Envoi 3 - Animath

Olympiade Française de Mathématique
Envoi 3 : théorie des nombres
Problèmes à rédiger
Ces problèmes sont à rédiger sur des copies séparées en n’écrivant que d’un seul côté de la feuille et en
n’oubliant pas de reporter son nom sur chaque feuille.
Problème 1.
Soit a; b; c des entiers supérieurs ou égaux à 1 tels que
1 1
1
+ = .
a b
c
En notant d le pgcd des entiers a; b; c, montrer que les entiers abcd, d (a + b) et d (a
Problème 2.
Trouver tous les entiers n
1 et p
1, où p est un premier >
n
2,
tels que np
c) sont des carrés parfaits.
1
divise (p
n
1) + 1.
Problème 3.
Soit a0 ; :::; an des entiers avec n 1 et an 6= 0 et P la fonction x 7! an xn + ::: + a1 x + a0 .
Dans l’ensemble des nombres premiers, on considère le sous-ensemble A caractérisé par : p 2 A si et
seulement s’il y existe un entier k 2 N véri…ant p divise P (k). Montrer que A est in…ni.
Problème 4.
Soit A un ensemble de nombres premiers ayant au moins 3 éléments. On suppose que, pour toute partie P
Q
…nie, stricte, de A, les diviseurs premiers de l’entier
1 sont dans A. Montrer que A est l’ensemble
p2P p
des nombres premiers.
Problème 5.
La suite (un ) est déterminée par u0 = u1 = 0 et par un+2 = un + un+1 + 1 pour n 0.
Montrer qu’il existe deux termes consécutifs de cette suite qui sont tous deux divisibles par 20082009
Problème 6.
Trouver tous les entiers n
puissance de 2.
1 pour lesquels le nombre de diviseurs positifs de ppcm f1; 2; :::; ng est une
1