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Résumé Calcul intégral
Les Résumés de Tonton Paul
V Calcul intégral
Théorème fondamental : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b
sont deux points de I, a étant inférieur à b. Supposons donné un repère est orthonormé,
dans ce cas, l'aire située entre le graphe de f dans ce repère est notée
z
b
a
f ( x )dx et sa
valeur en unités d'aire est égale à F(b)-F(a). Le choix de la primitive de f n'a pas
d'importance.
z
On appelle le nombre
b
a
f ( x )dx "intégrale" (de f entre a et b).
A) Techniques courantes de calcul d'intégrales
On voit qu'il ne s'agit que de calculer des primitives de fonctions continues pour
lesquelles les bons vieux principes sont très efficaces :
zb
b
a
g
f ( x ) + g ( x ) dx =
z
b
a
z
z
b
z
b
b
f ( x )dx + g ( x )dx ; αf ( x )dx = α f ( x )dx (linéarité de l'intéa
a
a
grale)
noter aussi la propriété utile (y compris pour détecter d'éventuelles erreurs de calcul)
f ≤ g implique
∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
b
b
a
a
(croissance de l'intégrale).
Théorème d’intégration par parties : Lorsque f et g sont des fonctions
dérivables à dérivées continues, on a
z
b
a
z
b
f ( x ) g ′ ( x )dx = f (b) g (b) − f (a ) g (a ) − f ′ ( x ) g ( x )dx
a
Résumé Calcul intégral
Théorème du changement de variable : Si Φ est une fonction dérivable à
dérivée continue de J dans I, f : I → ℜ et si Φ ( α ) = a , Φ (β ) = b , on a la relation très
utile suivante :
z
β
α
b g
f Φ(t ) Φ ′(t )dt =
z
b
a
f ( x )dx
Voici une application intéressante de ce résultat :
z
b
dx
où l'on suppose, bien sûr qu'aucun multiple de π n'est inclus
a sin x
dans [a,b]. Par exemple, prenons 0 < a < b < π et considérons la fonction
a
b
Φ: tan , tan → a , b définie par Φ( u ) = 2 arctan u on a ainsi le diagramme :
2
2
1
a
b
Φ
sin
tan , tan 
→ a , b 
→ ℜ et les conditions d'application de la formule du
2
2
changement de variable sont réunies :
Soit à calculer
LM
N
LM
N
OP
Q
OP
Q
z
tan
tan
b
2
a
2
b
2dt
=
sin(2 arctan t ) 1 + t 2
gc
h
z
b
a
dx
.
sin x
Chaque lycéen observera, par application de la célèbre formule sin x =
sin( 2 arctan t ) =
z
tan
b
2
a
tan
2
2t
, que
1+ t2
2t
et qu'ainsi, l'expression à intégrer devient :
1+ t2
dt
b
a
et que l'intégrale cherchée est égale à ln tan − ln tan ; Si l'on avait pris un
t
2
2
point de vue plus général (intégrales indéfinies), on aurait trouvé, lorsque cela a un sens,
1
x
qu'une primitive de
est la fonction ln tan . Étonnant, non ?
sin
2
B) Intégration de certaines fonctions trigonométriques
Règle de Bioche : Voici quelques trucs permettant d’intégrer une fraction rationnelle
en sinus et cosinus F (sin x, cos x) = f ( x ) . ()
1) Si f ( − x ) = − f ( x ), on fait le changement de variable u = cos x
2) Si f (π − x ) = − f ( x ), on fait le changement de variable u = sin x
3) Si f (π + x ) = f ( x ), on fait le changement de variable u = tan x
et le pire, c'est que ça marche !
2
Résumé Calcul intégral
Lorsque la fonction à intégrer est un polynôme en sinx et cosx, dont les exposants
peuvent fort bien être négatifs, on est ramené à intégrer des monômes du type
cos p x sin q x . Si l'un des deux nombres p ou q est impair, par exemple si q=2n+1, on
écrit
z cos x sin xdx = − z cos x dsin x i d cos x = − z cos x d1 − cos x i d cos x ou encore
z u d1 − u i du en posant u=cosx, ce qui ramène à l'intégration d'un polynôme ou d'une
p
q
p
2
n
p
2
n
2 n
p
fraction rationnelle.
Si p et q sont tous les deux des nombres pairs, p=2m, q=2n, on fait baisser les degrés en
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
, sin 2 x =
, d'où la nouvelle expression
utilisant les relations cos2 x =
2
2
à calculer :
1
(1 + cos 2 x ) m (1 − cos 2 x ) n dx , qu'on redécompose en monômes, et on continue, ce
m+ n
2
qui est sûr, c'est que le degré baissant, le processus s'arrête.
z
C) Intégrales comportant des fonctions exponentielles
Dans le cas d'intégrales de fractions rationnelles en ex, on résout le problème en posant u
=ex. Pour des intégrales de fractions rationnelles en shx, chx, on se ramène aux
exponentielles en explicitant ces fonctions. On peut aussi utiliser ici les mêmes
techniques que pour les fractions en sinus et cosinus.
D) Intégrales de fonctions comportant des racines carrées
z
Le principe général est de se débarrasser desdites racines...en exprimant les arguments
x+2
de ces racines comme des carrés. Considérons par exemple le cas de I =
dx , il
x +1
suffit de poser, pour x≥-2
t = x + 2 , ou x = t 2 − 2 avec t ≥ 0 , on peut alors écrire les égalités suivantes :
2t 2
dt
1+ t
I=
= 2t + 2 2
= 2t + ln
, il est recommandé de prendre garde aux
t −1
1− t
t2 −1
bornes d'intégration.
z
z
Dans le cas particulier, un peu plus compliqué, d'une fraction rationnelle en x et
ax 2 + bx + c , avec a≠0, on procède de la façon suivante pour éliminer la racine carrée :
1° Si a>0 et si ax2 + bx + c se décompose en a ( x − p) 2 − q 2 , on pose x − p = qcht .
2° Si a>0 et si ax2 + bx + c se décompose en a ( x − p ) 2 + q 2 , on pose x − p = qsht .
3° Si a<0, on a ax2 + bx + c = a q 2 − ( x − p) 2 , et on termine en posant x − p = q sin t .
Paul SILICI
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