6û8 COMPLÉMENT DALGÈBRE. algébrique, et l'on ramène la question à la résolution d'une équation algébrique. C'est la marche qu'on suivra, lorsque les différences du troisième ordre ou celles du second ordre seront négligeables : on n'aura qu'à résoudre une équation du second ou du premier degré (244, 24S). Dans les autres cas, on séparera d'abord la racine à l'aide d'un petit nombre de substitutions convenablement choisies; puis, on pourra en approcher après autant qu'on voudra, en appliquant la méthode de Newton, comme nous l'indiquerons. 257. Par un point A pris sur la circonférence d'un cercle, mener une corde AB qui détermine un segment AwB équivalent au quart de l'aire du cercle (Euler). Soit R le rayon du cercle, soit z l'arc correspondant à l'angle AOB dans le cercle de rayon 1. On aura B - — 3 — R2 s i n " - -R 2 2 d'où 2 4 z — sin z = - • 2 Pour simplifier, 'posons z — — = x, d'où sinz = cos.*-. Nous aurons à résoudre l'équation Fis- 9- x — cos x = o, B de sorte que le problème proposé revient à trouver un arc égal à son cosinus. La fonction x — cos x est évidemment croissante , comme l'indique d'ailleurs la dérivée i + s i n x . Quand x croît de o à —•> la fonction 2 passe de la valeur — r â l a valeur -+-' — • Donc l'équation donnée a une racine réelle et une seule, comprise entre les limites o et —• 2 La Table (voir à la fin du volume) qui donne les arcs et leurs rapports trigonométriques exprimés en parties décimales du rayon pris pour unité, montre immédiatement que l'arc cherché est nécessairement compris entre 4^° et 43°. On a. en effet, arc 420 = o,733c et cos 42° = 0,7431 . arc 43° = o,75o5 et cos 43° = 0,7314. C'est, par conséquent, dans cet intervalle que la fonction change de signe en passant par zéro. Désignons par y la fonction x — cosx, et cherchons les valeurs de la fonction pour les arcs 410, 4^°, 43°, 44°- Nous aurons : arc 4i° = 0.7136 et cos 4*° = 0,7547, arc 44° =-0.7679 et cos 44° = 0.7193.