Chapitre 9

Corrigés
Chapitre 9 Loi binomiale et applications
Pour faire le point
Avant de commencer
1 Réponse C. Les tirages sont successifs et avec remise : la variable
aléatoire X comptant le nombre de succès suit bien une loi binomiale de
paramètres n et p. On tire 5 boules, donc n = 5 et la probabilité d’avoir
une boule rouge à chaque tirage est 18 , soit 0,6, donc p = 0,6.
30
2 Réponse B. Les tirages sont successifs sans remise, donc il n’y a pas
indépendance entre les épreuves : Y ne suit pas une loi binomiale.
1 Réponse D.
P(X  4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,79.
2 Réponse B.
P(1  X  6) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6).
On a donc P(1  X  6) = 1 – (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 7)) = 1 – 0,17 = 0,83.
Réponses B, C et D.
P(3  X  5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,55.
3
⎛20⎞
Réponse C. ⎜ ⎟ est égal à 15 504.
⎝5⎠
Par ailleurs P(X  5) – P(X  2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5).
4
Réponse B.
3
Donc P(3  X  5) = P(X  5) – P(X  2).
4
Réponse A. P(A se réalise 3 fois) = 0,43 = 0,064.
5
Réponse D. P(A se réalise exactement 1 fois) = 0,4  0,62  3 = 0,432
⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 + n + 1 = n + 2.
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ n ⎠
5
Réponse A. P(X = 5) ≈ 0,103, à l’aide de la calculatrice.
En effet, on s’intéresse ici aux événements A A A , A A A et A A A.
6
Réponse C. À l’aide de la calculatrice :
6 Réponse B.
P(A se réalise au moins 1 fois) = 1 – P(A ne se réalise aucune fois)
= 1 – 0,63 = 0,784.
7 P(3  X  5) = 1 – P(X  2) = 1 – 0,43 = 0,57.
P(X = 5) = 1 – P(X  4) = 1 – 0,69 = 0,31.
B
P(2  X  7) = P(X  6) – P(X  1) ≈ 0,840.
Réponse B. La variable aléatoire X qui est égale au nombre de voitures en panne deux ans plus tard suit la loi binomiale de paramètres
n = 5 et p = 0,2.
La probabilité pour que les cinq voitures soient en service est
P(X = 0) ≈ 0,328.
R
8 Réponse B. La variable X est la même que dans la question 7 .
La probabilité pour que trois voitures exactement soient en panne est
P(X = 3)≈ 0,051.
8
1.
0,7
0,7
B
0,3
0,3
R
9 Réponse D. La variable X est la même que dans la question 7 .
La probabilité pour que deux voitures au plus soient en panne est
P(X  2) ≈ 0,942.
B
0,7
0,3
p
p
q
p
S
q
E
S
S
S
p
E
q
p
p
q
q
E
S
S
q
E
Réponse C. Soit X la variable aléatoire qui, à un échantillon de
100 patients, associe le nombre de décès après une certaine maladie :
X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,3.
P(X  20) ≈ 0,016 et P(X  21) ≈ 0,029, donc le plus petit entier a tel
que P(X  a) > 0,025 est 21.
P(X  38) ≈ 0,966 et P(X  39) ≈ 0,979, donc le plus petit entier b tel
que P(X  b)  0,975 est 39.
Un intervalle de fluctuation au coefficient 0,95 de la proportion de décès
pour un échantillon de 100 patients est [0,21 ; 0,39].
10
R
2. P(BB) = 0,7  0,7 = 0,49.
3. P(BR) + P(RB) = 0,7  0,3 + 0,3  0,7 = 0,42.
4. P(au moins une perle rouge) = 1 – P(aucune perle rouge) = 1 – 0,72 = 0,51.
9
7
p
E
S
q
E
E
Réponse B. Soit Y la variable aléatoire qui, à un échantillon de
200 patients, associe le nombre de décès après une certaine maladie :
Y suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,3.
P(Y  43) ≈ 0,0044 et P(Y  44) ≈ 0,0071, donc le plus petit entier a tel
que P(Y  a) > 0,005 est 44.
P(Y  76) ≈ 0,9937 et P(Y  77) ≈ 0,9959, donc le plus petit entier b tel
que P(Y  b)  0,995 est 77.
Un intervalle de fluctuation au coefficient 0,99 de la proportion de
décès pour un échantillon de 200 patients est [0,22 ; 0,385], mais aussi
[0,22 ; 0,39].
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Il existe 3 chemins de l’arbre qui permettent d’obtenir deux fois l’issue
S : les chemins correspondants aux événements SSE, SES et ESS.
Mathématiques Indice 1re ES-L © Bordas