4 t ex suites

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
Exercices
Exercice 1
Soit (U n ) une suite à termes strictement positifs et (V n ) la suite définie
par : V n = 1 .
Un
4ème T
(Suites Réelles)
1/2
3) Soit (V n ) la suite définie sur ℕ par : V n =
Un2
3 −U n 2
a) Montrer que (V n ) est une suite arithmétique de raison 1.
b) Exprimer V n en fonction de n. En déduire U n en fonction de n.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
c) Retrouver alors la limite de (U n ) .
• Si la proposition est fausse donner un contre-exemple
1) Si la suite (U n ) est croissante alors la suite (V n ) est décroissante.
2) Si la suite (U n ) est minorée par 1 alors la suite (V n ) est majorée par 1.
3) Si la suite (U n ) est bornée alors la suite (V n ) est bornée.
4) Si la suite (U n ) est divergente alors la suite (V n ) converge vers 0.
5) Si la suite (U n ) converge alors la suite (V n ) converge.
Exercice 3
 U0 = 2

Soit (U n ) une suite définie sur ℕ par : 
U n2
U
=
 n +1
2U n − 1

1) a) Vérifier que pour tout n ∈ ℕ , on a : U n +1 − 1 =
(U n − 1) 2
2U n − 1
.
b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a U n > 1 .
2) a) Montrer que pour tout entier naturel n la suite (U n ) est décroissante.
Exercice 2
U 0 = 0

On considère la suite (U n ) définie sur ℕ par : U
=
 n +1

b) En déduire que la suite (U n ) est convergente et calculer sa limite.
3
6 −U n 2
1) Calculer U 1 et U 2 .
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel n , on a : 0 ≤ U n <
b) Montrer que (U n ) est suite croissante.
3) Soit la suite (V n ) définie sur ℕ par : V n = ln(1 − 1 ) .
Un
a) Montrer que (V n ) est une suite géométrique de raison 2.
3.
b) Exprimer V n en fonction de n.
c) Calculer lim V n . En déduire lim U n .
n →+∞
c) En déduire que (U n ) est convergente et calculer sa limite.
www.mathsplus.12r.org
n →+∞
Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef
Habib Gammar
Exercice 4
Exercices
(
Soit f la fonction définie sur [ 1, 2 ] par f ( x ) = x + 1 2 − x
4
2
).
U = 5
 0 2
On considère la suite (U n ) définie sur ℕ par : 
U +2
U n +1 = n
Un

b) Dresser le tableau de variation de f sur [ 1, 2 ]
1) Soit la fonction f définie sur I =  3 ,3  par f ( x ) = x + 2 .
 2 
x
c) Montrer que pour tout x ∈ [ 1, 2 ] on a : f '( x ) ≤ 1 .
2
a) Montrer que f est dérivable sur I et que f ( I ) ⊂ I .
2 ≤ 1 x −
2
2 .
U 0 = 1
2) On considère la suite (U n ) définie sur ℕ par : 
U n +1 = f (U n )
b) Montrer que, pour tout entier naturel n on a :
2 ≤ 1 Un −
2
d) Montrer que pour tout x ∈  3 ,3  on a : f ( x ) − α ≤ 8 x − α .
 2 
9
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel n on a : U n +1 − α ≤ 8 U n − α .
9
2 .
c) En déduire pour tout entier naturel n on a : U n −
b) Montrer que l’équation f ( x ) = x admet dans I une solution unique α .
c) Montrer que pour tout x ∈  3 , 3  on a : f '( x ) ≤ 8 .
 2 
9
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 1 ≤ U n ≤ 2 .
U n +1 −
2/2
Exercice 5
1) a) Montrer que f '( x ) = 1 − 1 x .
2
d) Montrer que pour tout x ∈ [ 1, 2 ] on a : f ( x ) −
(Suites Réelles)
4ème T
n
n
2 ≤  1  .
 2 
b) En déduire pour tout entier naturel n on a : U n − α ≤  8  .
 9 
c) Déterminer alors la limite de (U n ) .
d) Déterminer alors la limite de (U n ) .
www.mathsplus.12r.org