Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes

Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes
I - Généralités sur les suites réelles
I.1 - Dénition et Structure
Définition 1 (Suite).
Une suite réelle u est une application de N dans R. Pour tout n ∈ N, le réel un est l'image de
n par u. Le réel un est le terme de rang n de la suite u. La suite u est également notée (un )n∈N
ou u = (un ).
Notation.
S (R) désigne l'ensemble des suites réelles.
u désigne une suite réelle.
Définition 2 (Lois internes / loi externe).
Soient (u, v) ∈ S (R)2 et λ ∈ R.
∗ Addition + : u + v = (un + vn )n∈N .
∗ Produit × : u × v = (un vn )n∈N .
∗ Multiplication externe · : λ · u = (λun )n∈N .
Théorème 1 (Structure d’algèbre).
(i). La loi + :
(a) est associative,
(b) possède un élément neutre,
(c) toute suite u possède un symétrique,
(d) est commutative.
(S (R), +) est un groupe abélien.
(ii). La loi · : Pour tous u, v ∈ S (R) et λ ∈ R,
(a) 1 · u = u,
(b) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u,
(c) (λµ) · u = λ · (µ · u),
(d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v .
(S (R), +, ·) est un R-espace vectoriel.
(iii). La loi × : Pour tous u, v ∈ S (R) et λ ∈ R,
(d) (λ · u) × v = u × (λ · v) = λ · (u × v),
(a) est associative
(b) possède un élément neutre,
(e) est commutative.
(c) est distributive par rapport à la loi +,
(S (R), +, ×) est un anneau.
(S (R), +, ×, ·) est une R-algèbre commutative.
Définition 3 (Relation d’ordre).
Soient u et v deux suites réelles. u 6 v si pour tout n ∈ N, un 6 vn .
Propriété 1.
La relation 6 est une relation d'ordre partiel.
Stanislas
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I.2 - Comportement global
Définition 4 (Majorée, Minorée, Bornée).
majorée si {un , n ∈ N} est un ensemble majoré.
(ii). La suite u est minorée si {un , n ∈ N} est un ensemble minoré.
(iii). La suite u est bornée si la suite u est majorée et minorée.
(i). La suite u est
Exercice 1.
1. Montrer que u est majorée si et seulement si
∃ M ∈ R ; ∀ n ∈ N, un 6 M
si et seulement si
∃ M ∈ R+ ; ∀ n ∈ N, un 6 M
2. Montrer que u est bornée si et seulement si
∃ K ∈ R ; ∀ n ∈ N, |un | 6 K.
Notation.
SB (R) désigne l'ensemble des suites bornées.
Proposition 2.
(SB (R), +, ×, ·) est une R-algèbre commutative.
Définition 5 (Monotone, Constante, Stationnaire).
croissante si pour tout n ∈ N, un 6 un+1 .
(ii). u est strictement croissante si pour tout n ∈ N, un < un+1 .
(iii). u est décroissante si pour tout n ∈ N, un+1 6 un .
(iv). u est strictement décroissante si pour tout n ∈ N, un+1 < un .
(i). u est
(v). u est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
constante si pour tout n ∈ N, un = un+1 .
(vii). u est stationnaire s'il existe p ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n > p, un = un+1 .
(vi). u est
Exercice 2. Montrer que la suite u est stationnaire si et seulement s'il existe un réel a et un entier
naturel p tel que pour tout n > p, un = a.
I.3 - Quelques cas particuliers
Définition 6 (Suite arithmétique).
Soit a ∈ R. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = un + a est une suite
arithmétique de raison a.
Propriété 3.
Soit u une suite arithmétique de raison a. Pour tout n ∈ N,
(i). un = u0 + na.
(ii).
n
P
k=0
Stanislas
uk = (n + 1)u0 +
n(n+1)
a.
2
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Définition 7 (Suite géométrique).
Soit q ∈ R? \{1}. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = qun est une suite
géométrique de raison q.
Propriété 4.
Soit u une suite géométique de raison q . Pour tout n ∈ N,
(i). un = q n u0 .
n
P
n+1
q n+1 −1
uk = u0 1−q
(ii).
1−q = u0 q−1 .
k=0
Définition 8 (Suite arithmético-géométrique).
Soient a ∈ R, q ∈ R? \{1}. La suite u dénie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = qun + a
est une suite arithmético-géométrique .
Propriété 5.
Soient a ∈ R, q ∈ R? \{1} et u une suite arithmético-géométrique.
a
a
n
∀ n ∈ N, un = q u0 −
+
.
1−q
1−q
Notation.
K désigne le corps R ou C.
Théorème 2 (Suite récurrente double).
Soit (a, b) ∈ K2 tel que b 6= 0. On considère les suites dénies par la relation de récurrence
un+2 = aun+1 + bun , ∀ n ∈ N.
L'équation caractéristique (E ) associée est
r2 − ar − b = 0.
(i). Si (E ) possède deux racines distinctes r1 , r2 dans K, il existe (λ, µ) ∈ K2 tel que
un = λr1n + µr2n , ∀ n ∈ N.
(ii). Si (E ) possède une racine double r0 dans K, il existe (λ, µ) ∈ K2 tel que
un = (λ + µn)r0n , ∀ n ∈ N.
(iii). Si K = R, u ∈ RN et (E ) possède deux racines distinctes r1 = ρeiθ , r2 = ρe−iθ 6∈ R, il
existe (λ, µ) ∈ R2 tel que
un = λρn cos(nθ) + µρn sin(nθ), ∀ n ∈ N.
Exercice 3. Soit (Fn ) la suite de Fibonacci dénie par F0 = F1 = 1 et pour tout entier naturel n,
Fn+2 = Fn+1 + Fn . Montrer que le rapport (Fn+1 /Fn ) converge et déterminer sa limite.
Stanislas
A. Camanes
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II - Limite d'une suite
II.1 - Suites convergentes
Notation.
` désigne un réel.
Définition 9 (Limite, Convergence).
La suite u a pour limite ` si
∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , |un − `| 6 ε.
La suite u converge vers `. S'il n'existe pas de réel ` tel que la suite u converge vers `, la suite
est divergente .
Exercice 4.
1. Montrer que la suite (1/n)n∈N? est convergente.
2. Soit a ∈ R tel que |a| < 1. Étudier la convergence des suites
√1
n n∈N?
et (an )n∈N .
3. Soit α ∈ R?+ . Montrer que u a pour limite ` si et seulement si
∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , |un − `| 6 αε.
4. Montrer que la suite (n)n∈N n'est pas convergente.
5. Montrer que la suite ((−1)n )n∈N n'est pas convergente.
Théorème 3 (Unicité de la limite).
Soit u une suite convergeant vers un réel `. Alors, ` est unique, noté ` = lim un = lim u.
n→+∞
Propriété 6.
lim un = ` ⇔
n→+∞
lim (un − `) = 0.
n→+∞
Théorème 4.
Si u est une suite convergente, alors u est bornée.
Exercice 5. Montrer que la réciproque est fausse.
Théorème 5.
Soit u une suite convergeant vers `.
(i). Si ` > 0, la suite u est strictement positive à partir d'un certain rang.
(ii). Si ` < 0, la suite u est strictement négative à partir d'un certain rang.
II.2 - Caractérisations séquentielles
Théorème 6 (Caractérisation séquentielle de la densité).
Soit Q un sous-ensemble de R. L'ensemble Q est dense dans R si et seulement si pour tout
x ∈ R, il existe une suite (qn ) d'élements de Q qui converge vers x.
Exercice 6. Soit x ∈ R. Exhiber une suite de rationnels qui converge vers x.
Stanislas
A. Camanes
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Théorème 7 (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure / inférieure).
Soit m ∈ R.
(i). Soit A une partie de R non vide et majorée. m = sup A si et seulement si
∗ ∀ a ∈ A, a 6 m,
∗ ∃ (un )n∈N ∈ S (A) ; lim u = m.
(ii). Soit A une partie de R non vide et minorée. m = inf A si et seulement si
∗ ∀ a ∈ A, m 6 a,
∗ ∃ (un )n∈N ∈ S (A) ; lim u = m.
n
Exercice 7. Soit A = (−1)n +
rieure et inférieure de A.
(−1)n+1
n+1 ,
o
n ∈ N . Déterminer, si elles existent, les bornes supé-
II.3 - Suites tendant vers l'inni
Définition 10 (Tendre vers l’infini).
(i). La suite u
tend vers +∞ si
∀ M > 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , un > M.
On note lim un = lim u = +∞.
n→+∞
(ii). La suite u
tend vers −∞ si
∀ M 6 0, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , un 6 M.
On note lim un = lim u = −∞.
n→+∞
Exercice 8.
1. Montrer que la suite u tend vers +∞ si et seulement si ∀ M ∈ R, ∃ n0 ∈ N ; ∀ n > n0 , un > M.
√
2. Montrer que la suite ( n)n∈N tend vers +∞.
3. Soit a > 1. Montrer que la suite (an )n∈N tend vers +∞.
Théorème 8.
(i). Si u tend vers +∞, u est strictement positive à partir d'un certain rang.
(ii). Si u tend vers −∞, u est strictement négative à partir d'un certain rang.
II.4 - Suites extraites
Définition 11 (Sous-suite).
La suite v est une sous-suite (ou une suite extraite ) de u s'il existe une application ϕ : N → N
strictement croissante telle que pour tout n ∈ N, vn = uϕ(n) .
Exercice 9. Montrer que la suite ((−1)n )n∈N possède une sous-suite convergente.
Théorème 9.
Soient u ∈ S (R) et ` ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes
(i). lim u = `.
(ii). Toute suite extraite de u admet pour limite `.
(iii).
Stanislas
lim u2n = lim u2n+1 = `.
n→+∞
n→+∞
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Corollaire 10.
Soient u ∈ S (R) et v, ve deux suites extraites de u admettant une limite. Si lim v 6= lim ve,
alors la suite u est divergente.
Exercice 10.
1. Soit a 6 −1. Montrer que la suite (an )n∈N n'admet pas de limite.
2. Montrer que la suite cos nπ
3 n∈N n'admet pas de limite.
III - Opérations sur les limites
III.1 - Structures des suites convergentes
Théorème 11 (Structure).
Soit S0 (R) l'ensemble des suites réelles tendant vers 0. Soient u, v ∈ S0 (R) et λ ∈ R. Alors,
u + v , u × v et λu sont dans S0 (R). (S0 (R), +, ·) est un R-espace vectoriel.
Propriété 7.
Soient u, v ∈ S (R) convergeant respectivement vers `1 et `2 et λ, µ deux réels. Les suites
λu + µv et u × v convergent respectivement vers λ`1 + µ`2 et `1 `2 .
Théorème 12 (Structure).
L'ensemble des suites convergentes est une sous-algèbre de l'ensemble des suites bornées.
III.2 - Opérations sur les suites tendant vers l'inni
Propriété 8.
Soient u ∈ S (R) une suite tendant vers +∞ et v ∈ S (R).
(i). Si v est minorée, alors u + v tend vers +∞.
(ii). Si v est minorée à partir d'un certain rang par un nombre strictement positif, alors u×v
tend vers +∞.
Théorème 13.
Soient u et v deux suites réelles tendant vers `1 et `2 , deux éléments de R.
(i). Si `1 + `2 n'est pas indéterminée, lim(u + v) = `1 + `2 .
(ii). Si `1 `2 n'est pas indéterminé, lim(u × v) = `1 `2 .
III.3 - Inverse et quotient
Propriété 9.
Soit u une suite convergeant vers ` 6= 0. Alors, à partir d'un certain rang n0 , le réel un est non
nul et (1/un )n>n0 est une suite convergeant vers 1/`.
n
Exercice 11. Soit (un ) une suite de réels strictement positifs et convergente. La suite uun+1
converge-t-elle vers 1 ?
Propriété 10.
Soit u une suite tendant vers ∞. Alors, à partir d'un certain rang n0 , le réel un est non nul et
(1/un )n>n0 est une suite convergeant vers 0.
Exercice 12. Soit a un réel tel que |a| < 1. Montrer que la suite (an )n∈N converge vers 0.
Propriété 11.
Soit u une suite convergeant vers 0 dont tous les termes sont strictement positifs (resp. strictement négatifs) à partir d'un certain rang n0 . Alors (1/un )n>n0 est une suite tendant vers +∞
(resp. −∞).
Stanislas
A. Camanes
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III.4 - Passage à la limite dans les inégalités
Proposition 12.
Soient m, M ∈ R et u une suite convergeant vers `.
(i). S'il existe p ∈ N tel que pour tout n > p, un > m, alors ` > m.
(ii). S'il existe p ∈ N tel que pour tout n > p, un 6 M , alors ` 6 M .
Exercice 13. Pour tout entier naturel n ∈ N? , on note un = cos n1 et vn = 1 − 2n1 2 . Comparer les
suites (un ) et (vn ), puis leurs limites.
Proposition 13.
Soient u, v deux suites convergeant respectivement vers `1 et `2 . S'il existe p ∈ N tel que pour
tout n > p, un 6 vn , alors `1 6 `2 .
IV - Théorèmes d'existence de limite
IV.1 - Encadrements
Lemme 1.
Soient u, α deux suites de réels telles que α converge vers 0 et, à partir d'un certain rang,
|un | 6 |αn |. Alors, la suite u converge et sa limite est nulle.
Théorème 14 (Théorème d’encadrement).
Soient u, v, w trois suites réelles et ` ∈ R telles que v et w convergent vers `. Si, à partir d'un
certain rang, v 6 u 6 w, alors u est une suite convergente et sa limite vaut `.
Théorème 15.
Soient u et v deux suites réelles telles qu'à partir d'un certain rang, u 6 v .
(i). Si u tend vers +∞, alors v tend vers +∞.
(ii). Si v tend vers −∞, alors u tend vers −∞.
Exercice 14.
1. Montrer que lim n! = +∞.
n→+∞
an
n→+∞ n!
2. Soit a ∈ R. Montrer que lim
3. Pour tout n ∈ N? , on note Hn =
IV.2 - Suites monotones
= 0.
n
P
k=1
1
k.
Montrer que (Hn )n∈N? tend vers +∞.
Théorème 16 (Théorème de la limite monotone).
Soit u une suite croissante.
(i). Si u est majorée, alors elle converge vers le réel ` = sup{un , n ∈ N}.
(ii). Si u n'est pas majorée, alors elle tend vers +∞.
Soit u une suite décroissante.
(i). Si u est minorée, alors elle converge vers le réel ` = inf{un , n ∈ N}.
(ii). Si u n'est pas minorée, alors elle tend vers −∞.
Exercice 15. (Exponentielle - Constante d’Euler)
n P 1
est convergente.
1. Montrer que la suite
k!
k=0
n∈N
n
P 1
2. Montrer que la suite
est convergente.
k − ln n
k=1
Stanislas
n∈N
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IV.3 - Suites adjacentes
Définition 12 (Suites adjacentes).
Soient u, v ∈ S (R). Les suites u et v sont
(i). u est croissante,
adjacentes si
(ii). v est décroissante,
(iii). lim(u − v) = 0.
Théorème 17 (Théorème des suites adjacentes).
Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers une même limite.
Exercice 16. Soit (an ) une suite de réels positifs, décroissante, convergeant vers 0. Pour tout entier
n
P
(−1)k ak .
naturel n, on pose Sn =
k=0
1. Montrer que les suits (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes.
2. En déduire que la suite (Sn ) converge.
Théorème 18 (Théorème de Bolzano-Weierstrass).
Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.
V - Suites de nombres complexes
V.1 - Généralités
Définition 13 (Suite de nombres complexes).
Une suite de nombres complexes est une application de N dans C.
Remarque.
La notion de suite extraite est inchangée.
Les notions de suites majorée, minorées, monotones n’ont aucun sens !
Définition 14 (Suite bornée).
Une suite complexe (zn ) est
bornée s'il existe K ∈ R?+ tel que pour tout n ∈ N, |zn | 6 K .
Propriété 14.
Une suite complexe est bornée si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont.
V.2 - Limite d'une suite de nombres complexes
Définition 15 (Convergence).
Soient (zn ) ∈ S (C) et ` ∈ C. La suite (zn )
converge vers ` si n→+∞
lim |zn − `| = 0.
Remarque.
La notion de suite tendant vers l'inni n’a aucun sens !
Propriété 15 (Unicité de la limite).
Soit (zn ) ∈ S (C). Si (zn ) admet une limite, celle-ci est unique et notée lim zn .
n→+∞
Propriété 16.
Soient (zn ) ∈ S (C) et ` ∈ C. Les assertions suivantes sont équivalentes.
(i).
(ii).
Stanislas
lim zn = `.
n→+∞
lim Re (zn ) = Re (`) et lim Im (zn ) = Im (`).
n→+∞
n→+∞
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Chapitre 7. Suites de nombres réels et complexes
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Propriété 17.
Toute suite complexe convergente est bornée.
Les théorèmes d'opérations sur les suites convergentes sont identiques à ceux obtenus dans le
cadre réel.
Théorème 19 (Théorème de Bolzano-Weierstrass).
Toute suite complexe bornée admet une sous-suite convergente.
Stanislas
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