2 problèmes dont 1 facultatif

Pour le vendredi 04/11/2011
Lycée La Bruyère, Versailles
ECS 2 – Mathématiques
DM no 6 : Variables aléatoires réelles discrètes
Problème 1 – Étude de la descendance d’un individu
Dans tout le problème, on désigne par λ un réel strictement positif. L’objet du problème est d’étudier l’évolution au
cours du temps de la descendance d’un individu dans une population donnée.
Partie préliminaire
Soit f la fonction définie pour tout x ∈ [0, 1] par f (x) = eλ(x−1) , et soit (xn )n∈N la suite définie par x0 = 0 et la
relation de récurrence :
∀n ∈ N, xn+1 = f (xn ).
1. (a) Étudier les variations sur R de la fonction g : x 7→ xe−x (on précisera en particulier son maximum).
(b) En étudiant les variations de la fonction x 7→ f (x) − x, déterminer suivant la valeur de λ le nombre de
solutions de l’équation f (x) = x dans [0, 1].
On désigne désormais par ` la plus petite solution dans [0, 1] de l’équation f (x) = x
2. Montrer que (xn )n∈N est strictement croissante et majorée par `.
Montrer que (xn )n∈N converge vers une limite que l’on précisera.
3. Montrer que : ∀α ∈ R∗+ , ∃nα ∈ N, ∀n > nα , xn 6 ` 6 xn + α.
Pour toute valeur α on se donne une telle valeur nα .
En déduire que l’on a alors : ∀α ∈]0, 1 − `[, ∀n > nα , f (xn + α) − (xn + α) < 0.
4. Écrire un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de ` à 10−6 près lorsque λ > 1.
Partie I – Nombre moyen de descendants
On convient d’appeler, dans une population donnée, descendants de première génération d’un individu, ses enfants ;
descendants de deuxième génération, ses petits-enfants ; etc.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. On suppose alors dans la suite du problème
que le nombre de descendants de première génération de tout individu au sein de cette population suit la même loi
que X et que pour tout n ∈ N∗ , les variables aléatoires associant aux différents individus d’une même génération le
nombre de leurs descendants de n-ième génération sont indépendantes et de même loi.
On note désormais :
• pour tout n ∈ N∗ , Xn la variable aléatoire telle que le nombre de descendants de n-ième génération de tout
individu au sein de cette population suive la même loi que Xn ;
• pour tout n ∈ N∗ , un = P (Xn = 0) la probabilité pour un individu donné de n’avoir aucun descendant à la n-ième
génération (on posera par convention u0 = 0).
1. (a) Déterminer la loi de X1 .
(b) Pour tout n ∈ N∗ et pour tout p ∈ N, déterminer la loi de Xn+1 sachant l’événement [Xn = p] réalisé.
2. Nombre moyen de descendants à la n-ième génération d’un individu
Pour toute variable aléatoire Y à valeurs dans N, on note GY la fonction définie sur [0, 1] par :
X
∀x ∈ [0, 1], GY (x) =
P (Y = k)xk .
k∈Y (Ω)
(a) Déterminer GX . En déduire que : ∀n ∈ N∗ , GXn+1 = GXn ◦ GX .
(b) En déduire, pour tout n ∈ N∗ , l’expression de E(Xn+1 ) en fonction de E(Xn ).
(On admettra qu’on peut dériver la somme définissant GY terme à terme sur [0, 1].)
1
(c) Déterminer, pour tout n ∈ N∗ , E(Xn ), puis lim E(Xn ).
n→+∞
Partie II – De la probabilité d’extinction de la descendance d’un individu
1. (a) Montrer que u1 = f (u0 ).
(b) Déterminer pour tout k ∈ N, la probabilité qu’un individu n’ait pas de petits-enfants sachant qu’il a
exactement k enfants.
En déduire que u2 = f (u1 ).
2. Montrer à l’aide d’un raisonnement analogue, que : ∀n ∈ N∗ , un+1 = f (un ).
3. Déterminer alors, à l’aide des résultats de la partie préliminaire, la probabilité d’extinction de la descendance
d’un individu lorsque λ = 5, λ = 3, λ = 2, λ 6 1.
Partie III – Du nombre moyen de générations de la descendance d’un individu
Soit D l’« aléa numérique » (un aléa numérique est similaire à une variable aléatoire, mais pour laquelle la somme
des probabilités n’est pas forcément égale à 1) égal au nombre de générations de descendants d’un individu donné.
Ainsi, D prend la valeur 0 si l’individu n’a pas d’enfants, 1 si l’individu a des enfants mais pas de petits-enfants
etc., et D ne prend aucune valeur si l’individu admet des descendants de toute génération.
n
X
∗
∗
On définit également la suite (Sn )n∈N par : ∀n ∈ N , Sn =
(1 − uk ).
k=1
On note S la limite de cette suite lorsque celle-ci converge.
On pourra admettre, pour cette partie, que si (an ) admet une limite ` ∈ R, alors la suite
admet également ` pour limite (théorème de la moyenne de Cesaro)
1
n (a1
+ · · · + an )
n∈N
1. (a) Pour tout n ∈ N, calculer P (D > n), puis P (D = n) en fonction de un et un+1 .
n
X
∗
(b) En déduire pour tout n ∈ N une relation entre Sn et
kP (D = k).
k=0
(c) Montrer que D est une variable aléatoire si et seulement si λ 6 1.
On suppose désormais que l’on a λ 6 1, ce qui revient donc à supposer que la descendance d’un individu s’éteint
au bout d’un nombre fini de générations presque-sûrement.
2. On suppose dans cette question que λ = 1.
(a) On définit (vn )n∈N et (wn )n∈N par :
∀n ∈ N, vn = 1 − un
et
∀n ∈ N, wn =
1
.
vn
Justifier que lim vn = 0 ; en déduire la limite de la suite (wn+1 − wn )n∈N .
n→+∞
2
.
n
(c) En déduire que D n’admet pas d’espérance lorsque λ = 1.
(b) En déduire que 1 − un ∼
+∞
3. On suppose dans cette question que λ < 1.
(a) Montrer, en intégrant une majoration de f 0 sur un intervalle adéquat, que : ∀n ∈ N, 0 6 1 − un 6 λn .
(b) Montrer alors que la suite (Sn )n∈N converge et en déduire une majoration de |S − Sn |.
(c) Montrer que D admet une espérance lorsque λ < 1.
(d) Écrire un algorithme donnant une valeur approchée à 10−6 de E(D).
Problème 2 – FACULTATIF, conseillé pour ceux qui visent le TOP 3
Une éprouvette contient 10 bactéries dont 4 de type A et 6 de type B. On les laisse se reproduire en milliers
d’exemplaires, la proportion de bactéries de chaque type restant inchangée. On prélève alors, au hasard, 10 bactéries
que l’on met dans une autre éprouvette. On les laisse se reproduire en milliers d’exemplaires dans les mêmes
conditions que précédemment, et on recommence. Que se passe-t-il après un grand nombre d’expériences ?
L’énoncé théorique ci-dessous propose un modèle probabiliste pour répondre à cette question.
2
Définitions et notations.
k0
et q = 1 − p.
N
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), à valeurs dans [[ 0, N ]] ,
dont les lois de probabilité sont définies de la manière suivante :
∗ X0 est la variable certaine égale à k0 .
∗ X1 suit la loi binomiale de paramètres N et p. Par convention, la loi binomiale de paramètres N et 0 est la
loi de la variable certaine égale à 0, et la loi binomiale de paramètres N et 1 est la loi de la variable certaine
égale à N .
∗ Pour tout entier n non nul, et tout entier k de [[ 0, N ]] tel que P (Xn = k) 6= 0, la loi conditionnelle de Xn+1
k
.
sachant (Xn = k) est la loi binomiale de paramètres N et N
On suppose de plus que (Xn )n∈N vérifie l’hypothèse (H) suivante :
Pour tout n ∈ N∗ , et tout n-uplet (k1 , . . . kn ) ∈ [[ 0, N ]] n tel que P (X1 = k1 , . . . , Xn = kn ) 6= 0, on a : ∀i ∈
[[ 0, N ]] , P (Xn+1 = i | X1 = k1 , . . . , Xn = kn ) = P (Xn+1 = i|Xn = kn ).
Xn
.
On définit la suite de variables aléatoires (Fn )n∈N par Fn =
N
0
On adoptera la convention 0 = 1.
• On note N un entier supérieur ou égal à 2, et k0 un entier de [[ 0, N ]] . On pose p =
•
•
•
•
Préliminaires
1. Justifier la convention adoptée pour les lois binomiales de paramètres (N, 0) et (N, 1).
2. Dans l’exemple ci-dessus, on appelle N le nombre de bactéries prélevées à chaque expérience, k0 le nombre
initial de bactéries de type A et n le numéro de l’expérience consistant à prélever N bactéries (n = 0 correspond
au choix initial des N bactéries). Soit Y1 la v.a.r. égale au nombre de bactéries de type A prélevées lors de la
première expérience. Déterminer la loi de Y1 . On exprimera ses paramètres en fonction de N , p, et du nombre
M de bactéries obtenues après prolifération dans la première éprouvette.
3. Justifier soigneusement qu’on peut approcher la loi de Y1 par celle de X1 .
4. Donner une interprétation de la variable Xn . On justifiera les approximations effectuées.
5. Comment interpréter l’hypothèse (H) ?
Partie I – Étude d’un cas particulier
Dans cette partie, N = 3.
1. Que dire de la suite (Xn )n∈N si k0 = 0 ? si k0 = 3 ?
On suppose désormais, dans la suite de cette partie, que k0 = 1.
2. On note an = P (Xn = 0), bn = P (Xn = 1), cn = P (Xn = 2) et dn = P (Xn = 3). Que valent a0 , b0 , c0 et
d0 ?
3. Pour tout n ∈ N, exprimer an+1 , bn+1 , cn+1 et dn+1 en fonction de an , bn , cn et dn .
4. Écrire un programme en PASCAL calculant et affichant les m premiers termes de chacune des suites (an )n∈N ,
(bn )n∈N , (cn )n∈N et (dn )n∈N (m étant rentré par l’utilisateur). Pour cela, on écrira une procédure prenant en
paramètres an , bn , cn et dn et modifiant ces paramètres en les remplaçant par an+1 , bn+1 , cn+1 et dn+1 .
5. (a) Montrer que pour tout n ∈ N, an + bn + cn + dn = 1 et an + 32 bn + 13 cn = 23 .
(b) Déterminer deux valeurs de γ telles que (bn + γcn )n∈N soit une suite géométrique, et expliciter bn + γcn
en fonction de n dans chacun des deux cas.
(c) Déduire des questions précédentes que :


 P (Xn

 P (X
n
 P (Xn



P (Xn
= 0) =
= 1) =
= 2) =
= 3) =
2
3
1
2
1
2
1
3
1 2 n
2 3
2 n
3 +
2 n
−
3
n
− 21 23
−
− 16 29
2 n
9 2 n
9
+
1
6
n
2 n
9
(d) Montrer que la suite (Fn )n∈N converge en loi. Quelle est la loi limite ?
6. (a) Calculer P (Xn = 0) + P (Xn = 3) et sa limite. Interpréter le résultat.
3
(b) Modifier le programme de la question ?? afin qu’il affiche la plus petite valeur de n pour laquelle
P (Xn = 0) + P (Xn = 3) > 0, 999. On se servira de la procédure écrite précédemment, et on écrira
simplement le corps du programme (inutile de réécrire l’entête).
n
\
7. Pour tout entier n non nul, on définit l’événement Bn =
(Xk 6 1). On pose :
k=1
• x1 = P (X1 = 0),
• pour tout k > 2, xk = P (X1 = 1, . . . , Xk−1 = 1, Xk = 0),
• pour tout k > 1, yk = P (X1 = 1, . . . , Xk = 1).
(a) Exprimer, pour tout entier k non nul, xk+1 et yk+1 en fonction de xk et yk . En déduire les valeurs de
xn et yn pour tout entier n non nul.
n
X
(b) Montrer que P (Bn ) =
xk + yn . En déduire P (Bn ) et la limite de la suite (P (Bn ))n∈N∗ .
k=1
(c) En déduire la probabilité qu’il existe n vérifiant Fn > 0, 5.
Partie II – Étude générale
Dans cette partie, N est un entier supérieur ou égal à 2, et k0 un entier de [[ 1, N ]] .
On pose, pour tout entier n, un = P (Xn = 0) + P (Xn = N ), et vn = 1 − un .
1. Loi de Xn .
N −i
i N
X
k
N
k
1−
.
(a) Montrer que pour tout i ∈ [[ 0, N ]] : P (Xn+1 = i) =
P (Xn = k)
N
N
i
k=0
(b) Montrer que pour tout entier n, E(Xn+1 ) = E(Xn ).
N −1
E (Xn (N − Xn )) .
(c) i. Montrer que pour tout entier n, E (Xn+1 (N − Xn+1 )) =
N
ii. En déduire la valeur de E (Xn (N − Xn )) en fonction de n, N et k0 .
(d) Montrer que la suite (un )n∈N est croissante et convergente.
i. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R+ , prenant un nombre fini de valeurs. (Re)démontrer
E(X)
que pour tout réel a > 0, P (X > a) 6
.
a
ii. Étudier la fonction f définie sur [1, N − 1] par f (x) = x(N − x). Déterminer ses extrema.
n
N2
1
iii. En utilisant la valeur de E (Xn (N − Xn )), montrer : ∀n ∈ N, 0 6 vn 6 pq
1−
.
N −1
N
(f) i. Quelle est la limite de la suite (vn )n∈N ?
(e)
ii. En déduire que pour tout entier k de [[ 1, N − 1 ]] , lim P (Xn = k) = 0.
n→+∞
iii. En utilisant la question ??, montrer que lim P (Xn = N ) = p. Déterminer lim P (Xn = 0).
n→+∞
n→+∞
iv. Montrer que la suite (Fn )n∈N converge en loi. Quelle est la loi limite ?
2. Temps d’arrêt On définit la variable aléatoire T par :
• si pour tout entier n, (Xn 6= 0) et (Xn 6= N ), alors T = 0 ;
• sinon T = n, où n est le plus petit entier k tel que (Xk = 0) ou (Xk = N ).
(a) Que vaut P (T = 0) ?
Montrer que pour tout entier n non nul, P (T = n) = vn−1 − vn .
(b)
i. Montrer que
n
X
k=1
k · P (T = k) =
n−1
X
v k − n · vn .
k=0
ii. En déduire que T admet une espérance et que E(T ) 6 pq
N3
(on ne calculera pas E(T )).
N −1
3. Retour aux bactéries
Dans l’exemple des bactéries, on a posé la question : « que se passe-t-il après un grand nombre d’expériences ? ». Pouvez-vous maintenant y répondre ?
4