M.Bousquet - Lycée Camille Vernet PCSI - 2016-2017 TD 9 : Nombres complexes (suite et fin) Exercice 1 : Soit u et v deux éléments de U tels que uv 6= −1. Montrer que Z = u+v est un réel. 1 + uv Exercice 2 : Calculer (1 + i)n + (1 − i)n pour n ∈ N. 1+z ∈ iR ⇐⇒ |z| = 1. 1−z √ √ √ Exercice 4 : On note z1 = 2 6(1 + i), z2 = 2(1 + i 3) : Exercice 3 : Montrer que : ∀z ∈ C\{1}, 1. Mettre sous forme trigonométrique z1 et z2 . z1 2. Ecrire z = sous forme algébrique. z2 3. Ecrire z sous forme exponentielle. π π 4. En déduire les valeurs de cos( 12 ) et sin( 12 ). π 5. En déduire cos( 24 ). 2 4 3 5 6 Exercice 5 : Soit ω = exp( 2iπ 7 ). On pose u = ω + ω + ω et v = ω + ω + ω . 1. Montrer que u et v sont conjugués. Calculer u + v. En déduire la partie réelle de u. 2. Calculer uv 3. En déduire sin( 2π 4π 8π )+ sin( )+ sin( ). 7 7 7 Exercice 6 : 1. Déterminer le module et l’argument de 1 + eiθ 2. Plus généralement déterminer le module et l’argument de eiθ + eiα . Exercice 7 : Résoudre dans C. Placer les solutions dans le plan complexe. 1. z 8 − z = 0 2. z 5 + z = 0 3. e2z = 1 + i 4. ez − e−z + 1 = 0 Exercice 8 : Résoudre dans C l’équation (z + 1)n = (z − 1)n pour n ≥ 1 Exercice 9 : On cherche trouver les complexes z tels que A(1), B(z) C(z 2 ) soient les sommets d’un triangle rectangle. 1. Déterminer les points z pour lesquels 1, z, z 2 soient deux à deux distincts. Pour toute la suite, on suppose que z 6= 0 et z 6= ±1. 2. Déterminer les z pour lesquels ABC soient un triangle rectangle en A. 3. Déterminer les z pour lesquels ABC soient un triangle rectangle en B. 4. Montrer que les z pour lesquels ABC soient un triangle rectangle en C forme un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Exercice 10 : 1. (a) Linéariser cos3 (x). (b) En déduire les primitives de cos3 (x). 2. Mêmes questions avec sin4 (x). Exercice 11 : Soit θ ∈ R et n ∈ N. Calculer les sommes : n X 1. sin(2kx). k=0 1 M.Bousquet - Lycée Camille Vernet n X 2. cosk (θ)(−1)k sin(kθ) 3. 4. k=0 n X k=1 n X PCSI - 2016-2017 n cos(kθ) k cos2 (kx). k=0 5. X |z − 1| z∈Un Exercice 12 : Soit x un réel qui ne soit pas un multiple de 2π n X 1 ∗ . 1. Montrer que, pour tout n ∈ N : cos(kx) ≤ | sin( x2 )| k=0 n X ∗ 2. Montrer que pour toutn ∈ N : cos(2k) ≤ 2. k=0 n n X X Exercice 13 : Pour tous complexes z1 , .., zn dans C avec n ≥ 2, montrer que zk ≤ |zk | avec égalité si et k=1 k=1 seulement si tous les zk sont sur la même demi-droite d’origine O. Exerice 14 : Identitité du parallélogramme Montrer que pour tout z, z 0 ∈ C, on a : |z − z 0 |2 + |z + z 0 |2 = 2(|z|2 + |z 0 |2 ). Expliquez géométriquement cette relation. Exercice 15 : Calculer les intégrales suivantes : Z π2 1. sin(t)2 cos(t)3 dt 0 Z 2. π 2 cos(t)2 sin(t)2 dt 0 2