Sinus et Cosinus. Fonctions + 0 π 6 π 4 π 3 π 2 5π 6 3π 4 2π 3 π 7π

Sinus et Cosinus. Fonctions
Seconde
3π
4
π
2
2π
3
π
3
De l’enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique, on en déduit les positions sur le cercle de
valeurs particulières comprises entre 0 et 2π (voir ci-contre).
π
4
π
6
5π
6
2010-2011
+
Exemple 1 :
π
0
11π
6
7π
6
5π
4
4π
3
5π
3
3π
2
1. Déterminer le point M du cercle associé au réel
2. Même question avec le réel −
17π
.
4
14π
3
7π
4
Soit x ∈] − π, π].
Au point A de la droite des réels d’abscisse x correspond
un point M du cercle trigonométrique et un angle au centre
\ tels que :
OCM
M
A
OA = |x| (en u.l) ;
⌢
OM = |x| (en u.l) ;
\ = x (en rad)
OCM
sin x
x
−
→
j
x
x
−
→
i
O
C
cos x
Définition 1 :
Le cosinus du nombre réel x est l’abscisse du point M : il
est noté cos x .
Le sinus du nombre réel x est l’ordonnée du point M : il
est noté sin x .
Remarque 1 : Soit k ∈ Z.
Si x n’est pas dans ] − π, π], il existe k tel que x + k × 2π ∈
]− π, π] (enroulement) et les deux points correspondants du
cercle sont confondus donc :
cos(x + k × 2π) = cos x et sin(x + k × 2π) = sin x
Propriété 1 : Pour tout nombre réel x.
•
•
•
sin2 x + cos2 x = 1
−1 6 sin x 6 1 et −1 6 cos x 6 1
sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x
x
x
sin x
cos x
− sin x
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−x
−x
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Seconde
2010-2011
Remarque 2 : Avec la remarque 1 et le 3ème item de la propriété 1, la connaissance des valeurs de sinus et de cosinus
entre 0 et π est suffisante pour connaître sin x et cos x , ∀x ∈ R.
Des valeurs particulières à connaître :
0
x
π
4
π
6
π
3
2π
3
π
2
3π
4
5π
6
π
cos x
sin x
2π
3
π
2
3π
4
√
3
2
√
2
2
b
b
5π
6
−π
√
√
3
− 22
2
b
b
− 21
b
π
4
1
2
b
−
π
3
0
7π
6
π
6
√
2
2b
1
2b
√
3
2b
0
11π
6
b
− 21
b
√
2
2
b
√
− 23
−
5π
4
4π
3
3π
2
7π
4
5π
3
Équations trigonométriques :
Soit α un réel donné.
sin x = sin α ⇔
π − α + k × 2π



 x = α + k × 2π


 x = π − α + k × 2π
sin x
α + k × 2π
α
cos x = cos α ⇔



 x = α + k × 2π


 x = −α + k × 2π
α + k × 2π
α
cos x
−α + k × 2π
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Seconde
2010-2011
Exemple 2 :
1
Résoudre cos x = dans l’intervalle ] − 2π; 2π].
2
√
Résoudre 2 sin x + 1 = 0 dans l’intervalle ] − π; 3π].
Fonctions Sinus et Cosinus
Définition 2 : Pour tout x réel, en associant à x la valeur sin x, on définit la fonction sin.
sin : x 7−→ sin x
1
0
−1
π
2
π
−2
Définition 3 : Pour tout x réel, en associant à x la valeur cos x, on définit la fonction cos.
cos : x 7−→ cos x
1
0
−1
π
2
π
−2
Courbes complètes des deux fonctions
−2π
−π
−
π
2
1
π
2
−1
π
−2π
2π
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