Devoir en temps libre no.1

2ème année
Cycle Préparatoire Polytechnique
Devoir de Mathématiques n˚1
Cours : Espaces Vectoriels Normés
à remettre le mercredi 14 février 2007
Consignes : veillez à apporter un soin particulier à la présentation de votre
copie. Soignez également la rédaction des réponses, n’oubliez pas de quantifier.
Tout résultat, même juste, ne se verra attribuer aucun point s’il n’est pas justifié.
Bon courage !
EXERCICE I
On définit l’application N par :
R2 −→ R |x + ty|
(x, y) 7−→ sup
.
1 + t2
t∈R
N:
1. Vérifier que N est définie sur R2 tout entier et que N est une norme.
2. On veut démontrer que N est une norme, équivalente à la norme euclidienne k.k2 .
p
√
(a) Vérifier que : ∀(x, y, t) ∈ R3 , |x + ty| ≤ 1 + t2 x2 + y 2 et en déduire que ∀(x, y) ∈
R2 , N (x, y) ≤ k(x, y)k2 .
p
(b) Prouver que si (x1 , x2 , y1 , y2 ) ∈ R4 , alors |N (x1 , y1 )−N (x2 , y2 )| ≤ (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
et en déduire que N est continue sur R2 muni de la norme k.k2 .
(c) Première méthode : en raisonnant par l’absurde,
démontrer qu’il existe une constante
p
c > 0 telle que : ∀(x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≥ c x2 + y 2 .
(d) Deuxième méthode : en utilisant des inégalités, trouver une valeur acceptable de la
constante c. On pourra montrer en particulier que pour (x, y) ∈ R2 , max(|x + y|, |x −
y|) = |x| + |y|.
(e) Quelle est la constante optimale dans l’inégalité précédente, c’est-à-dire la plus grande
constante c vérifiant cette inégalité ?
3. On cherche dans cette question à déterminer la boule unité fermée pour cette norme.
(a) Soit (x, y) ∈ R2 . Montrer que N (x, y) = N (x, −y) = N (−x, y) = N (−x, −y).
On peut
donc se restreindre dans notre étude à x > 0 et y > 0 et ainsi, N (x, y) =
x + ty
sup
.
1 + t2
t∈R+
(b) Justifier l’égalité suivante :
2
∀(x, y) ∈ R , N (x, y) = sup
θ∈[0,π]
1 + cos θ
2
x+
sin θ
2
(c) Prouver que pour x et y réels donnés, sup (x cos θ + y sin θ) =
y .
p
x2 + y 2 . En déduire
θ∈[0, π2 ]
une expression explicite de N (x, y). (sans le sup)
(d) Déterminer alors la boule unité fermée pour N , puis la représenter.
1
EXERCICE II
Soit A, un sous ensemble de R non vide et majoré. Démontrer l’équivalence :
(
m est un majorant de A.
m = sup A ⇐⇒
∃(an )n∈N ∈ AN : an −−−−−→ m.
n→+∞
On construira la suite (an )n∈N en revenant à la définition de la borne supérieure.
EXERCICE III
Soit (E, d), un espace métrique, c’est-à-dire un espace vectoriel muni d’une distance d. On appelle
δ l’application définie par :
δ:
E 2 −→ R
(x, y) 7−→ δ(x, y) =
d(x, y)
.
1 + d(x, y)
1. Quels que soient les nombres réels positifs a, b et c vérifiant c ≤ a + b, montrer que l’on a :
b
c
a
+
≥
.
1+a 1+b
1+c
2. Montrer que δ est une distance.
3. Montrer que les distances d et δ définissent la même topologie, autrement dit que si O est
un ouvert dans (E, d), alors O est aussi un ouvert dans (E, δ) et réciproquement.
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