cours et exercices

C12 - Le retour de la trigonométrie
Seconde
TD
1. Le cercle trigonométrique
A CTIVITÉ 1 (Enroulement de la droite numérique autour d’un cercle)
∆
Sur une bobine de rayon 1 cm représenté par un cercle , on colle un fil symbolisé par la
droite ∆ en un point I que l’on marque en rouge. On enroule ce fil autour de la bobine
ainsi le point J sur la bobine coïncide avec le point J’ sur le fil.
2
J′
b
J
1
b
1. Chaque fois que le fil repasse par le point I, on fait une marque
rouge. En déroulant le fil, on remarque qu’il a l’aspect suivant :
J′
I
∆
b
b
O
b
b
I
b
b
b
b
b
⌢
dJ en degrés associé à l’arc IJ ?
(a) Quelle est la mesure de l’angle IO
2.
⌢
−1
b
b
Calculer la longueur exacte entre deux graduations rouges.
1
−1
b
(b) Calculer la longueur exacte de l’arc IJ c’est à dire de la distance IJ’.
A CTIVITÉ 2 (Longueur d’un arc)
b
Db
b
b
C
0.8
Eb
B
b
0.6
F
Un point mobile se déplace sur un cercle de centre O et de rayon 1 cm
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre en partant du point I. On
indique par des points certaines de ses positions sur le cercle sachant
que OIC et OJA sont des triangles équilatéraux .
dJ .
(OB) est la bissectrice de l’angle IO
Les autres points sont les images par symétries d’axe (xx ′ ) ou (y y ′ ) ou
par symétrie de centre O des points A, B et C.
J
1.0
b
A
b
0.4
0.2
I′
b
b
b
−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 O
−0.2
−0.4
b
F′
b
−0.6
b
E′
b
−0.8
b
D′
−1.0
b
b

 et IOC
.
1. Donner la mesure des angles IO
A, IOB
I
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2. En déduire la distance exacte parcourue par le point lorsqu’il s’arrête :
(a) en I’
(b) en J
(c) en B
(d) en C
(e) en A
A′
3. Donner la longueur exacte des arcs suivants :
B′
⌢
C′
⌢
⌢
(a) IB
(b) IE
⌢
(c) IE’
(d) IJ’
⌢
(e) IA’
J′
D ÉFINITION 1 (Orientation d’un cercle, du plan, cercle trigonométrique)
On se place dans le plan.
• Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct (ou positif). L’autre sens
est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde).
• Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L’usage est de choisir pour sens
direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi sens trigonométrique).
b
∆
1.5
M
b
x
+
b
1.0
J
b
b
D ÉFINITION 2
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 unité parcouru dans le sens inverse des aiguilles d’une montre appelé sens trigonométrique ou sens direct.
yM
0.5
b
b
x O
−0.5 M
−1.0
¡
¢
Le plan est muni d’un repère orthonormé O ;~ı,~ .
b
0.5
I
1.0
−0.5
A tout réel x sur la droite ∆ munie du repère (0 , ~
j ) on associe le point M du cercle
trigonométrique obtenue en enroulant la droite ∆ dans le sens direct.
Le point M est alors appelé l’image de x sur le cercle trigonométrique.
On peut remarquer que pour tout point M du cercle trigonométrique on peut associer réciproquement les réels de la droite x, x + 2π, x + 4π
−1.0
Compléter le tableau de valeurs suivants en utilisant des valeurs exactes :
Réel x
−π
− π2
b
− π3
− π4
− π6
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
Angle en degrés
N. SANS
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b
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Seconde
TD
Exercice 1 − Placer un point sur le cercle trigonométrique
1. Construire un cercle trigonométrique en prenant comme unité graphique 3 cm.
π π π
π
2. Construire sur le cercle trigonométrique A, B, C, D et E les images des réels π, , , et .
2 4 3
6
3π π π
π
3. Placer sur le cercle trigonométrique A’, B’, C’, D’ et E’ les images des réels 4π,
, − , − et − .
4
3
4
2
Exercice 2 − Quelques angles associés
Construire sur le cercle trigonométrique les images des réels suivants :
2π
5π
5π
4π
(b) x =
(c) x =
(d) x =
(a) x =
3
3
6
4
−4π
5π
−5π
3π
(b) x =
(c) x =
(d) x =
(a) x = −
4
3
4
6
3π
2
7π
(e) x =
6
(e) x =
2. Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
D ÉFINITION 3
La mesure d’un angle en radian est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte sur le cercle trigonométrique.
Exercice 3 − Conversions
Compléter le tableau suivant :
y

Mesure de l’arc I N = mesure en radian de l’angle ION
0
π
6

Mesure en degré de l’angle ION
π
4
π
2
2π
60°
180°
3. La trigonométrie
Rappels
C
ABC étant un triangle rectangle en B.
b
b
B
b
A
D ÉFINITION 4
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a défini :
AB
BC
sin  BC
=
cos  =
sin  =
tan  =
AC
AC
cos  AB
Remarque : Usage de la calculatrice
− La commande [shift] [Set up] permet de choisir l’unité de mesure de l’angle en degré ou en radian.
− En saisissant [sin] [60], on trouve par exemple sin (60°) = 0,866 arrondi à 10−3 .
− Pour trouver une mesure de l’angle dont le cosinus vaut 0,4 il faut saisir [shift] [cos] [0.4] et on trouve alors 66˚arrondi
au degré près.
P ROPRIÉTÉ 1
Soit x la mesure de l’angle  dans le triangle ABC rectangle en B.
1. Pour tout angle aigu x, 0 6 cos(x) 6 1 et 0 6 sin(x) 6 1.
2. Pour tout angle aigu x, (cos(x))2 + (sin(x))2 = 1 (on écrit aussi cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 )
N. SANS
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Des valeurs exactes à retenir
A CTIVITÉ 3
C
b
On considère un triangle rectangle et isocèle en B tel que BA = BC = a.
1. Calculer la valeur exacte de la distance AC en fonction de a.
a
2. Calculer la mesure de l’angle  en degrés.
3. Calculer la valeur exacte, sans radical au dénominateur, de cos(45°), sin(45°).
b
4. En déduire tan(45°).
b
a
B
A
A CTIVITÉ 4
C
b
On considère ABC un triangle équilatéral de côté a.
1. Déterminer la mesure de l’angle  en degrés.
a
2. Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC.
Calculer AH et AC en fonction de a en déduire CH en fonction de a.
a
3. Calculer la valeur exacte de cos(60°), sin(60°) sans radical au dénominateur.
4. (a) Calculer la mesure en degrés de l’angle ƒ
HC A.
H
b
b
b
A
B
(b) En déduire la valeur exacte de cos(ƒ
HC A), sin(ƒ
HC A).
Tableau de valeurs à compléter et à savoir
Mesure de x en degrés
0
30
45
60
90
cos(x)
sin(x)
Lignes trigonométriques
D ÉFINITION 5
Soit a un nombre réel quelconque et soit M (x M ; y M ) son image sur le cercle trigonométrique.
Par définition on pose cos(a) = x M et sin(a) = y M :
2.0
a
P ROPRIÉTÉ 2
Pour un nombre réel quelconque x, on a donc :
1.5
M
b
1.0
1. −1 6 cos x 6 1
2. −1 6 sin x 6 1
b
sin(a)
3. cos 2 x + sin 2 x = 1
4. cos(x + 2π) = cos x
0.5
5. sin(x + 2π) = sin x
b
−1.0
b
−0.5
cos(a)
−0.5
−1.0
N. SANS
O
b
0.5
I
1.0
Preuve L’abscisse et l’ordonnée d’un point appartenant à un
cercle de centre O et de rayon est nécessairement comprise entre
−1 et 1.
De plus la distance OM est égale au rayon du cercle donc à 1 et
vérifiep
:
p
OM = x M 2 + y M 2 ⇐⇒ cos 2 x + sin 2 x = 1
On en déduit que l’on a bien cos 2 x + sin 2 x = 1.
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D ÉFINITION 6
Soit x un réel et N (xn ; y n ) le point qui lui est associé par enroulement sur le cercle trigonométrique. Alors on a :
cos x = xn
sin x = y n
et, quand cos x 6= 0, tan x =
sin x
cos x
Exercice 4 − Tableau de valeurs
Compléter le tableau de valeurs suivants en utilisant des valeurs exactes :
Réel x
− π2
−π
− π3
− π4
− π6
π
6
0
π
4
π
3
π
2
π
Angle en degrés
cos(x)
sin(x)
tan(x)
J
J
O
I
O
I
Exercice 5 − Extensions pratiques
1. Compléter le tableau suivant :
x
−2π
−π
−
π
2
−
π
3
−
π
4
−
π
6
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
cos x
sin x
tan x
2. Tracer dans trois repères orthogonaux (ordonnées : 5 cm = une unité ; abscisses : 6 cm = π unités) les courbes
représentatives des fonctions sinus, cosinus et tangente.
3. Dresser le tableau des variations de ces fonctions pour x ∈ [−2π ; 2π]
N. SANS
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