Les nombres complexes 2002

LES NOMBRES COMPLEXES _ PARTIE 2
Cours
Terminale S
Dans toute la suite de ce chapitre, le plan p est rapporté à un repère orthonormé direct
O ; u,v .


1. Définition
Soit la fonction f : 
cos  i sin ( étant un nombre réel).


f      cos      i sin     est un nombre complexe ayant pour module 1 et pour
argument     .
f   a pour module 1 et pour argument .
f    a pour module 1 et pour argument   .
Alors f    f    a donc pour module 1 et pour argument     , donc :
f      f    f   .
De plus, f  0   cos0  i sin0  1  0i  1.
La fonction f définie précédemment vérifie les propriétés d’une fonction exponentielle
étudiée en analyse ce qui conduit à la notation suivante :
Définition 1 : Pour tout réel  , on a : ei  cos  i sin .
Remarque : ei est le nombre complexe de module 1 et d’argument  .
i

i

Exemples : Écrire sous la forme algébrique les nombres suivants : ei , e 2 , e2i , e 6 et
i

4e 4 .
ei  cos   i sin   1 . Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler
(1707 ; 1783).
i

e 2  cos
e2i
i

i

 i sin

i
2
2
 cos  2   i sin  2   1


3 1
+ i
6
6
2
2
 2


2 

 4  cos  i sin   4 
+
i  2 2 +2 2 i
 2
4
4
2 


e 6  cos
4e 4

 i sin

2. Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Définition 2 : Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme z  z ei où 
est un argument de z.

i

 
  
Exemple : z  3  i = 2  cos    i sin     2e 6
6
 6 

1
C. Lainé
Application : Écrire sous la forme exponentielle les nombres suivants : z1  2i , z2  10
i

et z3  3e 6 .
 z1  2i  2 . On a alors
z1
 i .
z1
cos   0

Par suite, un argument  de z1 est tel que 
. On en déduit que   
2
sin   1
-i
Par conséquent, z1  2e

2
.
 z2  10  10 . On a alors
z2
 1.
z2
cos   1
Par suite, un argument  de z2 est tel que 
. On en déduit que   
sin   0
Par conséquent, z2  10ei .
i

2  .
i


i   
 z3  3   1 e 6  3  ei  e 6  3  e 
6
i
 3e
2  .
7
6
3. Propriétés
Propriétés : Pour tous réels  et   , et pour tout entier naturel n :
 ei  ei   ei  



ei
i   
 e 
ei 
1
ei
 e i
 
 ei
n
 eni (formule de Moivre)
 ei  e i
Démonstrations : Ce sont des conséquences des propriétés 3.
Remarques :  La formule de Moivre s’écrit aussi cos  i sin   cos  n   i sin  n  .
n
 Si on pose z  ei , on a z  e i . On obtient donc : cos  Re  z  
sin  I m  z  
ei  e i
2i
ei  e i
2
et
. Ces formules sont appelées formules d’Euler.
 De la première propriété, on en déduit que
cos  i sin   cos   i sin   cos      i sin     .
D’où  cos cos   sin sin   i  cos sin   sin cos    cos       i sin     
Par identification des parties réelles et imaginaires des deux membres, on obtient les
formules : cos      cos cos   sin sin  et sin      cos sin   sin cos  .
Par suite, en prenant     , on obtient : cos  2   cos 2   sin 2   2cos 2  1  1  2sin 2 
et sin  2   2cos  sin .
2
C. Lainé