Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie

Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie
Plusieurs des formules suivantes possèdent des restrictions dont nous avons volontairement omis le domaine afin de ne pas alourdir le texte.
Opérations arithmétiques
Logarithmes et fonctions exponentielles
a c
a d + bc
+ =
b d
bd
a/b a d
ad
= × =
c/d
b c
bc
a (b + c) = a b + a c
a +b a b
= +
c
c c
Propriétés des exposants et des radicaux
am
= a m−n
an
¡ m ¢n
a
= a mn
a m a n = a m+n
(a b)n = a n b n
an
= n
b
b
p
p p
n
n
ab = n a b
p
r
n
a
a
n
= p
n
b
b
1
a −n = n
a
1
p
n
a=an
p
n
am =
³ a ´n
¡p
¢m
m
n
a
=a n
Factorisations et développements
¡ 2
¢
a − b 2 = (a − b)(a + b)
¡ 3
¢
¡
¢
a − b 3 = (a − b) a 2 + a b + b 2
¡ 3
¢
¡
¢
a + b 3 = (a + b) a 2 − a b + b 2
(a + b)2 = a 2 + 2a b + b 2
Fonction exponentielle y = a x
a >1
0<a <1
croissance
décroissance
⇒
⇒
y = loga (x)
y = ln(x)
⇐⇒
⇐⇒
ay = x
ey = x
En général on utilise la base
e ≈ 2, 71828 . . ., et donc le log
naturel ln. Cela permet de définir
z c = e c ln(z)
Les propriétés suivantes sont
autant valables pour loga (x)
que pour ln(x).
ln(1) = 0
ln(e m ) = m
e ln(m) = m
³m ´
ln
= ln(m) − ln(n)
n
ln(u)
logb (u) =
ln(b)
ln(e) = 1
ln(m n) = ln(m) + ln(n)
¡
¢
ln m p = p ln(m)
Fonctions hyperboliques
sinh(x) =
e x − e −x
2
cosh(x) =
e x + e −x
2
(a − b)2 = a 2 − 2a b + b 2
e x − e −x
tanh(x) = x
e + e −x
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b 3
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3a b 2 − b 3
(a + b)4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4a b 3 + b 4
à !
à !
n n
n
n!
P
(a + b)n =
a n−k b k où
=
k! (n − k)!
k
k=0 k
(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + a b
µ
¶
A 2 A2
(complétion de carré)
−
x2 + A x = x +
2
4
Figures classiques 2D et 3D, (aire A, circonférence C , volume V )
Équation quadratique
Si a x 2 + b x + c = 0 avec a 6= 0 alors
x=
−b ±
p
b 2 − 4a c
2a
On obtient des solutions réelles ou complexes selon
la valeur du discriminant ∆ = b 2 − 4a c
Triangle
A=
=
b
θ
1
2ah
1
2 a b sin(θ)
Cercle
Secteur circulaire
A = 12 r 2 θ
A = πr 2
C = 2πr
h
s =r θ
(θ en radians)
r
a
r
θ
s
r
Inégalités et valeur absolue
a <b
⇒
a +c < b +c
a < b et c > 0
⇒
ac <bc
a < b et c < 0
⇒
ac >bc
Si X représente une variable ou une expression et b > 0
¯ ¯
¯ X ¯ = b ⇐⇒ X = b ou X = −b
¯ ¯
¯ X ¯ < b ⇐⇒ −b < X < b
¯ ¯
¯ X ¯ > b ⇐⇒ X > b ou X < −b
École de technologie supérieure
Sphère
V = 43 πr 3
A = 4πr 2
Cylindre
V = πr 2 h
A = 2πr 2 +2πr h
Cône
V = 31 πr 2 h
A = πr 2 + πr a
r
r
h
a
h
r
© Gilles Picard, 2 décembre 2016
Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie
Géométrie dans le plan cartésien
Fonctions trigonométriques réciproques
Considérons 2 points, P 1 (x 1 ; y 1 ) et P 2 (x 2 ; y 2 )
q
¡
¢2
Distance entre P 1 et P 2 : d = (x 2 − x 1 )2 + y 2 − y 1
³x +x y +y ´
1
2
1
2
;
Point milieu de P 1 P 2 est
2
2
Droite passant par P 1 et P 2 :
y2 − y1
La pente est m =
x2 − x1
Équation : y = m x + b ou y − y 1 = m (x − x 1 )
y = sin(x)
⇐⇒
arcsin(y) = x
y = tan(x) ⇐⇒
arctan(y) = x
y = cos(x) ⇐⇒
π
π
≤x≤
et −1 ≤ y ≤ 1
2
2
0 ≤ x ≤ π et −1 ≤ y ≤ 1
π
π
− <x<
et −∞ < y < ∞
2
2
−
arccos(y) = x
(où b est l’ordonnée à l’origine)
Cercle de rayon r centré en (a; b)
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2
Trigonométrie
Identités trigonométriques de base
Mesure des angles
csc(θ) =
sec(θ) =
sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1
1 + tan2 (θ) = sec2 (θ)
sin(−θ) = − sin(θ)
sin(x) est une fonction impaire
cos(−θ) = cos(θ)
cos(x) est une fonction paire
tan(−θ) = − tan(θ)
³
π´
= cos(θ)
sin θ +
2
³
π´
= sin(θ)
cos θ −
2
tan(x) est une fonction impaire
³
π´
sin θ −
= − cos(θ)
2
³
π´
−1
= − cot(θ)
tan θ −
=
2
tan(θ)
r
π radians = 180°
1° =
180°
π
radians et 1 rad =
180
π
s
θ
r
s = r θ où θ est en radians
Triangle rectangle et trigo
sin(θ) =
opp
hyp
tan(θ) =
opp
adj
cos(θ) =
adj
hyp
hyp
adj
Fonctions trigonométriques
1
sin(θ) = y
cos(θ) = x
tan(θ) =
opp
θ
(x;y)
y
1
θ
x 1
-1
1
cos(θ)
cos(θ)
1
cot(θ) =
=
sin(θ) tan(θ)
1
sin(θ)
sin(θ)
tan(θ) =
cos(θ)
Autres identités trigonométriques
sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v)
sin(u − v) = sin(u) cos(v) − cos(u) sin(v)
y
x
cos(u + v) = cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v)
-1
cos(u − v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v)
sin(2u) = 2 sin(u) cos(u)
cos(2u) = cos2 (u) − sin2 (u)
1 + cos(2u)
1 − cos(2u)
cos2 (u) =
sin2 (u) =
2
2
Triangle quelconque et trigo
c
B
a
C
A
b
Fonctions trigonométriques, valeurs principales
θ
0°
30°
45°
60°
90°
θ en radians
0
π/6
π/4
π/3
π/2
sin(θ)
0
1/2
p
2/2
p
3/2
1
École de technologie supérieure
cos(θ)
1
p
3/2
p
2/2
1/2
0
Loi des sinus :
tan(θ)
0
p
3/3
1
p
3
Ø
sin(A) sin(B ) sin(C )
=
=
a
b
c
Lois des cosinus : a 2 = b 2 + c 2 − 2b c cos(A)
b 2 = a 2 + c 2 − 2a c cos(B )
c 2 = a 2 + b 2 − 2a b cos(C )
© Gilles Picard, 2 décembre 2016