IV Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques

IV Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques
4.1 Suites arithmétiques
Définition On dit qu’une suite (𝑢𝑛 ) est arithmétique si, à partir de son 1er terme, chaque terme est obtenu
en ajoutant au précédent un même nombre.
Alors, il existe un réel 𝑟 tel que, pour tout entier 𝑛,
Schéma :
Le nombre 𝑟 est appelé raison de la suite arithmétique (𝑢𝑛 ) : il est égal à la différence entre deux termes
consécutifs quelconques : pour tout entier 𝑛,
Remarque Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de démontrer que pour tout entier
𝑛 la différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 est constante (donc indépendante de 𝑛). Cette constante sera alors la
raison de la suite.
Conséquence immédiate Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive, décroissante
si sa raison est négative et constante si sa raison est nulle.
Exemples 1) La suite formée des entiers naturels pairs (rangés dans l’ordre croissant)
2) 𝑢𝑛 = 3𝑛 − 2
3) 𝑣𝑛 = 𝑛2
1
Propriété Formule explicite
Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de premier terme 𝑢0 et de raison 𝑟.
Alors, pour tout entier 𝑛,
Plus généralement, on a : pour tous entiers 𝑝 et 𝑛 tels que 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛,
Démonstration admise
Remarque L’écriture 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 permet de déterminer la limite d’une suite arithmétique :
1
Exemple 1) Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de raison 2 telle que 𝑢0 = −3.
2) Soit (𝑣𝑛 ) une suite arithmétique de raison 𝑟 = 3 telle que 𝑣4 = 25. Calculer 𝑣0 et 𝑣7 .
4.2 Sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Propriété Somme des n 1ers entiers
Soit 𝑛 un entier naturel non nul, on a :
Démonstration (à connaître parfaitement !)
Exemple
2
Un peu d’histoire des maths :
Propriété Cas général
Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de premier terme 𝑢0 et de raison 𝑟.
Alors, pour tout entier 𝑛 :
Démonstration : en exercice
Notation On écrit avec un nouveau symbole la somme de propriété qui est la lettre grecque sigma
majuscule (Σ). On note :
𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 =
Remarque La somme suivante ∑𝑛𝑘=𝑝 𝑢𝑛 contient 𝑛 − 𝑝 + 1 termes.
Exemple
4.3 Suites géométriques
Définition On dit qu’une suite (𝑢𝑛 ) est géométrique si, à partir de son 1er terme, chaque terme est obtenu
en multipliant le précédent un même nombre.
Alors, il existe un réel 𝑞 tel que, pour tout entier 𝑛,
Schéma :
Le nombre 𝑞 est appelé raison de la suite géométrique (𝑢𝑛 ) : il est égal au quotient entre deux termes
consécutifs différents de 0 : pour tout entier 𝑛,
3
Remarques
1. Si 𝑞 = 0, tous les termes de la suite, hormis peut-être 𝑢0 sont nuls.
Si 𝑢0 = 0, tous les termes de la suite sont nuls.
En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents
de zéro.
2. Si 𝑞 = 1, la suite est constante égale à son 1er terme.
3. Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il suffit de démontrer que pour tout entier 𝑛
𝑢
le quotient 𝑢𝑛+1 est constant (donc indépendant de 𝑛). Cette constante sera alors la raison
𝑛
de la suite.
Exemples 1) 𝑢𝑛 = 𝑛2
2
2) 𝑣𝑛 = − 5𝑛
Propriété Formule explicite
Soit (𝑢𝑛 ) une suite géométrique de premier terme 𝑢0 et de raison 𝑞.
Alors, pour tout entier 𝑛,
Plus généralement, on a : pour tous entiers 𝑝 et 𝑛 tels que 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛,
Démonstration admise
Exemples 1) Soit 𝑢𝑛 la suite géométrique de premier terme 𝑢1 = 2 et de raison 𝑞 = −2.
2) Déterminer les suites géométriques (𝑣𝑛 ) telles que 𝑣1 = 4 et 𝑣3 = 9.
4
Propriété Sens de variation
1. Soit (𝑢𝑛 ) une suite géométrique de premier terme 𝒖𝟎 > 𝟎 et de raison 𝑞.
(i) Si 𝑞 > 1,
(ii) Si 0 < 𝑞 < 1,
(iii) Si 𝑞 = 1,
2. Si 𝒖𝟎 < 𝟎, les résultats précédents s’inversent.
Démonstration en exercice
Exemples
4.4 Sommes de termes consécutifs d’une suite géométriques
Propriété Somme des puissances successifs d’un nombre q
Soit 𝑛 un entier naturel et 𝑞 un nombre réel tel que 𝒒 ≠ 𝟏, on a :
Démonstration (à connaître parfaitement !)
Exemple
5
Propriété Cas général
Soit (𝑢𝑛 ) une suite géométrique de premier terme 𝑢0 et de raison 𝒒 ≠ 𝟏.
Soit 𝑛 un entier naturel, alors :
Démonstration
1
Exemple Soit (𝑢𝑛 ) la suite géométrique de premier terme 𝑢0 = 64 et de raison 𝑞 = 2.
Calculer la somme :
20
𝑆 = ∑ 𝑢𝑘
𝑘=5
6