

+  = cos  +
+  = cos  + + 2π  , or
4
 3
3 3 4
3 4

x π
cos(a + 2π ) = cos a , donc f ( x + 6π ) = cos  +  = f ( x) ; la fonction f est donc périodique
3 4
de période 6π .
Pour tout réel x, f ( x + 6π ) = cos 
V.
Etudier des limites
Exercice 18
Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par f ( x ) =
3sin x
.
x
Correction :
La fonction f est définie sur * par f ( x ) =
f ( x) = 3 ×
3sin x
.
x
sin x
sin x
sin x
, or on sait d’après le cours que lim
= 1 , donc par produit : lim 3
=3
x→0
x →0
x
x
x
Exercice 19
Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par f ( x ) =
cos x − 1
.
2x
Correction :
La fonction f est définie sur * par f ( x) =
cos x − 1
.
2x
cos x − 1 1 cos x − 1
cos x − 1
, or on sait d’après le cours que lim
= ×
= 0 , donc par produit :
x→0
2x
2
x
x
cos x − 1
lim
=0.
x→0
2x
f ( x) =
Exercice 20
Etudier la limite en +∞ de la fonction f définie sur par f ( x ) = sin x − x .
Correction :
La fonction f est définie sur par f ( x ) = sin x − x .
On sait que, pour tout réel x, −1 ≤ sin x ≤ 1 , donc −1 − x ≤ sin x − x ≤ 1 − x , puis f ( x ) ≤ 1 − x .
lim (1 − x ) = −∞ , donc d’après le théorème de comparaison, lim f ( x ) = −∞ .
x →+∞
x →+∞
Exercice 21
Etudier la limite en −∞ de la fonction f définie sur par f ( x ) = cos 2 x + x .
Correction :
La fonction f est définie sur par f ( x ) = cos 2 x + x .
On sait que, pour tout réel x, −1 ≤ cos(2 x ) ≤ 1 , donc −1 + x ≤ cos(2 x) + x ≤ 1 + x , puis f ( x ) ≤ 1 + x
. lim (1 + x ) = −∞ , donc d’après le théorème de comparaison, lim f ( x ) = −∞ .
x →−∞
VI.
x →−∞
Calculer des dérivées
Exercice 22
On considère la fonction définie sur par f ( x ) = x sin x . Calculer f '( x ) .
Correction :
La fonction est définie sur par f ( x ) = x sin x .
u ( x) = x
v( x) = sin x
On remarque que f = u × v avec 
; u '( x) = 1
;
; v '( x) = cos x
Pour tout réel x, f '( x) = 1× sin x + x × cos x = sin x + x cos x .
Exercice 23
On considère la fonction définie sur * par f ( x) =
cos x
. Calculer f '( x ) .
x
Correction :
cos x
.
x
; u '( x) = − sin x
u ( x) = cos x
u
On remarque que f = avec 
;
; v '( x) = 1
v
v ( x ) = x
La fonction est définie sur * par f ( x) =
Pour tout réel x, f '( x) =
−(sin x) × x − cos x − x sin x − cos x
.
=
x2
x2
Exercice 24
On considère la fonction définie sur par f ( x) = sin(2 x) . Calculer f '( x ) .
Correction :
La fonction est définie sur par f ( x) = sin(2 x) .
On remarque que f = sin u avec u ( x) = 2 x ; u '( x) = 2 ;
On sait que ( sin u ) ' = u 'cos u , donc pour tout réel x, f '( x) = 2 cos(2 x) .
Exercice 25
x π 
+  . Calculer f '( x ) .
2 3
On considère la fonction définie sur par f ( x) = cos 
Correction :
x π 
+ .
2 3
La fonction est définie sur par f ( x) = cos 
On remarque que f = cos u avec u ( x) =
x π
1
+ ; u '( x) = ;
2 3
2
1
2
x π
+ .
2 3
On sait que ( cos u ) ' = −u 'sin u , donc pour tout réel x, f '( x) = − sin 
VII.
Etude d’une fonction
Exercice 26
1
3
.
2
2
Vérifier que f ′( x ) = sin( x ) [ 2 cos( x ) − 1] et en déduire le signe de f ′( x ) sur [ 0; π ] .
Soit f la fonction dérivable sur [ 0; π ] , définie par f ( x ) = − cos(2 x ) + cos( x ) +
Dresser le tableau de variation de f sur [ 0; π ]
Correction :
1
2
Elle est dérivable sur [ 0; π] et pour tout x de [ 0; π] ,
La fonction est définie sur [ 0; π] , par f ( x) = − cos(2 x) + cos( x) +
3
.
2
1
f '( x) = − (−2 sin(2 x)) − sin( x)
2
= sin(2 x) − sin( x)
= 2sin( x) cos( x) − sin( x)
= sin( x) [ 2 cos( x) − 1]
Sur [ 0; π] , sin( x) est positif et s’annule en 0 et en π ; f '( x) est donc du signe de 2 cos( x) − 1 .
Sur [ 0; π] , 2 cos( x) − 1 = 0 ⇔ cos( x) =
2 cos( x) − 1 > 0 ⇔ cos( x) >
1
π
⇔ x = et
2
3
1
π
⇔0≤ x< .
2
3
On en déduit le tableau de variation de f :
x
π
0
f '( x)
π
3
0
+
0
-
0
9
4
f
2
0
VIII.
Pour aller plus loin….Etude de la fonction tangente
Exercice 27
1. Définition
La fonction tangente, notée tan, est la fonction définie pour tout réel x différent de −
k entier, par tan x =
2
+ kπ , avec
sin x
.
cos x
Valeurs particulières à connaître :
Compléter le tableau suivant
x
0
tanx
π
π
π
π
6
4
3
π
2. Propriétés
a. Montrer que, pour tout réel x différent de −
π
2
+ kπ , avec k entier, tan( x + π ) = tan x .
La fonction tangente est donc périodique de période π .
b. Montrer que, pour tout réel x différent de −
π
2
+ kπ , avec k entier, tan(−π ) = tan x .
La fonction tangente est donc impaire.

π
On peut alors réduire l’intervalle d’étude de la fonction tangente à l’intervalle  0 ;  .
2

3. Etude de la fonction tangente
a. Montrer que : lim tan x = +∞ .
x→
x<
π
2
π
2
La droite d’équation x =
π
2
est donc asymptote à la courbe représentant la fonction tangente.

π
b. La fonction tangente est dérivable sur  0 ;  (quotient de deux fonctions dérivables sur
2

π
π


 0 ; 2  , le dénominateur ne s’annulant pas sur  0 ; 2  ).




π
1

Montrer que, pour tout x de  0 ;  , tan'( x) =
= 1 + tan 2 x .
2
2
cos
x



π
En déduire le sens de variation de la fonction tangente sur  0 ;  .
2

c. Tracer la courbe représentative de la fonction tangente sur [ − 2π ; 2π ] .
Correction :
1.
x
0
tanx
0
π
π
π
π
6
4
3
3
3
1
+ kπ , avec k entier,
2
sin( x + π ) − sin x
tan( x + π ) =
=
= tan x .
cos( x + π ) − cos x
2. a. Soit x un réel différent de −
3
π
0
b. Soit x un réel différent de −
tan(− x) =
π
2
+ kπ , avec k entier,
sin(− x) − sin x
=
= − tan x
cos(− x) cos x


3. a. lim sin x = 1 et lim cos x = 0 avec cos x > 0 , lorsque x ∈  0 ;
x→
π
x→
2
π
2
π
2 
. Donc :
lim tan x = +∞ .
x→
x<
π
2
π
2
La droite d’équation x =
π
2
est donc asymptote à la courbe représentant la fonction tangente.

π
b.La fonction tangente est dérivable sur  0 ;  (quotient de deux fonctions dérivables sur
2

π
π


 0 ; 2  , le dénominateur ne s’annulant pas sur  0 ; 2  ).
π
cos x × cos x − sin x × (− sin x) cos 2 x + sin 2 x
1

=
=
Et pour tout x de  0 ;  , tan'( x ) =
2
2
2
cos x
cos x
cos 2 x

et tan'( x ) =
cos 2 x + sin 2 x cos 2 x sin 2 x
=
+
= 1 + tan 2 x .
2
2
2
cos x
cos x cos x

π
Pour tout x de  0 ;  , tan’(x) > 0. La fonction tangente est strictement croissante sur
2

π

 0 ; 2  .
Courbe