5 Nombres en écriture fractionnaire Sens de l’écriture fractionnaire. Multiples et diviseurs, divisibilité. Division par un décimal [N1] 2 semaines Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre. • Nombres décimaux. • Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d’opposé. • Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales. Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels. Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée. • Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire. • Égalité de fractions. Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. • Multiples et diviseurs. Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. Nombres en écriture fractionnaire : Écriture fractionnaire. Opposé En 5ème, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l'égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel. Sens de l’écriture fractionnaire (donner l’expression d’une proportion, d’une fréquence). Ordre. Multiples et diviseurs, divisibilité. Comparaison de deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire. Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre. Division par un décimal. Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion, d'une fréquence. Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d'un autre nombre entier positif. Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type Ramener une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier. Fractions – Définition et comparaison S1 + S2 Activité : Correction de la petite fiche Rappel : Fractions = partage en primaire (activité 1) nombre manquant en 6ème (activité 2) proportion en 5ème Exemple : Nombre de filles dans la classe, nombre d’élèves qui portent des lunettes, ou une montre ou blonds,… (trouver un exemple avec un dénominateur de population 1 totale et un dénominateur 2 ( par exemple)). 2 I. Rappels et compléments 1. Définitions Soient a et b deux nombres avec b 0. Le nombre a est le quotient de a par b : b a = ab b C’est un nombre qui rend possible toutes les divisions, C’est le résultat de la division de a par b, © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques C’est une proportion d’une population par rapport à une autre. Exemple : 12 des élèves de 5A portent des lunettes, 23 1 des élèves de 5A portent une montre (à expliquer). 2 a est le numérateur et b est le dénominateur, a est appelé écriture fractionnaire, b a Si a et b sont des entiers, est appelé fraction. b S3 3,5 1 2,8 5 12 ; ; sont des écritures fractionnaires, ; sont des fractions. 4 5,5 3,5 7 5 a 0 a Remarques : = a, = 0, = 1. 1 b a Exemple : 2 Application : Si des 27 élèves de 5A sont des filles, combien y a-t-il de filles ? 3 Exercice : 33 à 41 p 53 Activité : Fiche 2. Différentes écritures d’un même nombre Pour tous nombres a, b et c (b et c non nuls) ac a = bc b C'est-à-dire : On ne change pas la valeur d’une écriture fractionnaire si l’on multiplie (ou divise) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre. S4 1 1×3 5 Exemples : = = 5 5×3 15 Application : Simplifier Exercice : 46 – 47 – 50 – 51 p 54 14 : 21 14 72 2 = = 21 73 3 Correction des exercices Fiche à coller dans la leçon + lecture des critères de divisibilité. © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques Applications : Simplifier Simplifier S5 75 : 45 75 515 15 53 5 = = = = 45 59 9 33 3 784 : 256 784 4196 196 449 49 = = = = 256 464 64 416 16 Exercices : 42 – 43 – 44 p 53 – 15 – 17 – 19 p 51 Calcul Mental Activité : Un gigot de 2,8 kg coûte 39,76 €. Quelle opération doit on faire pour connaitre le prix du kg ? Comment réaliser cette division ? 39,76 ÷ 2,8 = II. 39,76 39,76×10 397,6 = = = 397,6 ÷ 28 2,8 2,8×10 28 Division par un nombre décimal Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on multiplie le diviseur et le dividende par 10, 100, 1000… jusqu’à ce que le diviseur soit entier. Exemple : 0,68 ÷ 3,2 = ? 0,68 3,2 = 0,6810 0,68 6,8 = = = 6,8 ÷ 32 3,2 3,210 32 décimal S6 entier 6, 8 0 - 0 6 8 - 6 4 4 0 - 3 2 8 - 6 1 - 1 0 0 3 2 0, 2 1 2 5 0 4 6 0 6 0 0 Exercices : 24 – 25 – 26 – 30 p 52 – 57 – 58 – 61 p 55 – Fiche Fiche d’activité (à l’oral et ensemble) III. Comparaison de nombres en écriture fractionnaire 1. Cas où les dénominateurs sont les mêmes Dans ce cas, on compare les numérateurs et on range les écritures fractionnaires dans le même ordre © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques 7,5 7,49 et 9 9 7,5 7,49 7,5 > 7,49 donc > 9 9 2. Cas où les dénominateurs sont différents Exemple : Comparer Dans ce cas, on commence par réduire au même dénominateur (cf I.2.) puis on se sert de la méthode précédente. Exemple : Comparer 7 3,4 et 12 6 On commence par mettre au même dénominateur : On conclut : 6,8 < 7 donc S7 Exercices : Fiche Remarques : 3,4 3,42 6,8 = = 6 12 62 6,8 7 3,4 7 < donc < 12 12 6 12 Comparaison à 1 : Une écriture fractionnaire est plus grande que 1 si le numérateur est plus grand que le dénominateur Exemples : 45 3 45 3 > 1 et < 1 donc > 27 5 27 5 1 1 Cas où les numérateurs sont les mêmes (exemple et avec les parts) 2 3 On compare les dénominateurs puis on inverse l’ordre : 3 3 3 3 ; ; ; 5 7 9 12 3 3 3 3 5 < 7 < 9 < 12 donc > > > 5 7 9 12 Exemple : Comparer Exercices : Fiche © Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques