Programme de colle 15 : semaine du 20/01 au 24/01 Chapitre 10

Mathématiques
PCSI 2013-2014
Lycée Bertran de Born
Programme de colle 15 : semaine du 20/01 au 24/01
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Thèmes
Réels et suites de nombres réels ;
Complexes et géométrie plane.
Chapitre 10. Nombres réels & suites de nombres réels
BVous devez revoir le TD 0 sur le calcul numérique.
1. Les nombres réels
1. Rappels sur l’ensemble R des nombres réels : R est muni d’une valeur absolue (propriétés) ; intervalles
dans R ; inégalités.
2. Définition d’une borne supérieure (et inférieure) d’une partie de R. Propriété : toute partie non vide
et majorée de R admet une borne supérieure. Définition de la droite achevée R = R ∪ {−∞, +∞}.
3. Partie entière d’un nombre réel : définition. Développement décimal.
2. Suites de nombres réels : généralités
1. Vocabulaire (suites monotones, bornées...) ; opérations sur les suites.
2. Suites arithmétiques et suites géométriques. Étude des suites arithmético-géométrique un+1 = aun +
b et u0 ∈ C. Expression du terme un en fonction de n. Convergence.
3. Notions de limites
1. Limite d’une suite : définition quantifiée. On dit que (un )n converge vers une limite ` ∈ R lorsque :
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 0 tel que n ≥ Nε ⇒ |un − `| < ε
? Conséquences : lim un = l ssi lim |un − l| = 0 ; unicité de la limite ; le produit d’une suite bornée
par une suite qui converge vers 0, converge vers 0 ; toute suite convergente est bornée.
? Opérations algébriques sur les limites.
? Comparaison de suites convergentes (comparaison des limites). Théorème d’encadrement.
2. Limites infinies.
? Définitions quantifiée de lim un = +∞ et lim un = −∞.
lim un = +∞ ⇔ ∀A ∈ R, ∃NA ∈ N tel que n ≥ NA ⇒ un ≥ A
? Règles de calcul (attention aux formes indéterminées). Comparaison.
3. Suites extraites. Définition. Propriété : toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la
même limite.
4. Théorèmes d’existence de limite
1. Théorèmes des suites monotones : « toute suite croissante et majorée est convergente » ; « toute suite
croissante et non majorée diverge vers +∞ ».
2. Suites adjacentes : définition et théorème « deux suites adjacentes convergent vers la même limite ».
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5. Relations de comparaison
1. Relations « petit o » et « grand O ». Lorsque (vn )n ne s’annule pas à partir d’un certain rang, on
dit que :
est bornée.
• un = O(vn ) lorsque uvnn
n
• un = o(vn ) lorsque lim uvnn = 0.
Principales propriétés et règles de calcul (à déduire des définitions).
2. Relation d’équivalence. Lorsque (un )n et (vn )n ne s’annulent pas à partir d’un certain rang, on dit
que :
• un ∼ vn lorsque lim uvnn = 1.
un ∼ vn ⇔ un = vn + o(vn )
Principales propriétés et règles de calcul (symétrie, transitivité, produit, exposants...).
Si un ∼ vn et lim vn = ` alors lim un = `.
α
3. Comparaisons des suites usuelles (croissances comparées) : 1, ln(n) , nβ , an a > 0, n!.
Chapitre 11. Nombres complexes II : compléments
BRevoir le chapitre 3 sur les nombres complexes.
0. Rappels
Dictionnaire : plan euclidien muni d’un repère ON direct - ensemble C. Expression complexe pour une distance,
un angle ; conditions d’alignement et d’orthogonalité.
1. Racines n-ièmes dans C
1. Soit n ∈ N∗ . Racines n-ièmes de l’unité. Définition et écriture trigonométrique : e
Somme. Représentation dans le plan complexe.
2ikπ
n
, k = 0...n − 1.
2. Définition d’une racine n-ième. Théorème d’existence pour tout complexe non nul de n racines n-ièmes
distinctes ; méthode de détermination pratique (passage en notation exponentielle).
2. Écriture complexe des transformations du plan
Écriture complexe : d’une translation ; d’une homotéthie de centre O ; d’une rotation de centre O ; de la symétrie
d’axe (Ox).
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