Fonctions cyclométriques

2004 − 2005
Analyse I/1B
Fonctions cyclométriques
1
Définitions
1.1
Arc sin
−→ R
f : R
Considérons la fonction sinus :
7−→ sin x Coupons la courbe par la droite y = k.
x
1. k > 1 ou k < -1 : pas de points d’intersection
2. k ∈ [−1; 1] : infinité de points d’intersection
1
6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
Pour −1 ≤ y ≤ 1, l’équation y = sin x admet une infinité
de solutions ; pour les autres valeurs de y, il n’y a aucune
solution.
5
4
-1
-2
Dans le but de trouver une solution unique à y = sin x pour y ∈ [−1; 1],
nous allons considérer la restriction s de la fonction sin à l’intervalle − π2 ; π2 .
−→ [−1; 1]
s : − π2 ; π2
est bijective ; il existe donc une bijection réciproque :
x
7−→ sin x
(
s−1 : [−1; 1] −→ − π2 ; π2
x = sin y
avec : y = Arc sin x ⇐⇒
− π2 ≤ y ≤ π2
x
7−→ Arc sin x
1
-1
1
-1
1.2
Arc cos
Considérons la fonction cosinus :
−→ R
f : R
7−→ cos x
x
Coupons la courbe par la droite y = k.
1
6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1. k > 1 ou k < -1 : pas de points d’intersection
5
2. k ∈ [−1; 1] : infinité de points d’intersection
-1
Pour −1 ≤ y ≤ 1, l’équation y = cos x admet une infinité
de solutions ; pour les autres valeurs de y, il n’y a aucune
solution.
-2
Dans le but de trouver une solution unique à y = cos x pour y ∈ [−1; 1],
nous allons considérer la restriction c de la fonction cos à l’intervalle [0; π].
c :
1
2
3
[0; π] −→ [−1; 1]
c−1 :
est bijective ; il existe donc une bijection réciproque :
7−→ cos x
x
[−1; 1]
−→
x
7−→
(
x = cos y
avec : y = Arc cos x ⇐⇒
0≤y≤π
Arc cos x
[0; π]
1.3
Arc tan
Considérons la fonction tangente :
f : R
−→
R
x
7−→
tan x
2
Coupons la courbe par la droite y = k.
L’équation y = tan x admet une infinité de solutions pour
tout y.
1
-5
6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
5
4
-1
-2
-3
2
Dans le but de trouver une solution unique à y = tan x pour y ∈ R, nous
allons considérer la restriction t de la fonction tan à l’intervalle ] − π2 ; π2 [.
1
] − π2 ; π2 [ −→ R
t :
-1
t−1 : R
-1
est bijective ; il existe donc une bijection réciproque :
7−→ tan x
x
1
x
(
x = tan y
avec : y = Arc tan x ⇐⇒
− π2 < y <
7 → Arc tan x
−
−→ ] − π2 ; π2 [
π
2
-2
-3
1.4
Arc cot
Voici les figures relatives à cette situation :
2
1
et
-5
6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
1
5
4
-1
-2
-3
1.5
Les courbes représentatives des fonctions cyclométriques
y = Arc sin x
y = Arc cos x
y = Arc tan x
y = Arc cot x
3
1
3
2
1
2
1
1
3
-2
-1
1
2
1
-1
-1
2
3
2
Dérivées
Théorème 1 La fonction Arc sin est dérivable sur ] − Théorème 2 La fonction Arc cos est dérivable sur ] −
1
1
.
.
1; 1[, et, pour tout x ∈] − 1; 1[: (Arc sin x)0 = √
1; 1[, et, pour tout x ∈] − 1; 1[: (Arc cos x)0 = − √
2
1−x
1 − x2
Démonstration
Nous admettrons sans démonstration que la fonction est
dérivable sur ] − 1; 1[ et nous allons démontrer la formule.
Par définition : ∀x ∈] − 1; 1[: sin[Arc sin x] = x.
Dérivons les deux membres de cette égalité :
cos[Arc sin x] · [Arc sin x]0 = 1.
Posons a = cos[Arc sin√
x] et calculons a en
√ fonction de x :
x2 + a2 = 1, donc a = 1 − x2 ou a = − 1 − x2 .
Le cosinus d’un angle compris entre − π2 et π2 étant positif,
√
2
la valeur négative
√ est à rejeter et a0 = 1 − x .
2
Il s’ensuit que 1 − x · [Arc sin x] = 1.
Etant donné que x2 6= 1, il est permis de diviser par
√
1 − x2 , et nous obtenons :
1
.
(Arc sin x)0 = √
1 − x2
Remarquons qu’en −1 et en 1, la fonction Arc sin n’est
pas dérivable et que la courbe représentative y admet des
demi-tangentes verticales.
Démonstration
Nous admettrons sans démonstration que la fonction est
dérivable sur ] − 1; 1[ et nous allons démontrer la formule.
Par définition : ∀x ∈] − 1; 1[: cos[Arc cos x] = x.
Dérivons les deux membres de cette égalité :
− sin[Arc cos x] · [Arc cos x]0 = 1.
Posons a = sin[Arc cos√
x] et calculons a en
√ fonction de x :
x2 + a2 = 1, donc a = 1 − x2 ou a = − 1 − x2 .
Le sinus d’un angle compris entre 0√et π étant positif, la
2
valeur négative est
√ à rejeter et a = 01 − x .
2
Il s’ensuit que − 1 − x · [Arc cos x] = 1.
2
Etant
√ donné que x 6= 1, il est permis de diviser par
2
− 1 − x , et nous obtenons :
1
(Arc cos x)0 = − √
.
1 − x2
Remarquons qu’en −1 et en 1, la fonction Arc cos n’est
pas dérivable et que la courbe représentative y admet des
demi-tangentes verticales.
x ∈] − 1; 1[, Arc sin x ∈] − π2 ; π2 [, a = cos(Arc sin x) > 0
x ∈] − 1; 1[, Arc cos x ∈]0; π[, a = sin(Arc cos x) > 0
1
x
•Arc sin x
a
1
a
•Arc cos x
x
Théorème 3 La fonction Arc tan est dérivable sur R, et, pour tout x ∈ R : (Arc tan x)0 =
1
1 + x2
Démonstration
Nous admettrons sans démonstration que la fonction est dérivable sur R et nous allons démontrer la formule.
Par définition : ∀x ∈ R : tan[Arc tan x] = x.
Dérivons les deux membres de cette égalité : [1 + tan2 (Arc tan x)] · [Arc tan x]0 = 1.
Etant donné que [1 + tan2 (Arc tan x)] = 1 + x2 6= 0, il est permis de diviser par 1 + x2 , et, par conséquent :
1
[Arc tan x]0 =
.
1 + x2