1 Comportement global d`une suite 2 Comportement asymptotique d
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1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 Résumé de cours sur les suites numériques Suites numériques Démonstrations de cours 1. unicité de la limite 2. Une suite qui converge est bornée. 3. Une combinaison linéaire de suites convergentes est convergente 4. Si u est croissante et non majorée, alors u tend vers +∞. 5. La série harmonique Hn diverge (en montrant que H2n − Hn > passant à la limite, on a 0 − 0 > 12 ). 1 1 2 puis par l’absurde en Comportement global d’une suite Les définitions suivantes sont à connaître : soit u une suite • u est dite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n ∈ N, un 6 M . • u est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n ∈ N, un > m. • u est dite bornée si elle est majorée et minorée donc s’il existe un réel M > 0 tel que pour tout n ∈ N, |un | 6 M . • u est dite croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈ N, un+1 > un , (resp. un+1 > un ). • u est dite décroissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈ N, un+1 6 un , (resp. un+1 < un ). 2 Comportement asymptotique d’une suite 1. Suite convergente : Définition : une suite u est dite convergente s’il existe un réel l tel que : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , |un − l| 6 ε . Unicité de la limite. Une suite convergente est bornée. La réciproque est fausse, prendre un = (−1)n . 2. Suites tendant vers l’infini. • une suite u tend vers +∞ si : ∀A > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , un > A . • une suite u tend vers −∞ si : ∀B < 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , un 6 B . ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3 2 Opérations sur les limites 1. Opérations algébriques (a) Ensemble des suites bornées : l’ensemble des suites bornées est stable par produit et par combinaison linéaire. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est une suite qui converge vers 0. (b) Combinaison linéaire (et produit) de suites convergentes. Inverse et quotient de suites convergentes (on pourra retenir que si u tend vers l > 0, alors à partir d’un certain rang un > 0). (c) Opérations sur les limites infinis et formes indéterminées. 2. Limites et relation d’ordre. (a) Passage à la limite dans les inégalités. Attention, une inégalité stricte devient large après un passage à la limite. (b) Existence de limites par encadrement : Théorème des gendarmes et théorèmes de comparaison (si u > v et v tend vers +∞, alors u tend vers +∞) Exemples : √ • √11 + · · · + √1n > n → +∞. • Limite d’une suite géométrique (pour q > 1, q n = (1 + x)n > 1 + nx → +∞). n • À connaître : si a > 1, on a lim an! = 0 et lim nn!n = 0 . 4 Suites et monotonie 1. Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge (la preuve n’a pas encore été faîte, on attend le cours sur R et la propriété de la borne supérieure). Si u est croissante et n’est pas majorée, alors la suite u tend vers +∞. 2. Suites adjacentes : Définition : deux suites sont dites adjacentes si elles sont monotones de sens contraire et que leur différence tend vers 0. Théo : deux suites adjacentes CV vers une même limite l, de plus, ∀n ∈ N, un 6 l 6 vn . Cette dernière inégalité permet de majorer l’erreur commise lorsque l’on approxime l par un : |un − l| 6 |un − vn |. Pn 1 vers e et valeur approchée à 10−6 près. Application : convergence de Sn = k=0 k! 5 Suites extraites Définition : une suite v est dite extraite d’une suite u s’il existe une application φ : N → N strictement croissante la suite v soit égale à la suite (uφ(n) )n . Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente et converge vers la même limite. La contraposée la suite de terme général permet de prouver la divergence de suites. Exemple n un = cos 3nπ diverge (en effet u = cos(3nπ) = cos(nπ) = (−1) ). 5n 5 Proposition : Si (u2n ) et (u2n+1 ) convergent vers une même limite l, alors (un ) converge vers l. On sait qu’une suite bornée ne converge pas forcément. On a toutefois le résultat capital suivant : Théorème de Bolzano Weierstrass : si u est une suite réelle bornée, alors on peut en extraire une sous-suite qui converge. 3 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 6 Suites récurrentes du type un+1 = f (un ) 1. Quelques «trucs» pour étudier ce type de suite : • On cherche les intervalles I stables par f , c’est à dire tels que f (I) ⊂ I (pour cela, on dresse le tableau de variations de f ). Dans ce cas, si u0 ∈ I, alors pour tout n ∈ N, un ∈ I. • On cherche les points fixes de f qui sont les limites candidates pour u. En effet, si f : I → I est continue avec I fermé, si u converge, c’est vers un point fixe de f dans I. • Le signe de f (x) − x permet d’obtenir la monotonie de u. • Le résultat suivant est classique mais hors-programme et je ne l’ai pas utilisé en cours : si I est stable par f et que f est croissante sur I, alors u est monotone . Remarque : l’étude sera complétée plus tard à l’aide de l’inégalité des accroissements finis. 2. Formule explicite pour une suite arithmético-géométrique. Si u est définie par un+1 = aun +b avec a 6= 1, alors en notant α le point fixe de f (x) = ax+b, on a vn = un − α qui est géométrique de raison a. 7 Comparaison des comportements asymptotiques Les définitions suivantes sont identiques à celles des fonctions. 1. Notion de suites dominées, de suites négligeables. On retiendra que si lim uvnn = 0 alors u est négligeable devant v, on note u = o(v) . Si la suite u v est bornée au vosinage de +∞, on dit que u est dominée par v, on note u = O(v). 2. Suites équivalentes On retiendra que si lim uvnn = 1 alors (un ) est équivalente à (vn ), on note un ∼ vn . On rappelle les propriétés déja établies dans le cas des fonctions : • si un ∼ vn et lim un = l, alors lim vn = l. La réciproque est fausse. • On peut faire des produits et des quotients d’équivalent • En particulier, un quotient de polynômes est équivalent au voisinage de +∞ au quotient 4 3 +5 5n4 5n des termes de plus haut degré. Exemple : 5n2n−2n ∼ 2n 3 −4n 3 = 2 . • C’est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive) • Un résultat utile : si u est équivalente à v, alors u et v ont les mêmes signes au voisinage de +∞. Attention : • on ne peut pas en général pas faire de sommes ou composés d’équivalents. • Si lim u − lim v = 0, on n’a pas forcément u ∼ v puisque lim n1 − pas équivalent à n12 . 1 n2 = 0 mais 1 n n’est • lim(1 + n1 )n = e. 8 Suites de nombres complexes Définition : une suite (zn ) de nombres complexes converge s’il existe l ∈ C tel que : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , |un − l| < ε . Théorème : une suite (zn ) de nombres complexes converge vers le nombre complexe z ssi les suites réelles (Re(zn )) et (Im(zn )) convergent vers respectivement Re(z) et Im(z). Le théorème de Bolzano Weierstrass est encore vrai pour les suites de nombres complexes.
