Comment trouver cos 36` sans la calculatrice

Comment trouver cos 36'
sans calculatrice
Jean-Pierre Nadon
Collège Saint-Augustin
Ou comment trouver la valeur exacte du nombre d'or?
Les programmes nous habituent
par exemple à trouver cos 15° sans
calculatrice, à l'aide de 45° et 30°. En
travaillant sur le nombre d'or, j'avais
besoin de la valeur exacte de cos 36°
(en langage d'élève, du cos 36° sans
calculatrice). Comment faire? 45° et
30° ne font pas 36°.
En résolvant ce problème, j'ai vu
qu'il fait intervenir un peu de
géométrie (triangle isocèle), la loi des
cosinus, la loi des sinus, la décomposition de sin 2a, la résolution d'un
système de deux équations à deux
inconnues, la décomposition en facteurs d'un trinôme du troisième
degré (possible en secondaire V) et la
résolution d'une équation du second
degré par la formule quadratique.
Voilà donc, me suis-je dit, un beau
problème de synthèse en Mat 536
(ou 531?) :
Peut-être pourrez-vous trouver
une solution plus brillante (lire plus
simple). Voici la mienne :
Je construis un triangle isocèle
ayant un angle de 36° (et donc deux
angles de 72°).
loi des cosinus :
x2 = y2 + y2 - 2 y y cos 36°
[1] x2 = 2y2 (1 - cos 36°)
loi des sinus :
sin 36°
X
sin 72°
ou
y
sin 36°
2 sin .36° cos 36°
X
[2] => y ='2x cos 36°
"
""'
Et [2] dans [1]
x2 = 2 (2x cos36°)2 (1 - cos 36°)
x2 = 2 (4x2 COS236°) (1 - cos 36°)
1 = 8COS236° ( 1 - c o s 36°)
1 = 8 cos236° - 8 COS336°
8 cos336° - 8 COS236° + 1 = 0
(2 cos36° -1) (4 COS236° - 2 cos36°- 1) = 0
2 cos36° - 1 = 0 ou
4 COS236° - 2 COS36° - 1 = 6
1
cos 36° = 2 ^^ rejeter) ou
cos 36° =
l±s/5
Puisque cos 36° est positif,
cos36° = i ± ^
C'est ce que j'ai trouvé
de mieux.... et vous?
67 ENVOL
- FÉVRIER
96