Chapitre 1 Rappels, définition de R Exercice 1.1. Vérifier dans K = R ou C, l’inégalité ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯|x| − ¯ y ¯¯ ≤ ¯x − y ¯ que l’on retient comme « la distance entre les distances est plus petite que la distance ». Vérifier « l’identité de la médiane » : ∀x, y ∈ C , |x + y|2 + |x − y|2 = 2(|x|2 + |y|2 ) . Exercice 1.2. Le maximum de 2 nombres réels x, y (c’est-à-dire le plus grand des 2) est noté max(x, y). De même on notera min(x, y) le plus petit des 2 nombres x, y. Démontrer que : max(x, y) = x + y + |x − y| 2 et min(x, y) = x + y − |x − y| . 2 Trouver une formule pour max(x, y, z). Exercice 1.3. Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement infinies) de : A = {u n , n ∈ N} en posant u n = 2n si n est pair et u n = 2−n sinon. Cet ensemble admet-il une borne supérieure dans R ? Exercice 1.4. Soit A une partie non vide bornée de R. Montrer que b = sup A si et seulement si les deux conditions sont vérifiées — b est un majorant de A ; — il existe une suite (a n )n∈N de A telle que limn→∞ a n = b . Que vaut sup([0, 1[∩Q) ? Exercice 1.5. Montrer qu’une suite réelle est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si ∀n ∈ N, u n+1 ≥ u n (resp. u n+1 > u n ) . On fera une récurrence sur p ∈ N pour comparer u n+p+1 et u n . Exercice 1.6. Etant donné l’ensemble E , on travaille dans P (E ) muni de la relation d’inclusion ⊂ . 1 — Rappeler pourquoi c’est une relation d’ordre. — Expliquer pourquoi cet ordre est partiel si E a au moins deux éléments. — Donner un minorant trivial et un majorant trivial d’un ensemble A = {A i , i ∈ I } ⊂ P (E ) de parties de E . — Montrer que A a une borne supérieure et une borne inférieure que l’on précisera. Exercice 1.7. B Borne supérieure et opérations : Pour une partie A de R on note sup A ∈ R ∪ {+∞} (resp. inf A ∈ R ∪ {−∞}) sa borne supérieure (resp. inférieure). Si de plus f est une application de A (ou de R) ©dans R on note supx∈A f (x) ª (resp. infx∈A f (x)) la borne supérieure (resp. inférieure) de f (A) = f (x) , x ∈ A ©. ª — Pour deux parties A et B de R comment se comparent sup(A+B ) = sup x + y , x ∈ A , y ∈ B et sup A + sup B ? — Si f : R → R est une application croissante et sup A ∈ R , comment se comparent supx∈A f (x) et f (sup A) ? Donner une condition pour qu’il y ait égalité. — Que peut-on dire sur supx∈A f (x) si f : R → R est décroissante ? — Si f : A → R et g : A → R comment se comparent supx∈A ( f + g )(x) et supx∈A f (x) + supx∈A g (x) ? Exercice 1.8. Pour x ∈ C∗ , m ∈ N et n ∈ N∗ n ≥ m , calculer x m + x m+1 + · · · + x n . (Indication : Pour x 6= 1 , poser S = x m + x m+1 + · · · + x n et calculer S − xS). Exercice 1.9. Montrer par récurrence sur n ∈ N∗ n X k=1 = n(n + 1) 2 et n X k2 = k=1 n(n + 1)(2n + 1) . 6 Exercice 1.10. Résoudre dans C les équations z2 + z + 2 = 0 . z 5 = 32i . 2 ei z = 1 . 2 ez = 1. P Exercice 1.11. En utilisant la formule du binôme (x+y)n = nk=0 C nk x k y n−k , exprimer cos(x)n en fonction de cos(αx) et sin(αx) , α ∈ {0, . . . , n} . Faire la même chose pour sin(x)n . Retrouver à l’aide des exponentielles complexes les formules trigonométriques pour cos(θ1 ) + cos(θ2 ) , cos(θ1 ) − cos(θ2 ) , sin(θ1 ) + sin(θ2 ) et sin(θ1 ) − sin(θ2 ) . Exercice 1.12. Partie entière Pour un réel x ∈ R , sa partie entière par défaut (resp. par excès) , notée bxc (resp. dxe), est donnée par resp. bxc ≤ x < bxc + 1 , bxc ∈ Z dxe ≤ x < dxe + 1 , dxe ∈ Z . 2 p — Donner les parties entières par défaut et par excès des réels 1, 3 ; −1, 3 ; −5 et − 2 . — Exprimer b−xc en fonction d’une partie entière de x . — Tracer les graphes de ces deux fonctions. — Sur quelle propriété de R , repose la définition de la partie entière par défaut. Autrement dit : à partir de la définition de R , vérifier que pour tout réel x ≤ 0 il existe un unique n x ∈ Z tel que n x ≤ x < n x+1 . Exercice 1.13. Homographies On travaille dans le plan complexe C , c’est à dire que l’on considère l’ensemble des complexes comme un plan euclidien où 0, 1, i définissent un repère orthonormé. Un complexe z ∈ C sera directement appelé un point du plan complexe. Pour étudier les homographies il est naturel d’ajouter un point au plan complexe noté ∞ et d’écrire a × ∞ = ∞ , a + ∞ = ∞ pour a ∈ C , 1 1 =∞, ∞ = 0 . Nous considèrerons que les droites du plan complexe passent par +∞ . 0 — Rappeler pourquoi une application de C dans C donnée par z 7→ z 0 = az + b avec a, b ∈ C , a 6= 0 , définit une similitude directe du plan complexe (regarder d’abord le cas a = 1 puis le cas b = 0) . En déduire l’image d’une droite ou d’un cercle par z 7→ z 0 = az + b . — Expliquer pourquoi l’équation d’un cercle de centre z 0 et de rayon R > 0 est |z − z 0 | = R. — Montrer que l’image du cercle {z ∈ C, |z − z 0 | = R} avec R > 0 et z 0 ∈ C par l’application de C ∪ {∞} dans C ∪ {∞} donnée par z 7→ z 0 = 1z est — soit un cercle, que l’on précisera, si |z 0 | 6= R ; — soit une droite, que l’on précisera si |z 0 | = R . — Nous dirons que les droites du plan complexe sont les cercles de C ∪ {∞} qui passent par {∞} . Montrer que par trois points de C ∪ {+∞} passe un seul cercle de C ∪ {∞} . — Etant donnés a, b, c, d ∈ C avec c 6= 0 ou d 6= 0 . On considère maintenant l’application si c z + d 6= 0 , f (z) = ∞ si c z + d = 0 f de C ∪ {∞} dans C ∪ {∞} donnée par f (z) = az+b cz+d et f (∞) = ac , ( f est appelée homographie). Montrer que l’image d’un cercle de C ∪ {∞} est un cercle de C ∪ {∞} . — Vérifier que l’ensemble des homographies, muni de la composition, est un groupe qui contient les similitudes directes. ª © 1 — Déterminer z ∈ C , Re ( z+1 ) = 1 . On le fera par deux méthodes : 1) par le calcul ; 2) géométriquement à partir des questions précédentes. Exercice 1.14. Soit r ∈ R montrer que l’ensemble des fonctions de la forme x 7→ axe r x + be r x avec a, b ∈ R est un espace vectoriel réel de dimension 2. Exercice 1.15. Soient r 1 , . .. , r k ∈ C des nombrescomplexes distincts. En utilisant le détermi1 1 ... 1 r r2 . . . rk 1 2 2 2 r . . . r r Q nant de Vandermonde det 1 2 k = i 6= j (r i − r j ) , montrer que l’ensemble des .. .. .. .. . . . . fonctions e j (x) = e r j x r 1k−1 . . . . . . r kk−1 est une famille libre de CR . 3