Chapitre . . . LES SUITES : SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES I. Suites arithmétiques : 1. Par récurrence : Définition : formule par récurrence Une suite (un ) est arithmétique si chaque terme se déduit du précédent en ajoutant un nombre constant r, appelé raison de un . Ainsi, pour tout entier naturel n, u n1=un r . Exemples La suite u n des nombres 0, 2, 4, 6, 8, 10, …., est définie par u n1=. . . . . . . Son premier terme est . . . et sa raison est . . . La suite u n 18, 25, 32, 39, 46, …. , est définie par u n1=. . . . . . . Son premier terme est . . . et sa raison est . . . Remarques - Une suite arithmétique est définie par récurrence par la donnée de son premier terme u 0 et de sa raison r. - La différence entre deux termes consécutifs d'une suite arithmétique est donc constante : u n 1−u n =r . Cette égalité est utile pour l'application suivante. Application : Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques. 1. La suite (u n ) définie par u n =5n+7 2. La suite (v n ) définie par v n=n 2+n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Terme général : Propriété Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Alors le terme général de cette suite est u n =u 0nr . Exemple La suite u n définie par u n =5n7 vue plus haut a donc pour premier terme 7 et pour raison 5. Remarques _ Cette propriété équivaut à une définition par formule explicite d'une suite arithmétique. Si l'on fait le parallèle avec les fonctions, ce serait une fonction . . . . . . . . . . _ Si le premier terme est u 1 , alors u n =. . . . . . . . . . . Application : Calculer directement un terme. 1. Soit u n une suite arithmétique de premier terme -8 et de raison 3. Calculer u 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Soit u n une suite arithmétique telle que u 0 =23 et u 26 =75 . Déterminer u 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Remarque Pour tous nombres m et p, u m =u p. . . . . . . . Application Soit u n une suite arithmétique telle que u 8=79 et u 25=147 . Déterminer le terme général u n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variation et comportement à l'infini : Propriété Soit u n une suite arithmétique de raison r. _ Si r > 0, alors la suite u est . . . . . . . . . . . . . . . et sa limite est . . . . . _ Si r < 0, alors la suite u est . . . . . . . . . . . . . . . et sa limite est . . . . . 4. Somme des entiers de 1 à n : Théorème Pour tout entier naturel n, on a : 1 + 2 + 3 + … + n = On note . . . . .= Démonstration n×n1 2 n×n1 2 S= 1 + 2 + 3 + …. + (n – 1) + n S = n + (n – 1) + (n – 2) + …. + 2 +1 donc 2S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ainsi S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . + 27 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété Soit m et p deux entiers naturels tels que p > m et u une suite arithmétique. (u +u )×( p−m+1) Alors u m +um+1+u m+2+…+u p = m p 2 ( premier terme+dernier terme)×(nombre de termes) Formulée autrement u m +um+1+u m+2+…+u p = 2 Démonstration Application : Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique. Calculer –24 – 9 + 6 + 21 + 36 + … + 201. II. Suites géométriques : 1. Par récurrence : Définition : formule par récurrence Une suite un est géométrique si chaque terme se déduit du précédent en multipliant par un nombre constant q, appelé raison de la suite un . Ainsi, pour tout entier naturel n, u n1=q×u n . Exemples La suite u n des nombres 2, 6, 18, 54, 162, 486, …., est définie par u n1= . . . . . . . Son premier terme est . . . et sa raison est . . . La suite u n 1, -2, 4, -8, 16, …. , est définie par u n1=. . . . . . . Son premier terme est . . . et sa raison est . . . Remarques _ Une suite géométrique est définie par récurrence par la donnée de son premier terme u 0 et de sa raison q. u n 1 = q . Cette _ Le quotient entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique est donc constant : un égalité permet de retrouver la raison d'une suite géométrique. 2. Terme général : Propriété Soit u n une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Alors le terme général de cette suite est u n =. . . . . . . . . Démonstration Application : Déterminer si les suites suivantes sont géométriques. 2 2. La suite v n définie par v n=3 n3n u = u 1. La suite définie par n n n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Remarques _ Cette propriété équivaut à une définition par formule explicite d'une suite géométrique. _ Si le premier terme est u 1 , alors u n =. . . . . . . . . . . _ Pour tous nombres m et p, u m =. . . . . . . .×u p Application : Calculer directement un terme. 1. Soit u n une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 5. Retrouvez le terme général de la suite puis calculez u 5 et u 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Soit u n une suite géométrique telle que u 2=108 et u 5=2916 . Retrouvez le terme général de la suite puis calculez u 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variation et comportement à l'infini Théorème Soit u n une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 : Alors les variations de u sont indiquées par le tableau suivant : q<0 0<q<1 q>1 u 0 >0 u 0 <0 Démonstration Théorème : admis Soit q un nombre réel. _ Si q < -1 alors qn n'a pas de limite n _ Si -1 < q < 1 alors lim q =0 n →+∞ n _ Si q > 1 alors lim q =+∞ n →+∞ Corollaire Soit u n une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 . Alors le comportement en l'infini de u est indiqué par le tableau suivant : q < -1 -1 < q < 1 u 0 >0 u 0 <0 Exemples q>1 4. Somme des puissances successives Théorème Pour tout entier naturel n, on a : 1qq 2q 3...q n = On note . . . . . = Démonstration : 1−q n1 1−q S= 1 + qS = q + q² + q³ 1−q n1 1−q + …. + q n −1 qn donc S – qS = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ainsi S (1 – q) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc S = Exemple : 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 Application : Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique. Calculer 400+0,8×400+0,82×400+…+0,830 ×400 Résolution 2 Méthodes (par étapes) 30 = On reconnaît le premier terme et la raison de la suite. Ici, u 0 = et q = On factorise par la u 0 . = On applique la formule. 400+0,8×400+0,8 ×400+…+0,8 ×400 =