1) Suite numérique 2) Suites arithmétiques

1ère ST2S
SUITES
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1) Suite numérique
Une suite numérique est une liste de nombres réels appelés termes, ceux-ci étant donnés dans
un ordre précis donné par un entier naturel appelé rang. Le rang débute en général à 0 ou à 1.
Exemples :
La température d’un patient est mesurée et les résultats dans l’ordre sont : 37,2 ° ;
37,3° ; 37,5° ; 37,5° ; 37,4 °. On peut alors définir une suite des températures que l’on note u
dont les termes sont notés : u0 = 37,2 ° ; u1 = 37,3° ; u2 = 37,5° ; u3 = 37,5° ; u4 = 37,4 °.
Attention, dans ce cas, le terme de rang 3 est le quatrième terme puisque la numérotation
débute à 0. (u0 est le terme initial)
La présence d’un médicament a été mesurée heure par heure ; les résultats sont
exprimés en pourcentage : 0,5 % ; 0,49 % ; 0,48 % ; 0,475 % ; 0,4 % ; 0,02 %. On peut alors
définir une suite des pourcentages que l’on note v dont les termes sont notés : v1 = 0,5 % ; v2
= 0,49 % ; v3 = 0,48 % ; v4 = 0,475 % ; v5 = 0,4 % ; v6 = 0,02 %. Dans ce cas, le terme de
rang 3 est le troisième terme : la numérotation commence à 1. (u1 est le terme initial)
2) Suites arithmétiques
Soit a, u0 et u1 des nombres réels.
Une suite u de premier terme u0 est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel
n, on a : un+1 = un + a.
Une suite u de premier terme u1 est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel
n ≠ 0, on a : un+1 = un + a.
Autrement dit : le terme suivant est obtenu en additionnant a au précédent.
u0
+a
u1
+a
u2
+a
u3
+a
u4
Exemple :
Anthony a 200 € sur son compte courant, chaque mois, ses parents lui virent 20 €. Les
montants successifs constituent alors une suite arithmétique : u0 = 200 ; u1 = u0 + 20 =
200 + 20 = 220 ; u2 = u1 + 20 = 240 ; u3 = 260 ; u4 = 280 etc… . La suite arithmétique u
a pour raison 20 et pour premier terme u0 = 200. (cas des intérêts simples)
On peut exprimer directement le terme d’une suite arithmétique en fonction de son premier
terme, de sa raison, et de n (ce qui permet de calculer le « n-ième » terme sans calculer tous
les précédents) :
Lorsque le premier terme est u0 alors : un = u0 + n a.
Lorsque le premier terme est u1 alors : un = u1 + (n – 1) a.
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3) Représentation graphique
Pour représenter une suite définie par le terme un, on place les points de coordonnées (n ; un).
Si une suite est arithmétique alors les points la représentant sont situés sur une même droite
de coefficient directeur la raison a et d’ordonnée à l’origine le premier terme de cette
suite.
Réciproquement, lorsque tous les points représentant une suite sont situés sur une même
droite alors cette suite est arithmétique.
Lorsque a est positif alors la droite « monte » et on a une croissance linéaire.
Lorsque a est négatif alors la droite « descend » et on a une décroissance linéaire.
Lorsque a = 0 alors la droite est horizontale : la suite est constante.
Exemple : La suite arithmétique u qui a pour raison 2 et premier terme u0 = – 1.
y
6
Equation de la
droite :
5
u3
y = 2x – 1
4
3
u2
2
u1
-4
-3
-2
1
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
u0
-2
2
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4) Suites géométriques
Soit q, u0 et u1 des nombres réels.
Une suite u de premier terme u0 est géométrique de raison q lorsque pour tout entier naturel
n, on a : un+1 = q un.
Une suite u de premier terme u1 est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel
n ≠ 0, on a : un+1 = q un.
Autrement dit : le terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par q.
u0
×q
u1
×q
u2
×q
u3
×q
u4
Exemple :
Anthony a 200 € sur son livret d’épargne, chaque année, ses parents lui virent 10 % de
la somme présente sur le livret. Les montants successifs constituent alors une suite
géométrique de raison q qui est le coefficient multiplicatif (voir chapitre sur les
pourcentages) : q = 1 + t = 1 + 10/100 = 1,1 : u0 = 200 ; u1 = u0 × 1,1 = 200 × 1,1 =
220 ; u2 = u1 × 1,1 = 220 × 1,1 = 242 ; u3 = 242 × 1,1 = 266,2 ; u4 = 292,82 etc… . La
suite géométrique u a pour raison 1,1 et pour premier terme u0 = 200 (cas des intérêts
composés)
On peut exprimer directement le terme d’une suite géométrique en fonction de son premier
terme, de sa raison q, et de n (ce qui permet de calculer le « n-ième » terme sans calculer tous
les précédents) :
Lorsque le premier terme est u0 alors : un = u0 × q n .
Lorsque le premier terme est u1 alors : un = u1 × q n–1.
5) Représentation graphique
Soit une suite u géométrique de raison q et de premier terme u0 tous deux positifs.
Si 0 < q < 1 alors les points la représentant sont situés sur une courbe dite
« exponentielle décroissante».
Si q = 1 alors les points la représentant sont situés sur une droite horizontale.
Si q > 1 alors les points la représentant sont situés sur une courbe dite
« exponentielle croissante».
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Exemple : La suite géométrique u qui a pour raison 2 et premier terme u0 = 1.
y
u3
8
7
6
5
u2
4
3
u1
2
1
u0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
4