Chapitre 7 : Trigonométrie I. Longueur d`arc de cercle II

Chapitre 7 : Trigonométrie
I. Longueur
Par cœur :
d’arc de cercle
Le périmètre d’un cercle de rayon 𝑅 : 2 𝜋 𝑅
L’aire d’un disque de rayon 𝑅 :
𝜋 𝑅2
Savoir-faire : calculer la longueur d’un arc de cercle
Le cercle a pour rayon 1.
Chaque petit segment a la même
Chaque petit arc a la même longueur.
longueur.
Le petit arc a une longueur de 3.
Quel est la longueur du grand arc de
cercle 𝐼𝐴 ?
Calculer la longueur de chaque arc.
Le périmètre du cercle est :
2𝜋𝑅 = 2𝜋 × 1 = 2𝜋
14
L’arc représente les de la
20
circonférence
Donc longueur de l’arc est :
14
7𝜋
× 2𝜋 =
unités de longueur
A angle au centre constant, les arcs
ont des longueurs proportionnelles
au rayon.
𝑒 = 2 × 3 unités de longueur
𝑓 = 3 × 3 unités de longueur
𝑔 = 4 × 3 unités de longueur
ℎ = 5 × 3 unités de longueur
20
5
Le cercle a un rayon de 1.
L’angle au centre vaut 115°
Combien mesure le petit arc 𝐼𝐴 ?
La longueur d’un demi-cercle est de 𝜋,
obtenue pour un angle au centre de 180°
A rayon constant, la longueur de l’arc de
cercle est proportionnelle à l’angle au
centre.
Donc la longueur de l’arc 𝐼𝐴 est :
115
23𝜋
×𝜋 =
unités de longueur
180
II.
36
Enroulement de la droite numérique
Par cœur :
Soit (𝑂; 𝐼; 𝐽) un repère orthonormé du plan. Le cercle trigonométrique est celui qui a pour centre 𝑂 et de rayon de
1 et orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Image d’un réel sur le cercle trigonométrique
𝐶 est le cercle trigonométrique de centre 𝑂 (et donc de rayon 1 unité
de longueur)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽) direct : quand on
se déplace de 𝐼 à 𝐽 sur le cercle selon le parcours le plus court, on
tourne dans le sens inverse des aiguilles d’un montre.
Soit 𝐾(1,1). On considère la droite graduée par (𝐼, 𝐾)
On enroule cette droite sur le cercle : chaque réel 𝑥 vient s’appliquer
sur un 𝑀 du cercle. On dit que 𝑀 est l’image du réel 𝒙.
De manière plus « naïve »
Pour trouver l’image du réel 𝑥 positif, on « part » du point 𝐼 et on
parcourt le cercle dans le sens direct jusqu’à ce que la longueur soit
égale à 𝑥 unités de longueur.
Pour trouver l’image du réel 𝑥 négatif, on « part » du point 𝐼 et on
parcourt le cercle dans le sens indirect jusqu’à ce que la longueur soit
égale à −𝑥 unités de longueur (𝑥 étant négatif, −𝑥 est lui positif).
Justifier pour comprendre (le cercle est le cercle trigonométrique. M est sur le cercle)
Exercice 1 :
1
1
2
2
𝐴( ; )
Réponse :
̂ = 45°
(𝑂𝐴) est la diagonale d’un petit carré. Donc 𝐼𝑂𝐴
Quelle est la
longueur de l’arc
𝐼𝑀 ?
Exercice 2 : 𝐾𝑀 médiatrice de [𝑂𝐼]
Quelle est la
longueur de l’arc
𝐼𝑀 ?
donc l’arc 𝐼𝑀 mesure : 45 ×
𝜋
180
=
𝜋
Réponse :
Comme 𝑀 et 𝐼 sont deux points d’un même cercle de centre 𝑂, 𝑂𝑀 = 𝑂𝐼
Comme 𝑀 est sur la médiatrice de [𝑂𝐼], 𝑀 est équidistant des extrémités de
segment donc 𝑂𝑀 = 𝐼𝑀
̂ = 60°
Donc les côtés de 𝑂𝐼𝑀 sont égaux donc le triangle est équilatéral donc 𝐼𝑂𝑀
𝜋
𝜋
Donc l’arc 𝑂𝑀 mesure : 60 ×
= unités de longueur
180
Exercice 3 : 𝐾𝑀 médiatrice de [𝑂𝐽]
Quelle est la
longueur de
l’arc 𝐼𝑀 ?
unités de longueur
4
3
Réponse :
Comme 𝑀 et 𝐽 sont deux points d’un même cercle de centre 𝑂, 𝑂𝑀 = 𝑂𝐽
Comme 𝑀 est sur la médiatrice de [𝑂𝐽], 𝑂𝑀 = 𝐽𝑀
̂ = 60°
Donc le triangle est équilatéral donc 𝐽𝑂𝑀
̂ = 90 − 60 = 30°
Donc 𝐼𝑂𝑀
𝜋
𝜋
Donc l’arc 𝐼𝑀 mesure 30 ×
= unités de longueur
180
6
A retenir
Savoir-faire :
négatif)
Réponses:
Pour chacun des points du cercle trigonométrique, écrire trois réels qui l’ont pour image (deux positifs et un
Théorème :
Les réels 𝑥 et 𝑥′ ont la même image
si et seulement si 𝑥 − 𝑥 ′ = 𝑘 × 2 𝜋 où 𝑘 ∈ ℤ
ℤ désigne l’ensemble des entiers relatifs { … ; −5 ; −4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … }
Savoir-faire :
Donner trois réels négatifs et trois autres réels positifs qui ont la même image que
𝜋
7
Réponse
−41𝜋
−27𝜋
−13𝜋
𝝅
15𝜋
29𝜋
7
7
7
𝟕
7
7
−2𝜋
−2𝜋
−2𝜋
+2𝜋
43𝜋
7
+2𝜋
+2𝜋
𝜋
Autre présentation : on calcule + 𝑘 × 2𝜋 pour 𝑘 valant successitvement −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3
7
Savoir tester si deux réels ont la même image :
1) Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui ont la même image ?
127 𝜋
7
Pour nombre, trouver le réel 𝑥 ayant la même image appartenant à ] − 𝜋 ; 𝜋]:
2)
15 𝜋
−62 𝜋
7
17 𝜋
7
−43 𝜋
232 𝜋
−53𝜋
6
3
7
3
Réponse
1) Idée : on regarde si la différence des deux nombres est de la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
127𝜋

7
15𝜋
−
7
=
112𝜋
7
= 16𝜋 = 8 × 2𝜋 donc
127𝜋
7
=
15𝜋
7
+ 8 × 2𝜋
On reconnait la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 entier 𝑘 = 8 donc
127𝜋

7
−
donc
2)
−62𝜋
7
127𝜋
7
17
6
=
et
189𝜋
7
−62𝜋
7
= 27𝜋
15𝜋
et
7
127𝜋
7
ont la même image.
On ne reconnait pas la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 entier (on aurait 𝑘 = 13,5 )
n’ont pas la même image (et donc
−62𝜋
7
et
15 𝜋
7
non plus).
17𝜋
≈ 2,83 donc 2𝜋 <
< 3𝜋
6
en enlevant 2𝜋, de la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 entier (𝑘 = 1), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
17𝜋
5𝜋
17𝜋
5𝜋
0<
− 2𝜋 < 𝜋 donc
a la même image que
et
est dans ] − 𝜋 ; 𝜋 ]
6
6
−43
6
6
−43𝜋
≈ −14,3 donc −15𝜋 <
< −14𝜋
3
en ajoutant 14𝜋, de la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 entier (𝑘 = 7), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
−43𝜋
−43𝜋
−𝜋
−𝜋
−𝜋 <
+ 14𝜋 < 0 donc
a la même image que
et
est dans ] − 𝜋 ; 𝜋 ]
3
3
232
3
3
3
232𝜋
≈ 33,1 donc 33𝜋 <
< 34𝜋
7
en enlevant 34𝜋, de la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 entier (𝑘 = 17), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
232𝜋
232 𝜋
−6𝜋
−6𝜋
−𝜋 <
− 34𝜋 < 0 donc
a la même image que
et
est dans ] − 𝜋 ; 𝜋 ]
7
7
−53
7
7
7
−43𝜋
≈ −17,6 donc −18𝜋 <
< −17𝜋
3
en ajoutant 18𝜋, de la forme 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 entier (𝑘 = 9), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
−53𝜋
−53𝜋
𝜋
𝜋
0<
+ 18𝜋 < 𝜋 donc
a la même image que
et
est dans ] − 𝜋 ; 𝜋 ]
3
3
Savoir-faire :
3
3
3
𝜋
Construire approximativement l’image de sur le cercle trigonométrique (on utilisera un rapporteur)
7
Réponse :
Pour un angle au centre de 180° l’arc intercepté a une longueur de 𝜋 unités de longueur
×
1
×
7
𝜋
1
7
Pour un angle au centre de 𝑥° l’arc intercepté a une longueur de unités de longueur
7
L’angle au centre doit être de
180
7
degrés (soit environ 25,71° )
Savoir-faire : trouver des images de réels sur le cercle trigonométrique
1) Sur le cercle trigonométrique, placer les images de
−15 𝜋
;
2
de
17 𝜋
; de
3
3𝜋
2) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de [
4
;
5𝜋
4) Sur le cercle trigonométrique, placer l’image de
−17 𝜋
; de
6
4
]
2
−3𝜋
3) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de [−𝜋 ;
−13 𝜋
4
]
−1253 𝜋
6
Réponses
Pour placer l’image de
Comme
−1253
6
−1253 𝜋
6
on va éviter de compter jusqu’à 1253 … c’est long !
≈ −208,8 ≈ 2 × 104 on a l’idée d’ajouter 104 × 2 𝜋 à
−1253 𝜋
pour obtenir un réel plus simple qui a la même image !
6
−1253 𝜋
6
+ 104 × 2 𝜋 =
5𝜋
6
Savoir-faire : trouver les réels ayant pour images des points donnés





Trouver les réels ayant pour image 𝐴
−5𝜋
Il y en a une infinité
+ 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
6
2𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ
Autre réponse …
Trouver les réels ayant pour image 𝐵
2𝜋
Il y en a une infinité
+ 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
3
2𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ
Autre réponse …
6
−4𝜋
3
+𝑘×
+𝑘×
1
Quels sont les réels dont l’image a pour abscisses ?
2
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
-
Ceux qui ont pour images 𝐴 :
-
Ceux qui ont pour image 𝐵 :
𝜋
+ 𝑘 × 2𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ
3
𝜋
− + 𝑘 × 2𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ
3
1
Quels sont les réels dont l’image a pour ordonnée − ?
2
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
-
Ceux qui ont pour images 𝐴 :
-
Ceux qui ont pour image 𝐵 :
−5𝜋
6
−𝜋
6
+ 𝑘 × 2𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ
+ 𝑘 × 2𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ
1
Quels sont les réels de [ 4𝜋 ; 6𝜋 ] dont l’image a pour ordonnée ?
Ceux qui ont pour images 𝐴 : … ;
Ceux qui ont pour image 𝐵 :
… ;
−23𝜋
6
−19𝜋
6
;
;
−11𝜋
6
−7𝜋
6
;
;
𝜋
6
5𝜋
6
;
;
2
13𝜋
6
17𝜋
6
Les seuls nombres des deux listes compris dans [ 4𝜋 ; 6𝜋 ] sont :
III.
7𝜋
;
;
25𝜋
6
29𝜋
6
25𝜋
et
6
Cosinus et sinus d’un nombre réel
𝜋
Cas particulier Soit 𝑥 un réel de [ 0 ; ]. 𝑀 est l’image de 𝑥 sur le cercle trigonométrique.
2
̂ = 𝑂𝐻 = 𝑂𝐻 = 𝑂𝐻 = 𝑥𝑀
Dans le triangle 𝑂𝐼𝑀 rectangle en 𝑂 : cos 𝑂𝐼𝑀
𝑂𝐼
1
𝑂𝐾 = 𝑦𝑀
̂ ; sin 𝑂𝐼𝑀
̂ ).
Ainsi, 𝑀 a pour coordonnées ( cos 𝑂𝐼𝑀
̂=
et sin 𝑂𝐼𝑀
𝑂𝐾
𝑂𝐼
=
𝑂𝐾
1
=
;
;
37𝜋
6
41𝜋
6
29𝜋
6
;
;
49𝜋
6
53𝜋
6
; …
; …
(𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽) est un repère orthonormé direct et 𝐶 est le cercle trigonométrique de centre 𝑂.
Soit 𝑥 un réel. On note 𝑀 son image sur le cercle.
Par définition, le cosinus de 𝒙, noté cos(𝑥), est l’abscisse de 𝑀.
le sinus de 𝒙, noté sin(𝑥), est l’ordonnée de 𝑀.
Définition :
Par cœur
𝜋
̂ et sin(𝑥) = sin 𝑂𝐼𝑀
̂
Pour 𝑥 réel de [ 0 ; ], M étant l’image de 𝑥, on a : cos(𝑥) = cos 𝑂𝐼𝑀
Remarque :
2
Propriétés
(par cœur)
1) Pour tout réel 𝑥, −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1
2) Pour tout réel 𝑥, cos 2 (x) + sin2 (x) = 1
−1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1
écriture simplifiée de ( cos(𝑥) )2 + ( sin(𝑥) )2 = 1
et
Preuve Les points du cercle trigonométrique ont tous leur abscisse compris entre −1 et 1
Les points du cercle trigonométrique ont tous leur ordonnée compris entre −1 et 1
donc −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1
donc −1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1
𝑂 est l’origine du repère donc 𝑀(0 ; 0)
Soit 𝑀 l’image de 𝑥, par définition 𝑀(cos(𝑥) ; sin(𝑥) )
Donc 𝑂𝑀2 = (𝑥𝑀 − 𝑥𝑂 )2 + (𝑦𝑀 − 𝑦𝑂 )2 = ( cos(𝑥) )2 + (sin(𝑥) )2 or 𝑂𝑀 = 1 donc ( cos(𝑥) )2 + (sin(𝑥) )2 = 1
Par cœur : Valeurs exactes remarquables
𝑥
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
2
𝜋
√2
2
𝜋
3
1
2
cos(𝑥)
1
sin(𝑥)
0
√3
2
1
2
0
−1
√2
2
√3
2
1
0
Justifier pour comprendre :
𝜋
1
6
2
Nous avons vu que l’image de est le point 𝑀 du cercle dont l’ordonnée est et l’abscisse positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle 𝑂𝑀𝐻 rectangle en 𝐻 : 𝑂𝑀2 = 𝑂𝐻2 + 𝐻𝑀2
1 2
3
2
4
donc 𝑂𝐻2 = 𝑂𝑀2 − 𝐻𝑀2 = 1 − ( ) =
Donc 𝑀 (
√3
2
1
; )
2
𝜋
√3
6
2
donc cos ( ) = 𝑥𝑀 =
3
√3
4
√4
Comme 𝑥𝑀 ≥ 0, 𝑥𝑀 = 𝑂𝐻 = √ =
𝜋
1
6
2
et sin ( ) = 𝑦𝑀 =
𝜋
1
3
2
=
√3
2
Nous avons vu que l’image de est le point 𝑀 du cercle dont l’abscisse est et l’ordonnée positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle 𝑂𝑀𝐾 rectangle en 𝐾 : 𝑂𝑀2 = 𝑂𝐾 2 + 𝐾𝑀2
1 2
3
2
4
donc 𝑂𝐾 2 = 𝑂𝑀2 − 𝐾𝑀2 = 1 − ( ) =
1
√3
2
2
Donc 𝑀 ( ;
)
𝜋
√3
3
2
donc sin ( ) = 𝑦𝑀 =
3
√3
4
√4
Comme 𝑦𝑀 ≥ 0, 𝑦𝑀 = 𝑂𝐾 = √ =
𝜋
1
3
2
et cos ( ) = 𝑥𝑀 =
=
√3
2
𝜋
Nous avons vu que l’image de est le point 𝑀 du cercle dont l’abscisse et l’ordonnée sont égales et
3
positives.
𝑂𝐻𝑀𝐾 est un carré, d’après le théorème de Pythagore, 𝑂𝐻2 + 𝐻𝑀2 = 𝑂𝑀2
1
Comme 𝑂𝑀 = 1 et 𝑂𝐻 = 𝐻𝑀, 2𝑂𝐻2 = 1 donc 𝑂𝐻2 =
2
1
√1
2
√2
donc 𝑂𝐻 = √ =
Donc 𝑀 (
√2
2
;
√2
2
)
=
1
√2
=
1×√2
√2×√2
=
√2
2
𝜋
√2
4
2
donc cos ( ) = 𝑥𝑀 =
𝜋
√2
4
2
et sin ( ) = 𝑦𝑀 =
Savoir –faire : En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, donner les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels liés au tableau
précédent
a)
cos (
−5𝜋
6
) et 𝑠𝑖𝑛 (
−5𝜋
6
)?
2𝜋
2𝜋
3
3
b) cos ( ) et 𝑠𝑖𝑛 ( ) ?
c) cos (
Réponses :
𝜋
−5𝜋
a) Soit 𝐴 l’image de et 𝐵 l’image de
6
6
On conjecture que 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport au point 𝑂
Donc ils ont des abscisses opposés et des ordonnées opposés.
𝜋
√3
6
2
D’après le cours, cos ( ) =
𝜋
1
6
2
et sin ( ) =
donc 𝐴 (
√3
2
1
; )
2
−7𝜋
3
) et 𝑠𝑖𝑛 (
−7𝜋
3
)?
Par symétrie,
b)
𝐵 (−
1
√3
;− )
2
2
𝜋
−5𝜋
6
)=
− √3
2
et
sin (
−5𝜋
6
)=
−1
2
−7𝜋
Soit 𝐴 l’image de et 𝐵 l’image de
3
3
On conjecture que 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées (𝑂𝐽)
Donc ils ont des abscisses opposés et des ordonnées égales.
𝜋
1
3
2
D’après le cours, cos ( ) =
Par symétrie, 𝐵 (
c)
donc cos (
−1
√3
;
2
2
)
𝜋
et sin ( ) =
3
√3
−1
3
2
donc cos ( ) =
𝜋
donc 𝐴 (
2
2𝜋
et
1
2
;
√3
2
2𝜋
)
sin ( ) =
√3
3
2
−7𝜋
Soit 𝐴 l’image de et 𝐵 l’image de
3
3
On conjecture que 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses (𝑂𝐼)
Donc ils ont des abscisses égales et des ordonnées opposés.
𝜋
1
3
− √3
2
D’après le cours, cos ( ) =
Par symétrie, 𝐵 (
A savoir
retrouver
très vite
1
2
;
2
)
𝜋
√3
3
2
−7𝜋
et sin ( ) =
donc cos (
3
)=
donc 𝐴 (
1
2
et
1
2
;
sin (
√3
)
2
−7𝜋
3
)=
− √3
2
Pour tout réel 𝑥
et tout 𝒌 entier,
cos(𝑥 + 𝑘 × 2𝜋) = cos(𝑥)
sin(𝑥 + 𝑘 × 2𝜋) = sin(𝑥)
Pour tout réel 𝑥,
cos(𝑥 + 𝜋) = −cos(𝑥)
sin(𝑥 + 𝜋) = −sin(𝑥)
Pour tout réel 𝑥,
cos(−𝑥) = cos(𝑥)
sin(−𝑥) = − sin(𝑥)
Savoir-faire :
Pour chacune des figures, sachant que 𝑀 est l’image de 𝑥,
1) Conjecturer des réels ayant pour image 𝐴, 𝐵, 𝐶
2) En déduire des formules sur 𝑐𝑜𝑠 (… ) et sin(… ) en fonction de cos(𝑥) et sin(𝑥)
Réponses :
Pour tout 𝑥 réel,
cos(𝑥 + 𝜋) = − cos(𝑥)
sin(𝑥 + 𝜋) = −sin(𝑥)
cos(𝑥 − 𝜋) = −cos(𝑥)
Pour tout 𝑥 réel,
cos(−𝑥) = cos(𝑥)
sin(−𝑥) = −sin(𝑥)
sin(𝑥 − 𝜋) = −sin(𝑥)
Pour tout 𝑥 réel,
𝜋
cos (𝑥 + ) = − sin(𝑥)
2
𝜋
sin (𝑥 + ) = cos(𝑥)
2
𝜋
cos (𝑥 − ) = − sin(𝑥)
2
𝜋
sin (𝑥 − ) = −cos(𝑥)
2
Pour tout 𝑥 réel,
cos(𝜋 − 𝑥) = − cos(𝑥)
sin(𝜋 − 𝑥) = sin(𝑥)
Pour tout 𝑥 réel,
𝜋
cos ( − 𝑥) = sin(𝑥)
2
𝜋
sin ( − 𝑥) = cos(𝑥)
Pour tout 𝑥 réel,
2
𝜋
𝜋
cos (−𝑥 − ) = −sin(𝑥)
cos ( − 𝑥) = sin(𝑥)
sin (−𝑥 − ) = −cos(𝑥)
sin ( − 𝑥) = cos(𝑥)
2
𝜋
2
𝜋
2
2
Calculatrice
Pour obtenir le cosinus et le sinus d’un réel, la calculatrice doit être impérativement en « radian »
cos(0,78)
Réponse :
IV.
cos(0,78) ≈ 0,71
sin(√7 )
sin(√7 ) ≈ 0,476
cos(85)
sin (
−3 𝜋
7
)
cos(85) ≈ −0,984
sin (
−3 𝜋
7
) ≈ −0,975
Une nouvelle unité d’angle
Exercice corrigé Soit 𝐶 un cercle de centre 𝑂 et de rayon 1. A et B sont deux points du cercle.
Calculer la longueur du petit arc 𝐴𝐵 pour les différentes valeurs de 𝛼
Angle en degré
19
41
90
147
180
Réponse :
La longueur d’un demi-cercle est de 𝜋 unités de longueur pour un angle au centre de 180°
La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre et le coefficient de proportionnalité est donc :
𝜋
≈ 0,01745329
180
Une meilleure idée que le degré
1
Un degré est la mesure de l’angle au centre qui intercepte
de circonférence. Pourquoi 360 …. sans doute parce qu’il a de
360
très nombreux diviseurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 60, 72, 90, 120, 180 , 360 ce qui facilitent les calculs de
fractions »
Cela présente plusieurs inconvénients. Notamment, le coefficient de proportionnalité reliant la longueur d’un arc à l’angle
au centre, environ 0,017453 … est bien compliqué !
Il serait plus judicieux de relier l’unité d’angle à l’unité de longueur pour cela, il suffit de fixer le coefficient de
proportionnalité entre la longueur d’un arc d’un cercle de rayon 1 unité de longueur et l’angle au centre égal à 1 !!!!
A la révolution française, il avait déjà été fait la même chose pour la définition de la masse. Elle avait été reliée à la
définition du 𝑚è𝑡𝑟𝑒 : 1 𝑘𝑔 était, par définition, la masse de 1 𝑐𝑚3 d’eau pure à 4°.
Ainsi, 1 𝐿 d’eau a une masse de 2 𝐿 d’eau a une masse de 2 𝑘𝑔, …
Définition
Un radian est la mesure d’un angle au centre dans un cercle de rayon 1 qui intercepte un arc
de longueur 1
Compléter : c’est plus simple ! (mais on a moins l’habitude)
Réponses :
Conversion :
Les mesures en degrés et en radians d’un angle sont proportionnelles
Angle en degrés
Angle en radians
15
30
90
1
𝜋
5
121
𝜋
Réponses :
La longueur de l’arc intercepté par un angle au centre plat sur le cercle trigonométrique est de 𝜋 unités de longueur donc la
mesure en radians de l’angle plat est de 𝜋 radians.
Les mesures des angles en degrés et en radians sont proportionnelles.
Compléter
Dans chacune des configurations suivantes, donner la mesure en radians des angles géométriques.
Réponses :
A propos des équations du type 𝒔𝒊𝒏(𝒙) = 𝒂 et 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒂
V.
Problématique :
A chaque réel correspond un unique point image, mais la réciproque est fausse : un point du cercle est l’image d’une infinité de
réels.
En plus, pour −1 < 𝑎 < 1, il y a deux points du cercles qui ont pour abscisse 𝑎. De même, deux points du cercle ont comme
ordonnée 𝑎.
Le problème surgit inévitablement en utilisant la calculatrice … si on cherche le réel 𝑥 de [−𝜋 , ; 0] tel que cos(𝑥) = −0,5 … la
calculatrice ne le donne pas directement.
Savoir-faire
Réponse
Résoudre graphiquement l’équation cos(𝑥) =
− √3
2
− √3
Il existe deux points du cercle ayant pour abscisse
2
L’équation a une infinité de solutions réparties en deux familles :
Savoir-faire
Réponse

Les réels ayant pour images 𝐴

Les réels ayant pour images 𝐵
2𝜋
3
+ 𝑘 × 2 𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
−2𝜋
3
Résoudre graphiquement l’équation sin(𝑥) =
+ 𝑘 × 2 𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
1
2
1
Il existe deux points du cercle ayant pour ordonnée
2
L’équation a une infinité de solutions réparties en deux familles :

Les réels ayant pour images 𝐴

Les réels ayant pour images 𝐵
𝜋
6
+ 𝑘 × 2 𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
5𝜋
6
+ 𝑘 × 2 𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
Savoir utiliser la calculatrice La calculatrice doit être en radian !
1) Donner une valeur approchée du réel 𝑥 de [ 0 ; 𝜋] tel que : cos(𝑥) = 0,6
Réponse
2)
En tapant cos −1 (0,6) sur la calculatrice, on obtient environ 0,927. 0,927 est bien dans l’intervalle [ 0 ; 𝜋 ]
Donner une valeur approchée du réel 𝑥 de [ −𝜋 ; 0 ] tel que : 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = 0,6
Réponse
En tapant cos −1 (0,6) sur la calculatrice, on obtient environ 0,927.
Mais ce n’est pas le réel cherché ! Faisons un schéma.
0,927 a pour image 𝐴 et nous cherchons un réel qui a pour image 𝐵
Comme 𝐵 est le symétrique de 𝐴 par rapport à l’axe des abscisses, un réel
ayant pour image −0,927 qui est bien dans l’intervalle [ −𝜋 ; 0 ]
3)
Réponse
4)
𝜋
Donner une valeur approchée du réel 𝑥 de [ −
;
𝜋
2
] tel que : sin(𝑥) = −0,6
En tapant sin−1 (−0,6) sur la calculatrice, on obtient environ −0,6435 . −0,6435 est bien dans [ −
Donner une valeur approchée du réel 𝑥 de [
Réponse
2
𝜋
3𝜋
;
2
𝜋
2
;
𝜋
2
] tel que : sin(𝑥) = −0,6
2
En tapant sin−1 (−0,6) sur la calculatrice, on obtient environ −0,6435
Mais ce n’est pas le réel cherché ! Faisons un schéma.
−0,6435 a pour image 𝐴 et nous cherchons un réel qui a pour image 𝐵
Par symétrie, les petits arcs 𝐼𝐴 et 𝐸𝐵 ont la même longueur : environ 0,6435
Donc 𝐵 est l’image de 𝜋 + 0,6435 ≈ 3,78
3,78 est bien dans l’intervalle [
5)
𝜋
2
;
Donner une valeur approchée du réel 𝑥 de [
Réponse
3𝜋
2
−3𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2
] puisque ≈ 1,57 et
;
−𝜋
2
≈ 4,71
] tel que : sin(𝑥) = 0,2
En tapant sin−1 (−0,6) sur la calculatrice, on obtient environ −0,6435
3𝜋
𝜋
Mais − ≈ −4,71 et − ≈ −1,6 donc −0,6435 n’est pas le réel cherché !
2
2
Faisons un schéma.
0,2014 a pour image 𝐴 et nous cherchons un réel qui a pour image 𝐵
Par symétrie, les petits arcs 𝐼𝐴 et 𝐸𝐵 ont la même longueur : environ 0,2014
Donc 𝐵 est l’image de 𝜋 − 0,2014 ≈ 2,94
Mais 2,94 n’est pas dans l’intervalle [
−3𝜋
2
;
−𝜋
2
]. 𝐵 est l’image des réels 2,94 + 𝑘 × 2𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ
Donc 2,94 − 2 × 𝜋 a aussi pour image 𝐵 or 2,94 − 2 × 𝜋 ≈ −3,34 et −3,34 est bien dans [
−3𝜋
2
;
−𝜋
2
]
]