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Calculs en composantes
Contenu de la section
Calculs en composantes
Équations
Calculs en composantes
Information
Guidance en mathématiques
Dans quel but ?
I
Répondre à vos questions
I
I
sur le cours de maths, et
sur les pré-requis.
I
Vous ré-expliquer la matière.
I
Vous guider dans les exercices du cours.
Calculs en composantes
Information
Guidance en mathématiques
Organisation
I
Des permanences durant les semaines de cours :
I
I
I
I
I
en petit comité
Dès lundi, sur les temps de midi (12h–14h).
sur le campus Plaine (au bâtiment A)
par des personnes externes au cours ;
on vous demande votre section à des fins statistiques, et c’est tout.
I
Des permanences pendant les blocus.
I
Par email : [email protected]
Calculs en composantes
Information
Guidance en mathématiques
En pratique ?
I
Inscrivez-vous au cours MATHY029 (« Aide à la réussite en
mathématiques ») sur l’Université Virtuelle.
I
Venez !
Calculs en composantes
Calcul en composantes
Rappels
I
les composantes du vecteur allant de a à b sont données par la
différence entre
1. les coordonées du point d’arrivée, avec
2. les coordonées du point de départs.
−−→
ab = b − a
I
La somme d’un point avec un vecteur basé en ce point est égal au
−−→
point translaté par le vecteur : a + ab = b
I
La somme de deux vecteurs basés au même point est un vecteur
basé en ce point, dont le point d’arrivée est donné par la règle du
parallélogramme.
−−→ −−→ −−→
ab + ac = ad
I
Un point a donné en coordonnées peut toujours être interprété
−→ = a − o.
comme le vecteur qui part de l’origine jusqu’à a : −
oa
Calculs en composantes
Applications
Milieu
Le milieu d’un segment de a jusqu’à b est donné par :
1 −−→ 1
a + ab = (a + b)
2
2
Le milieu ou centre de gravité des points a1 , . . . , ak est donné par :
k
1X
g=
ai .
k
i =1
Résultat
Le centre de gravité est le seul point g qui vérifie
k
X
−
−→ = 0
ga
i
i =1
Calculs en composantes
Démonstration.
Supposons que h vérifie la même relation. Alors
k
k
X
X
−−→
−
−→ =
ga
hai
i
i =1
i =1
et donc
k
X
ai − g =
k
X
ai − h
i =1
i =1
et donc
k
X
h−g = 0
i =1
c’est-à-dire k (h − g) = 0, donc h = g.
Calculs en composantes
Résultat (Rappel – Pythagore)
Dans
le plan, la longueur du segment de a à b est donnée par
p
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 .
Définition
−
En général, on appelle la norme d’un
vecteur →
v ∈ Rn la quantité :
v
t n
X
−
→
v B
vi2
i =1
Exemple
√
√
La norme du vecteur (4, 2, 4) est 42 + 22 + 42 = 36 = 6.
Équations
Contenu de la section
Calculs en composantes
Équations
Équations
Équations d’objets
Remarque
I
Chaque point du plan a deux coordonnées cartésiennes.
I
Une équation peut admettre plusieurs solutions.
I
Une équation de deux variables peut admettre plusieurs
solutions.
I
On peut dessiner dans le plan un ensemble de point dont les
coordonnées vérifient une équation de deux variables.
Équation d’une droite
Dans R2 , toute droite admet une équation de la forme
ax + by + c = 0
c’est-à-dire les points (x, y) vérifiant l’équation ci-dessus sont
exactement les points de la droite. Les constantes a, b , c permettent
de décrire la droite (position, direction).
Équations
Justification
−
v ∈ Rn . La droite de Rn passant par p dans la direction
Soit p ∈ Rn et →
→
−
v est l’ensemble des points x de la forme
−
x = p + t→
v
t ∈ R = équations paramétriques de la droite
−
Pour n = 2, on écrit x = (x1 , x2 ), p = (p1 , p2 ), →
v = (v1 , v2 ).
Alors
x1 = p1 + tv1 et x2 = p2 + tv2 .
donc
x1 − p1 = tv1 et x2 − p2 = tv2 .
On a alors
(x1 − p1 )v2 = (x2 − p2 )v1
c’est-à-dire, en changeant de notations
ax + by + c = 0
(on pose : a = v2 , b = −v1 et c = p2 v1 − p1 v2 ).
Équations
Remarquons que la droite d’équation ax + by + c = 0
I
est verticale si b = 0, a , 0.
I
est horizontale si a = 0, b , 0.
I
passe par l’origine si c = 0
I
identique à la droite d’équation kax + kby + kc = 0 pour n’importe
quelle constante k , 0.
Lorsque b , 0 (droite non-verticale), on peut ré-écrire l’équation en
isolant y :
y = mx + p
Équations
Considérons une droite d’équation
y = mx + p
I
le coefficient m est appelé la pente (ou coefficient angulaire) de
la droite.
I
Le coefficient p est appelé l’ordonnée à l’origine.
Si la droite passe par les points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ), la pente s’obtient en
faisant :
∆y
y −y
m=
B 2 1 ∆ pour différence.
∆x
x2 − x1
Exercice
Remplacez y1 et y2 par mx1 + p et mx2 + p pour le prouver. Notons que
cela ne dépend pas des points choisis (tant qu’ils sont sur la droite).
Équations
Équations de cercles
Soit (a, b ) ∈ R2 , et r > 0. Le cercle de centre (a, b ) et de rayon r a pour
équation :
k(x, y) − (a, b )k = r
c’est-à-dire
(x − a)2 + (y − b )2 = r 2
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
Trigonométrie
La trigonométrie c’est l’étude des triangles.
Plus spécifiquement, l’étude des liens entre
I
la mesure des angles, et
I
la mesure des côtés.
Question
Comment mesurer des angles ?
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Relation fondamentale
Symétries
Formules de trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Intuitivement, un angle est une fraction de « faire un tour complet ».
Pour le mesurer, on peut donner un nombre réel décrivant le nombre
de tour complets. Mais généralement on utilisera
I
le degré (1 tour = 360 degrés), ou
I
le radian (1 tour = 2π radians)
Le radian sera notre choix !
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Attention à
I
Faire un tour et demi (3π) correspond à la même position finale
que faire un demi tour (π).
⇒ on parlera souvent de mesure « à 2π près ».
I
Faire un demi tour dans un sens ou dans l’autre n’est pas pareil.
⇒ on parle d’angle orienté lorsque cela est important !
Dans le plan :
Orientation positive Sens anti-horlogique
Orientation négative Sens horlogique
Trigonométrie
45◦
La notion d’angle : généralités
−45◦
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Relation fondamentale
Symétries
Formules de trigonométrie
Le radian
Trigonométrie
Le radian
Pourquoi deux pis ?
Pourquoi 2π ?
Un radian (1 rad) correspond à l’angle au centre d’un cercle qui
intercepte, sur la circonférence, un arc dont la longueur est égale au
rayon du cercle.
B
r
r
r
1 rad
O
r
A
O
rα
α rad
r
Le radian est idéal pour manipuler des longueurs d’arcs !
Trigonométrie
Le radian
Pour passer du radian au degré et inversement, retenons que
2π rad = 360°. Par habitude, nous retiendrons également le tableau
suivant :
en radians π/6 π/4 π/3 π/2
π
2π
en degrés 30° 45° 60° 90° 180° 360°
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Relation fondamentale
Symétries
Formules de trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Définition
Étant donné un angle θ en radians, on définit son cosinus et son sinus
d est de mesure
comme les coordonnées du point Pθ tel que l’angle IOP
θ, où I = (1, 0) et O = (0, 0).
Trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Cercle trigonométrique
Définition
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, il permet de
représenter géométriquement toutes les fonctions trigonométriques.
y
θ
P
(0, sin(θ))
(cos(θ), 0)
(1, 0)
x
Trigonométrie
Autres fonctions trigonométriques :
sin(θ)
tan(θ) =
cos(θ)
Définitions de sinus, cosinus, . . .
cot(θ) =
cos(θ)
sin(θ)
Trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
cot θ =
1
cos θ
sin θ
C
B
Pθ
tg θ =
sin θ
θ
−1
O
−1
cos θ
A
1
sin θ
cos θ
Trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Pente et angle
Résultat
Étant donné un repère cartésien orthonormé. Pour une droite
d’équation y = mx + p formant un angle (orienté) θ avec l’horizontale,
nous avons
m = tan θ
y
∆y
y −y
= 1 0 2
∆x
x1 − x0
où (x0 , y0 ) et (x1 , y1 )
1
sont deux points distincts du graphe de f .
0
m=
∆y
θ
1
2
∆x
3
4
5
x
Trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Remarque
Cette interprétation ne tient plus si les axes ne sont pas gradués à
l’identique :
y
3
2
1
?
0
1
2
3
4
x
Trigonométrie
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Angles remarquables
Voici quelques valeurs importantes des fonctions sinus et cosinus :
angle sin
cos tan cot
√
0/2 = 0
0
1
0
√@
√
√
√
π/6
3/2
3/3
1/2 = 1/2
3
(1.6)
√
√
π/4
2/2
2/2
1
1
√
√
√
π/3
1/2
3/2
3/3
3
√
π/2
4/2 = 1
0
@
0
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Relation fondamentale
Symétries
Formules de trigonométrie
Relation fondamentale
Trigonométrie
Relation fondamentale
y
θ
P
(0, sin(θ))
(cos(θ), 0)
(1, 0)
x
Le théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique
implique l’importante relation (cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1, ce qu’on
écrira plus souvent sous la forme
cos2 θ + sin2 θ = 1.
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Relation fondamentale
Symétries
Formules de trigonométrie
Symétries
Trigonométrie
Symétries
Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
x
tan x
sin x
cos x
sin(−x) = − sin(x)
cos(−x) = cos(x)
tan(−x) = − tan(x)
−x
Trigonométrie
Symétries
Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
π−x
x
sin(π − x) = sin(x)
sin x
tan x
cos x
cos(π − x) = − cos(x)
tan(π − x) = − tan(x)
Trigonométrie
Symétries
Symétrie par rapport à l’origine
x
tan x
sin x
cos x
sin(π + x) = − sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
tan(π + x) = tan(x)
π+x
Trigonométrie
Symétries
Symétrie par rapport à la première bissectrice
π
−x
2
cot x
x
sin x
cos x
f (x) = x
π
sin − x = cos(x)
2
π
cos − x = sin(x)
2
π
tan − x = cot(x)
2
Trigonométrie
Symétries
Angles décalés de 90˚
π
+x
2
cot x
x
sin x
cos x
π
sin + x = cos(x)
2
π
cos + x = − sin(x)
2
π
tan + x = − cot(x)
2
Trigonométrie
Contenu de la section
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Définitions de sinus, cosinus, . . .
Relation fondamentale
Symétries
Formules de trigonométrie
Formules de trigonométrie
Trigonométrie
Formules de trigonométrie
sin(A + B ) = sin A cos B + cos A sin B
cos(A + B ) = cos A cos B − sin A sin B
tan A + tan B
tan(A + B ) =
1 − tan A tan B
cos(A − B ) + cos(A + B )
cos A cos B =
2
cos(A − B ) − cos(A + B )
sin A sin B =
2
sin(A + B ) + sin(A − B )
sin A cos B =
2
sin(A + B ) − sin(A − B )
cos A sin B =
2
p −q
p +q
cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
p +q
p −q
cos p − cos q = −2 sin
sin
2
2
p −q
p +q
sin p + sin q = 2 sin
cos
2
2
Trigonométrie
Formules de trigonométrie