Chapitre II :PGCD

Chapitre II :PGCD - P.P.C.M
I- P.G.C.D. :
Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des diviseurs commun à a et à b
admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur noté p.g.c.d. a ; b ou a ∧b .
Démonstration :
Remarque :
1. Si b | a alors a ∧b=b .
2. a ∧b∈ℕ* .
3. a ∧b=∣a∣∧∣b∣ .
4. a ∧0=a .
Exemple : Déterminer 48∧18 .
Théorème 1 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors il existe q et r tels que :
a=b×qr avec 0rb et on a : a ∧b=b∧r .
Démonstration :
Théorème 2 : ( Algorithme d'Euclide )
Soit a et b deux entiers naturels non nuls; on considère la suite d'entiers naturels r n définie par :
r 0=b
r 1 est le reste de la division euclidienne de a par b.
Si r 1≠0 , r 2 est le reste de la division euclidienne de b par r 1 .
Si r 2≠0 , r 3 est le reste de la division euclidienne de r 1 par r 2 .
..........................................
Si r n−1≠0 , r n est le reste de la division euclidienne de r n−2 par r n−1 .
La suite r n des restes est finie et le dernier reste non nul est le p.g.c.d. de a et de b.
Démonstration :
Exemple : Déterminer 48∧18 .
Corollaire 1 : Les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs du p.g.c.d. de a et de b.
Démonstration :
Corollaire 2 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et k ∈ℤ* alors ka ∧kb=∣k∣ a∧b  .
Démonstration :
Définition 2 : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si leur p.g.c.d. est 1.
Exemple : Démontrer que 35 et 48 sont premiers entre eux.
Propriété 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. d =a∧b si, et seulement si,
il existe deux entiers relatifs a' et b' tels que : a=a ' d ;b=b ' d avec a '∧b '=1 .
Démonstration :
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II- Théorème de Bézout :
Théorème 3 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, a et b sont premiers entre eux si,
et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tel que a ub v=1 .
Démonstration et détermination de u et v dans le cas où a=48 et b=35 :
Théorème 4 : Soit a, b1 et b 2 des entiers naturels non nuls. Si a ∧b1 =1 et a ∧b 2=1
alors a ∧b1 b2 =1
Démonstration :
Théorème 5 : ( caractérisation du p.g.c.d. ) Soit a et b deux entiers naturels non nuls,
a ∧b=d si, et seulement si, d | a , d | b et il existe deux entiers relatifs u et v tel que a ub v =d .
Démonstration :
III - Théorème de Gauss :
Théorème 6 : Soit a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que a | bc . Si a ∧b=1 alors a | c .
Démonstration :
Corollaire 3 : Si un nombre premier p divise le produit ab de deux entiers naturels a et b,
alors p | a ou p | b .
Démonstration :
Remarque : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si p divise a n alors p divise a.
Corollaire 4 : Soit p un nombre premier qui divise le produit ab de deux nombres premiers a et b
alors p=a ou p=b .
Démonstration :
Corollaire 5 : Si deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux et divisent un entier c,
alors ab | c .
Démonstration :
IV – Fractions irréductibles :
Définition 3 : Si a ∧b=1 alors on dit que la fraction
a
est irréductible.
b
Théorème 7 : Toute fraction est égale à une fraction irréductible.
Démonstration :
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V – Petit théorème de Fermat :
Théorème 8 : Si p est un entier naturel premier avec deux entiers naturels a et b alors
p est premier avec le produit ab .
Démonstration :
Théorème 9 : (Petit théorème de Fermat)
Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors a p−1 ≡1[ p] .
Démonstration :
Corollaire 6 : Soit p un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p alors a∧ p=1 .
Démonstration :
Corollaire 7 : Si p est un nombre premier alors a p ≡a [ p ]
Démonstration :
VI – P.P.C.M.:
Définition 4 : Le plus petit commun multiple de deux entiers naturels non nuls a et b est appelé
P.P.C.M., noté p.p.c.m.(a , b) ou a∨b .
Démonstration de l'existence :
Théorème 10 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls alors
1. a∧ba∨b=ab .
2. Tout multiple commun à a et à b est un multiple de a∨b .
Démonstration :
Utilisation de la décomposition en produit de nombres premiers pour la recherche de pgcd, de
ppcm.
Soit a = 16632 et b = 540. Déterminer a∧b et a∨b .
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