Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes I - Généralités sur les suites réelles I.1 - Dénition et Structure Définition 1 (Suite). Une suite réelle u est une application de N dans R. Pour tout n ∈ N, le réel un est l'image de n par u. Le réel un est le terme de rang n de la suite u. La suite u est également notée (un )n∈N ou u = (un ). Notation. S (R) désigne l'ensemble des suites réelles. u désigne une suite réelle. Définition 2 (Lois internes / loi externe). Soient (u, v) ∈ S (R)2 et λ ∈ R. ∗ Addition + : u + v = (un + vn )n∈N . ∗ Produit × : u × v = (un vn )n∈N . ∗ Multiplication externe · : λ · u = (λun )n∈N . Théorème 1 (Structure d’algèbre). (i). La loi + : (a) est associative, (b) possède un élément neutre, (c) toute suite u possède un symétrique, (d) est commutative. (S (R), +) est un groupe abélien. (ii). La loi · : Pour tous u, v ∈ S (R) et λ ∈ R, (a) 1 · u = u, (b) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u, (c) (λµ) · u = λ · (µ · u), (d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v . (S (R), +, ·) est un R-espace vectoriel. (iii). La loi × : Pour tous u, v ∈ S (R) et λ ∈ R, (d) (λ · u) × v = u × (λ · v) = λ · (u × v), (a) est associative (b) possède un élément neutre, (e) est commutative. (c) est distributive par rapport à la loi +, (S (R), +, ×) est un anneau. (S (R), +, ×, ·) est une R-algèbre commutative. Définition 3 (Relation d’ordre). Soient u et v deux suites réelles. u 6 v si pour tout n ∈ N, un 6 vn . Propriété 1. La relation 6 est une relation d'ordre partiel. Stanislas A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 I.2 - Comportement global Définition 4 (Majorée, Minorée, Bornée). majorée si {un , n ∈ N} est un ensemble majoré. (ii). La suite u est minorée si {un , n ∈ N} est un ensemble minoré. (iii). La suite u est bornée si la suite u est majorée et minorée. (i). La suite u est Exercice 1. 1. Montrer que u est majorée si et seulement si ∃ M ∈ R ; ∀ n ∈ N, un 6 M si et seulement si ∃ M ∈ R+ ; ∀ n ∈ N, un 6 M 2. Montrer que u est bornée si et seulement si ∃ K ∈ R ; ∀ n ∈ N, |un | 6 K. Notation. SB (R) désigne l'ensemble des suites bornées. Proposition 2. (SB (R), +, ×, ·) est une R-algèbre commutative. Définition 5 (Monotone, Constante, Stationnaire). croissante si pour tout n ∈ N, un 6 un+1 . (ii). u est strictement croissante si pour tout n ∈ N, un < un+1 . (iii). u est décroissante si pour tout n ∈ N, un+1 6 un . (iv). u est strictement décroissante si pour tout n ∈ N, un+1 < un . (i). u est (v). u est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante. constante si pour tout n ∈ N, un = un+1 . (vii). u est stationnaire s'il existe p ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n > p, un = un+1 . (vi). u est Exercice 2. Montrer que la suite u est stationnaire si et seulement s'il existe un réel a et un entier naturel p tel que pour tout n > p, un = a. I.3 - Quelques cas particuliers Définition 6 (Suite arithmétique). Soit a ∈ R. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = un + a est une suite arithmétique de raison a. Propriété 3. Soit u une suite arithmétique de raison a. Pour tout n ∈ N, (i). un = u0 + na. (ii). n P k=0 Stanislas uk = (n + 1)u0 + n(n+1) a. 2 A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 Définition 7 (Suite géométrique). Soit q ∈ R? \{1}. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = qun est une suite géométrique de raison q. Propriété 4. Soit u une suite géométique de raison q . Pour tout n ∈ N, (i). un = q n u0 . n P n+1 q n+1 −1 uk = u0 1−q (ii). 1−q = u0 q−1 . k=0 Définition 8 (Suite arithmético-géométrique). Soient a ∈ R, q ∈ R? \{1}. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = qun + a est une suite arithmético-géométrique . Propriété 5. Soient a ∈ R, q ∈ R? \{1} et u une suite arithmético-géométrique. a a n ∀ n ∈ N, un = q u0 − + . 1−q 1−q Notation. K désigne le corps R ou C. Théorème 2 (Suite récurrente double). Soit (a, b) ∈ K2 tel que b 6= 0. On considère les suites dénies par la relation de récurrence un+2 = aun+1 + bun , ∀ n ∈ N. L'équation caractéristique (E ) associée est r2 − ar − b = 0. (i). Si (E ) possède deux racines distinctes r1 , r2 dans K, il existe (λ, µ) ∈ K2 tel que un = λr1n + µr2n , ∀ n ∈ N. (ii). Si (E ) possède une racine double r0 dans K, il existe (λ, µ) ∈ K2 tel que un = (λ + µn)r0n , ∀ n ∈ N. (iii). Si K = R, u ∈ RN et (E ) possède deux racines distinctes r1 = ρeiθ , r2 = ρe−iθ 6∈ R, il existe (λ, µ) ∈ R2 tel que un = λρn cos(nθ) + µρn sin(nθ), ∀ n ∈ N. Exercice 3. Soit (Fn ) la suite de Fibonacci dénie par F0 = F1 = 1 et pour tout entier naturel n, Fn+2 = Fn+1 + Fn . Montrer que le rapport (Fn+1 /Fn ) converge et déterminer sa limite. Stanislas A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 II - Limite d'une suite II.1 - Suites convergentes Notation. ` désigne un réel. Définition 9 (Limite, Convergence). La suite u a pour limite ` si ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , |un − `| 6 ε. La suite u converge vers `. S'il n'existe pas de réel ` tel que la suite u converge vers `, la suite est divergente . Exercice 4. 1. Montrer que la suite (1/n)n∈N? est convergente. 2. Soit a ∈ R tel que |a| < 1. Étudier la convergence des suites √1 n n∈N? et (an )n∈N . 3. Soit α ∈ R?+ . Montrer que u a pour limite ` si et seulement si ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , |un − `| 6 αε. 4. Montrer que la suite (n)n∈N n'est pas convergente. 5. Montrer que la suite ((−1)n )n∈N n'est pas convergente. Théorème 3 (Unicité de la limite). Soit u une suite convergeant vers un réel `. Alors, ` est unique, noté ` = lim un = lim u. n→+∞ Propriété 6. lim un = ` ⇔ n→+∞ lim (un − `) = 0. n→+∞ Théorème 4. Si u est une suite convergente, alors u est bornée. Exercice 5. Montrer que la réciproque est fausse. Théorème 5. Soit u une suite convergeant vers `. (i). Si ` > 0, la suite u est strictement positive à partir d'un certain rang. (ii). Si ` < 0, la suite u est strictement négative à partir d'un certain rang. II.2 - Caractérisations séquentielles Théorème 6 (Caractérisation séquentielle de la densité). Soit Q un sous-ensemble de R. L'ensemble Q est dense dans R si et seulement si pour tout x ∈ R, il existe une suite (qn ) d'élements de Q qui converge vers x. Exercice 6. Soit x ∈ R. Exhiber une suite de rationnels qui converge vers x. Stanislas A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 Théorème 7 (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure / inférieure). Soit m ∈ R. (i). Soit A une partie de R non vide et majorée. m = sup A si et seulement si ∗ ∀ a ∈ A, a 6 m, ∗ ∃ (un )n∈N ∈ S (A) ; lim u = m. (ii). Soit A une partie de R non vide et minorée. m = inf A si et seulement si ∗ ∀ a ∈ A, m 6 a, ∗ ∃ (un )n∈N ∈ S (A) ; lim u = m. n Exercice 7. Soit A = (−1)n + rieure et inférieure de A. (−1)n+1 n+1 , o n ∈ N . Déterminer, si elles existent, les bornes supé- II.3 - Suites tendant vers l'inni Définition 10 (Tendre vers l’infini). (i). La suite u tend vers +∞ si ∀ M > 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , un > M. On note lim un = lim u = +∞. n→+∞ (ii). La suite u tend vers −∞ si ∀ M 6 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , un 6 M. On note lim un = lim u = −∞. n→+∞ Exercice 8. 1. Montrer que la suite u tend vers +∞ si et seulement si ∀ M ∈ R, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , un > M. √ 2. Montrer que la suite ( n)n∈N tend vers +∞. 3. Soit a > 1. Montrer que la suite (an )n∈N tend vers +∞. Théorème 8. (i). Si u tend vers +∞, u est strictement positive à partir d'un certain rang. (ii). Si u tend vers −∞, u est strictement négative à partir d'un certain rang. II.4 - Suites extraites Définition 11 (Sous-suite). La suite v est une sous-suite (ou une suite extraite ) de u s'il existe une application ϕ : N → N strictement croissante telle que pour tout n ∈ N, vn = uϕ(n) . Exercice 9. Montrer que la suite ((−1)n )n∈N possède une sous-suite convergente. Théorème 9. Soient u ∈ S (R) et ` ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes (i). lim u = `. (ii). Toute suite extraite de u admet pour limite `. (iii). Stanislas lim u2n = lim u2n+1 = `. n→+∞ n→+∞ A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 Corollaire 10. Soient u ∈ S (R) et v, ve deux suites extraites de u admettant une limite. Si lim v 6= lim ve, alors la suite u est divergente. Exercice 10. 1. Soit a 6 −1. Montrer que la suite (an )n∈N n'admet pas de limite. 2. Montrer que la suite cos nπ 3 n∈N n'admet pas de limite. III - Opérations sur les limites III.1 - Structures des suites convergentes Théorème 11 (Structure). Soit S0 (R) l'ensemble des suites réelles tendant vers 0. Soient u, v ∈ S0 (R) et λ ∈ R. Alors, u + v , u × v et λu sont dans S0 (R). (S0 (R), +, ·) est un R-espace vectoriel. Propriété 7. Soient u, v ∈ S (R) convergeant respectivement vers `1 et `2 et λ, µ deux réels. Les suites λu + µv et u × v convergent respectivement vers λ`1 + µ`2 et `1 `2 . Théorème 12 (Structure). L'ensemble des suites convergentes est une sous-algèbre de l'ensemble des suites bornées. III.2 - Opérations sur les suites tendant vers l'inni Propriété 8. Soient u ∈ S (R) une suite tendant vers +∞ et v ∈ S (R). (i). Si v est minorée, alors u + v tend vers +∞. (ii). Si v est minorée à partir d'un certain rang par un nombre strictement positif, alors u×v tend vers +∞. Théorème 13. Soient u et v deux suites réelles tendant vers `1 et `2 , deux éléments de R. (i). Si `1 + `2 n'est pas indéterminée, lim(u + v) = `1 + `2 . (ii). Si `1 `2 n'est pas indéterminé, lim(u × v) = `1 `2 . III.3 - Inverse et quotient Propriété 9. Soit u une suite convergeant vers ` 6= 0. Alors, à partir d'un certain rang n0 , le réel un est non nul et (1/un )n>n0 est une suite convergeant vers 1/`. n Exercice 11. Soit (un ) une suite de réels strictement positifs et convergente. La suite uun+1 converge-t-elle vers 1 ? Propriété 10. Soit u une suite tendant vers ∞. Alors, à partir d'un certain rang n0 , le réel un est non nul et (1/un )n>n0 est une suite convergeant vers 0. Exercice 12. Soit a un réel tel que |a| < 1. Montrer que la suite (an )n∈N converge vers 0. Propriété 11. Soit u une suite convergeant vers 0 dont tous les termes sont strictement positifs (resp. strictement négatifs) à partir d'un certain rang n0 . Alors (1/un )n>n0 est une suite tendant vers +∞ (resp. −∞). Stanislas A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 III.4 - Passage à la limite dans les inégalités Proposition 12. Soient m, M ∈ R et u une suite convergeant vers `. (i). S'il existe p ∈ N tel que pour tout n > p, un > m, alors ` > m. (ii). S'il existe p ∈ N tel que pour tout n > p, un 6 M , alors ` 6 M . Exercice 13. Pour tout entier naturel n ∈ N? , on note un = cos n1 et vn = 1 − 2n1 2 . Comparer les suites (un ) et (vn ), puis leurs limites. Proposition 13. Soient u, v deux suites convergeant respectivement vers `1 et `2 . S'il existe p ∈ N tel que pour tout n > p, un 6 vn , alors `1 6 `2 . IV - Théorèmes d'existence de limite IV.1 - Encadrements Lemme 1. Soient u, α deux suites de réels telles que α converge vers 0 et, à partir d'un certain rang, |un | 6 |αn |. Alors, la suite u converge et sa limite est nulle. Théorème 14 (Théorème d’encadrement). Soient u, v, w trois suites réelles et ` ∈ R telles que v et w convergent vers `. Si, à partir d'un certain rang, v 6 u 6 w, alors u est une suite convergente et sa limite vaut `. Théorème 15. Soient u et v deux suites réelles telles qu'à partir d'un certain rang, u 6 v . (i). Si u tend vers +∞, alors v tend vers +∞. (ii). Si v tend vers −∞, alors u tend vers −∞. Exercice 14. 1. Montrer que lim n! = +∞. n→+∞ an n→+∞ n! 2. Soit a ∈ R. Montrer que lim 3. Pour tout n ∈ N? , on note Hn = IV.2 - Suites monotones = 0. n P k=1 1 k. Montrer que (Hn )n∈N? tend vers +∞. Théorème 16 (Théorème de la limite monotone). Soit u une suite croissante. (i). Si u est majorée, alors elle converge vers le réel ` = sup{un , n ∈ N}. (ii). Si u n'est pas majorée, alors elle tend vers +∞. Soit u une suite décroissante. (i). Si u est minorée, alors elle converge vers le réel ` = inf{un , n ∈ N}. (ii). Si u n'est pas minorée, alors elle tend vers −∞. Exercice 15. (Exponentielle - Constante d’Euler) n P 1 est convergente. 1. Montrer que la suite k! k=0 n∈N n P 1 2. Montrer que la suite est convergente. k − ln n k=1 Stanislas n∈N A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 IV.3 - Suites adjacentes Définition 12 (Suites adjacentes). Soient u, v ∈ S (R). Les suites u et v sont (i). u est croissante, adjacentes si (ii). v est décroissante, (iii). lim(u − v) = 0. Théorème 17 (Théorème des suites adjacentes). Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers une même limite. Exercice 16. Soit (an ) une suite de réels positifs, décroissante, convergeant vers 0. Pour tout entier n P (−1)k ak . naturel n, on pose Sn = k=0 1. Montrer que les suits (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes. 2. En déduire que la suite (Sn ) converge. Théorème 18 (Théorème de Bolzano-Weierstrass). Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. V - Suites de nombres complexes V.1 - Généralités Définition 13 (Suite de nombres complexes). Une suite de nombres complexes est une application de N dans C. Remarque. La notion de suite extraite est inchangée. Les notions de suites majorée, minorées, monotones n’ont aucun sens ! Définition 14 (Suite bornée). Une suite complexe (zn ) est bornée s'il existe K ∈ R?+ tel que pour tout n ∈ N, |zn | 6 K . Propriété 14. Une suite complexe est bornée si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont. V.2 - Limite d'une suite de nombres complexes Définition 15 (Convergence). Soient (zn ) ∈ S (C) et ` ∈ C. La suite (zn ) converge vers ` si n→+∞ lim |zn − `| = 0. Remarque. La notion de suite tendant vers l'inni n’a aucun sens ! Propriété 15 (Unicité de la limite). Soit (zn ) ∈ S (C). Si (zn ) admet une limite, celle-ci est unique et notée lim zn . n→+∞ Propriété 16. Soient (zn ) ∈ S (C) et ` ∈ C. Les assertions suivantes sont équivalentes. (i). (ii). Stanislas lim zn = `. n→+∞ lim Re (zn ) = Re (`) et lim Im (zn ) = Im (`). n→+∞ n→+∞ A. Camanes Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes MPSI 1 Propriété 17. Toute suite complexe convergente est bornée. Les théorèmes d'opérations sur les suites convergentes sont identiques à ceux obtenus dans le cadre réel. Théorème 19 (Théorème de Bolzano-Weierstrass). Toute suite complexe bornée admet une sous-suite convergente. Stanislas A. Camanes