Exercice de spécialité, classe de terminale 10, bac blanc de fin d’année
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de l’entier  = 6 − 1 ( ≥ 1)
Partie A : quelques exemples
1. Démontrer que 6 ≡ 1 ( 5) pour tout entier naturel . En déduire le dernier
chiffre de l’écriture décimale de  .
2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat que 28 est divisible par 29.
3. Pour 1 ≤  ≤ 4, déterminer le reste de la division de 6 par 37. En déduire que pour
tout entier , 4 est divisible par 37.
4. Pour quels entiers  le nombre  est-il divisible par 7 ?
5. Déduire des questions précédentes 4 diviseurs premiers de 28 .
Partie B : divisibilité par un nombre premier
Soit  un nombre premier différent de 2 et 3.
1. Démontrer qu’il existe un entier  ≥ 1 tel que 6 ≡ 1 ( ).
2. On appelle  le plus petit entier strictement positif tel que 6 ≡ 1 ( ). On
considère un entier  tel que 6 ≡ 1 ( ). On appelle  le reste de la division
euclidienne de  par .
a) Montrer que 6 ≡ 1 ( ). En déduire que  = 0.
b) Prouver que 6 − 1 est un multiple de  si et seulement si  est un multiple de .
c) En déduire que  divise  − 1.
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