Suites numériques I. II. Généralités 1) Définition Une suite numérique est une application définie de É ou une partie de É dans Ë. u:É Ë n u(n) L’image de n par u, u(n), est aussi noté un. un est le terme général de la suite, n est l’indice du terme un. La suite est noté ( un)n É. un et un+1 sont deux termes consécutifs de la suite. 2) Exemple Soit la suite définie par un = 2n – 10. Les termes de la suite un sont tels que u0 = -10 ; u1 = -8 ; u2 = -6 ; … ; u10 = 10 ; … ; u20 = 30 … u10 est le terme d’indice 10, mais c’est le 11e terme de la suite car le premier terme est uo. 3) Suite définie par : un = f(n) Le terme général un est défini en fonction de n. La suite est définie sous une forme fonctionnelle. Exemple : u:É Ë n² n un = - 5n + 2 2 Dans ce cas, on peut calculer directement tout terme un. 4) Suite définie par récurrence : un+1 = f(un) Une suite est définie sous forme récurrente ( ou par récurrence) quand elle est définie par la donnée du premier terme et une relation liant un terme précédent ; un+1 est donné en fonction de un. Exemple : u0 3 un 1 2un 5 Dans ce cas, pour calculer un terme, il faut calculer tous les termes précédents. u1 = 2u0 – 5 = - 11 ; u2 = 2u1 – 5 = - 27 ; … 5) Suite définie par la liste de ses termes Une suite peut être déterminée par la liste de ses termes ; c'est-à-dire par la donnée de u0 ; u1 ; u2 ; … Sens de variation d’une suite 1) Croissance Dire qu’une suite u est croissante ( respectivement décroissante ) signifie que pour tout n É, un+1 ≥ un ( respectivement un+1 ≤ un ) Exemples: un = n² est croissante 1 un = est décroisante n 2) Méthode Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut : (1) Etudier le signe un+1 – un. (2) Si un = f(n), on étudie le sens de variation de la fonction f. (3) Si un est une suite dont tous les termes sont positifs, on compare III. un 1 à 1. un Suites arithmétiques 1) Définition Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait : un+1 = un + r. r est appelé la raison de la suite arithmétique. Exemples : Soit (un) la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison –2. Ses premiers termes sont tels que : u 0 = 7 ; u1 = 7 – 2 = 5 ; u 2 = 5 – 2 = 3 ; … La suite des nombres entiers naturels ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …) est une suite arithmétique, son premier terme est 0, sa raison est 1. La suite des nombres entiers impairs ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … ) est une suite arithmétique de premier terme 1, et de raison 2. Remarque : Une suite arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 ( éventuellement u1) et de sa raison r. 2) Calcul de un en fonction de n Propriété : Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + nr. Remarque : Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + ( n - 1 ) r. Exemple : Si ( un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 7 et de raison –2, on a : un = 7 – 2n On retrouve ainsi : u4 = 7 – 4 2 = 7 – 8 = -1. On a rapidement : u50 = 7 – 100 = - 93. Si (vn) désigne la suite des nombres impairs ( v0 = 1 ; v1 = 3 ; v2 = 5 ; … ). Son premier terme étant 1 et sa raison 2, on a : vn = 1 + 2n pour le (n+1)ième nombre impair. 3) Somme des (n+1) premiers termes Pour tout entier naturel n : n(n+1) Sn = 0 + 1 + 2 + 3 + … + n = 2 IV. 2) Calcul de un en fonction de n Propriété : Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est : un = u0 qn Remarque : Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors : (n+1)(u0+un) Sn = u0 + u1 + … + un = 2 nombre de termes (premi er terme derni er terme ) Sn = 2 Exemple : Exemple : un = 3 – 2n (un) est une suite arithmétique de raison –2 et de premier terme u0 = 3. u15 = 3 - 2 15 = - 27 16 (3 27 ) S15 = u0 + u1 + … + u15 = = -192 2 On retrouve ainsi : u3 = 12 Suites géométriques 1) Définition Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait : Un+1 = qun. q est appelé la raison de la suite géométrique. Remarque : Une suite géométrique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 ( éventuellement u1) et de sa raison q. Exemples : 1 Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison . Ses 2 1 1 1 3 12 = 6 ; u2 = 6 =3 ; u3 = 3= ;… premiers termes sont u0 = 12 ; u1 = 2 2 2 2 1 La suite géométrique (vn) de premier terme v0 tel que v0 = 12 et de raison – est 2 3 telle que : v0 = 12 ; v1 = -6 ; v3 = 3 ; v4 = - ; … 2 La suite des puissances entières de 2 : ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; … ; 2n ; … ) est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. qn 1 . Si ( un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison un = 12 1 2 1 , on a : 2 n 1 2 3 = 12 1 3 = 8 2 3) Somme des (n+1) premiers termes Somme des puissances entières de q Pour tout entier naturel n : Sn = 1 + q + q² + q3 + … + qn = Dem : Sn Sn q 1 qn 1 1 q = 1 + q + q² + q3 + … + qn = q ( 1 + q + q² + q3 + … + qn ) = q + q² + q3 + q4 + … + qn+1 on en déduit que : Sn - Sn q = 1 – qn+1 ( 1 – q ) Sn = 1 – qn+1 Si q 1, Sn = 1 1 qn 1 q Somme des (n+1) premiers termes Si (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors : Sn = u0 + u1 + … + un = Sn = 1 qn 1 1 q 1 qnombre de termes 1 q u0 (premi er terme ) Dem : Mettre en facteur le premier terme u0.