Indice d`une application linéaire. Théorème de Riesz

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
E RIC VAN DER O ORD
Indice d’une application linéaire. Théorème de Riesz.
Opérateurs compacts dans L2
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 7, no 1 (1967-1968), exp. no A1, p. A1-A8
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A1-01
Séminaire CROQUET
(Initiation à 1 analyse)
7e année, 1967/68, n° A.l
INDICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE. THÉORÈME DE RIES Z.
OPÉRATEURS
L2
COMPACTS DANS
par Eric VAN DER OORD
On considère des espaces vectoriels
1. Inverse relatif d’une
un
F --~ G
une
Im(U) ,
U
si l’on
U
1°
projecteur
et la donnée de
induit
Si
une
U
bijection
admet
un
donc
XU
donc
lm XU = Im X .
donc
Ker XU = Ker
UX
est
2°
un
est
un
pose :
UD
F
de
précédentes,
Im X ~
sur
équivaut à celle
U X de Im(XU) sur
X
X,
des
Im(X)
UX
est
supplémentaire
projecteur Q
projecteurs P et Q.
un
de
De
de
G
U ,
et de
Im P
G
sur
si l’on
sur
même,
a
les
t
Im
U ,
et
X
la
bijection inverse.
on a :1
la définition étant
symétrique
en
U
et
un
isomor-
X,
Im U .
projecteurs
Im U . Si
J
est
s,ar
plus,
projecteur.
Réciproquement,
phisme
P
est
a :
inverse relatif
projecteur de
de
complexes.
lication linéaire.
a
PROPOSITION 1. - Avec les notations
un
des nombres
corps Ç
se
inverse relatif de
XU
le
place dans la catégorie des espaces vectoriels. Soit
application linéaire. Une application linéaire X : G
DEFINITION 1. - On
U :
sur
P
et Q,
l’injection de
U
induit
Im P
dans
F ,
on
proposition précédente subsiste
applications linéaires continues.
THEOREME 1. - La
Banach et des
effet, alors Im P est fermé, donc J
phisme d’espaces vectoriels topologiques (e.
En
2.
un
est
U
des espaces de
est
Ua
un
isomor-
le théorème de
t.) d’âpres
dit-qutune application linéaire
DEFINITION 2. - On
met
continue, et
est
v.
catégorie
dans la
régulière
si elle ad-
inverse relatif.
Opérateurs comp
acts.
linéaire ;
relativement
compacte
G
des
compacte
est
U
dit que
on
et
F
DEFINITION 3. - Soient
e.
si
v,
normés,
U :
F --> G
une
application
F est
de la boule unité
l’image
G .
dans
PRO PRIETES .
-
-
-
-
-
application linéaire compacte est continue.
est continue, VU est compacte.
Si V :
Si V’ : E -7 F est continue, UV’ est compacte.
Une application linéaire continue, de rang fini, est compacte.
En outre, on a la proposition suivante :
Une
PROPOSITION 2J - Si
compactes
En
est complet, l’ espace K(F , G)
L(F, G) .
G
est fermé dans
effet,
P
ensemble
U
si
E
K:(F , G) ,
précompact
> 0 ,
linéaires
il existe
un
tel que
le résultat, puisque
précompact, d’où
Topologie générale, chapitre 2~ § 4~ n~ 2).
U(B )
applications
est tel que, pour tout E
G
dans
des
est
complet (cf. BOURBAKI,
G
est
sa
transposée
[1],
-)-
PROPOSITION
3. - Si
U :
F ~ G
est
compacte,
U* :
G’1 ~ F’
est
compacte.
Démonstration. - On
Donc
I/(B ,) ~
morphe à
est
B~
muni de la
muni de la
équicontinu,
rème d’Ascoli.
a :
et
topologie
topologie
de la convergence uniforme
de la convergence uniforme
relativement
compact,
sur
B
est isoOr
sur
doù le résultat
y
d’après
B~,
le théo-
Remarque. -
L’adhérence
rang fini dans
L(F , G)
de l’ensemble des
applications linéaires
de
vérifie
complet.
est
G
lorsque
G)
(F , G)
sait pas si l’inclusion inverse a lieu pour tout couple
est
d’espaces de Banach, la postuler constitue "l’hypothèse d’approximation". Elle
On
ne
F
vraie si
est
G
ou
un
Hilbert.
3. Opérateurs à indice.
On
se
dans la
place
DEFINITION
des espaces vectoriels.
4. - Une application linéaire
si Fan noyau et
nies,
catégorie
son
u :
F ~ G
est dite d’indice fini
image sont respectivement de dimension et codimension fi-
et l’on pose :
Propriétés.
- Si
U
a un
Si
F
et
-
vaut
inverse relatif
G
X,
sont de dimension
x(X~ - - X(U~ .
finie, /.(.) est
constante
sur
Hom(F , G)
et
dimF -dimG .
THÉORÈME 2. - Soit
Alors si deux des trois
l’est aussi,
et l’on
Démonstration. - On
des
décompose F, G ,
F~
2014~
G~ ~
Le théorème est alors aisé à vérifier
des
fini
a :1
isomorphismes :
L’importance
sont d’indice
morphismes V,
opérateurs
H
de la manière suivante :
F 2014~ G 9 il,
en
G~ --> H..
écrivant les définitions.
à indice est liée
au
fait suivant :
le troisième
et
THÉORÈME 3. - Si F
fini,
continue et d’indice
Ker U
effet,
En
gique. Il
sont des espaces de
In U
F --> G
In U
est
N
En effet, si
un
Banach,
est
un
un
en
et si
F ~ G
U :
est
inverse relatif continu.
est de dinension finie, donc admet
U :
codimension finie,
admet
U
alors
est de même pour
en
1. - Soit
le
G
un
supplémentaire topolo-
vertu du lemme suivant.
est de
Im U
de Banach. Si
morphisme d’ espaces
fermé.
supplémentaire algèbrique (de
dimension
finie)
de
Im
U ,
morphisme
surjectif,
est continu
est
complet y
donc fermé.
de stabilité de l’indice.
Propriétés
4.
donc
Dans la suite de
l’exposé,
F
THEOREME 4. - Soient
X
d’indice fini,
~
En
U
+
5
TX
inverse relatif continu de
F ;
fini,
Soient
alors
F
U
un
=
Banach,
des espaces de Banach.
U ~
U. Alors si
F -.~ G
un
morphisme
F --,~ G
T ~
vérifie
et
est inversible dans
(RIESZ) . -
phisme compact de
des espaces de
G
est d’indice
T
+
effet, ~
THEOREME
un
et
catégorie
restera dans la
on
L(G, G) ,
y
espace de
K
donc d’indice
Banach,
nul, et :
K :
un
endomor-
nul.
est
Déinonstration.
lo
de
Ker U
Ker U
est de dimension finie :
est
compacter
donc
Ker U
en
effet,
Bp
n
Ker U
~K(B~) ;
est de dimension finie.
la boule unité
20
où
est fermé : il suffit de montrer que la bijection continue
Im U
est
F
il existerait
contraire,
étant
K
Or,
si
existe ;
f
une
suite
compacte,
il existe
est cette
limite y
U ,y est bicontinue ;
Ker
de
supplémentaire topologique
un
fn
vérifiant
une
sous-suite
f
nK
telle que
dans le
cas
lim Kf
nK
elle doit vérifier :
qui est impossible.
ce
3° Alors
(Ker U*)| ,
Im U =
U* = 1F’ - K ,
COROLLAIRE. - Soient
et
est
XK
un
et
U , K :
sont
XU - 1F
inconnue)
f
tions
particulier,
jours
est
f
une
1
de
si
i
+
est d’indice fini et si
K
est
K) = ~,~U} .
U,
on a
de Fredholm. - Si l’on
un
espace de
l’équation
K
Banach,
f - Kf
=
L ?y " ,,L
0
équation f - Kf = g (g
étant un opérateur compact,
a une
est de dimension finie
indépendantes
n ; il
telles que les condi-
n , soient nécessaires et suffisantes pour l’existence
l’équation
f - Kf
f - Kf = 0
~ f = 0
solution. Elle est donnée par
encore un
U
->0 .~
compacts,
formes linéaires
n
Li(g) = 0,
d’une solution
En
dans
des solutions de
existe alors
F
inverse relatif continu de
Application : Alternative
donnée,
l’espace
compacte.
est d’indice fini et
U +K
X
finie, puisque
définie pour tout 03BB e R , et le théorème
est continue et localement constante. Elle est donc constante et
4 montre qu’elle
Si
est de codimension
+ 03BBK)
est une fonction
x(1
-F
4° Enfin
compact,
est
K
et que
Im U
et
opérateur compact.
=
g .
(cas d’unicité), l’équation
f = (1 - K~-~’ g = g + Zg , où
admet tou-
Exemple : Opérateurs compacts dans
pace topologique localement compact,
1~
désignera par
Si
La
est
T
norme
L,
de
e
sera
notée
L~ ;
si
Opérateurs
L~(X , ~) ,
de
L,
on
noyau. -Soient X
Radon positive sur
à
de
une mesure
de Hilbert
endomorphisme continu
un
K(x , y)
Soit
l’espace
L~ .
1~
l’espace
JJTJJ
sa norme
et par
notera
un es-
X . On
jii.i;) .
sont deux fonctions
(p y ~
quelconques
L,
de
On a alors,
et le théorème de Fubini
est
et que l’on
continue,
DÉFINITION
THÉORÈME
un
en
dont l’image
6
est continue: cela résulte de
2°
0
est
jl§[ 0
#(x) 03C6(y) ,
injective:
=
sous-ensemble total de
3° Si
K
e
L2 , K
escalier, donc
rang fini.
est
())K)j
é -->L2
5
au
noyau
K
Gj.
L(L2 , d) définie ar 6(K) = K est
(L2 , L2) est contenue dans K(L2 , d) .
L2
E :
1°
fonction de la forme
associé
que K est _i’opérateur intégral
6. - L’application
continue
l’application K :
a
5 . - 0n dit
injection
une
alors de conclure que
permet
--§
l’ inégali té
entraîne que
03C6 , 03C8
e
L2 .
K
~K~
est
5
)))K))) .
orthogonal
dans
Or les fonctions de
ce
L2
à toute
type forment
~/ .
compact:
)))K))§K
En effet
K
est limite, dans
est limite
dans L2
L(L2 , L2) ,
de fonctions
d’opérateurs
de
Le théorème de Fubini montre alors que
THEOREME
défini t
7. -
~(l~ y L~)
L~) .
La formule :
une
En
effet,
Or,
T
un
pour presque tout
-+
K( . , y)
y ,
admet aussi
idéal à gauche dans
continue T : L2
application
un
noyau :
L(L ~ 12) ..Soit
K
----
e~ ~
f.
G
L2
et si l’on pose
étant continu,
Reste à montrer que
vérifie
est
K"
a(K)
=
0
TK
=
T
chaque fois que
or
l’application
K
est de la
continue
~!~’
E
L2 9
puisqu~ alors
comme
l’ensemble des
Remarque. -
On
a
~P ( Y ~ ~ (x~
est total dans
plus simplement,
en
f onctions vectorielles par rapport à ~
n°
2, théorème 1)
T
étant
un
opérateur
continu de
Z2 0
utilisant
la
un
proposition
résultat
sur
en
résulte.
l’intégration
(Bourbaki, [2J Intégration,
ch.
des
IV, ~ 4,
y
A1-08
~~ C L2 , L2)
COROLLAIRE. -
Remarque. -
On
avec
peut
on a
f - Ff
l’équation
Si dans
f=l+Zg ,
T = S ,
est à noyau,
T
Remarque. - Si
a
idéal bilatère : cela résulte du fait que c.
un
transposition.
est fermé pour la
Conséquence. -
est
Z=(l -K)~K ,
=
donc
on
Z
est associé à
demander s’il existe des
se
réponse est affirmative
une
séparable, soit (en) ’""
~N
général.
est dans le
g
un
d’unicité,
on
noyau.
opérateurs compacts
de
L2
sans
l’espace L envisagé
la suite d’opérateurs
Si par exemple
noyau. La
en
est
base hilbertienne. Alors
~ ~
cas
définie par
~~
Tt
L)
converge dans
pendant
opérateur compact
K
des que
il résulte de la théorie de Hilbert et Schmidt que cet
associé à
239 et
vers un
un
noyau que si
03A3|03B1n|2
+
oo
(voir
par
lim 03B1n
= 0 . Ce-
opérateur n’est ,
exemple RIESZ et NAGY
[4],
p.
seq.).
BIBLIOGRAPHIE
(Nicolas). - Topologie générale, Chap. 1 et 2, 3e édition. - Paris,
Hermann, 1961 (Act. scient. et ind., 1142 ; Bourbaki, 2).
[2] BOURBAKI (Nicolas). - Intégration, Chap. 4. - Paris, Hermann, 1952 (Act.
scient. et ind., 1175 ; Bourbaki, 13).
[3] DIEUDONNÉ (Jean). - Foundations of modern analysis. - New York, Academic
Press, 1960 (Pure and applied Mathematics, Academic Press, 10).
[4] RIESZ (Frédéric) et NAGY (Béla Sz.). - Leçons d’analyse fonctionnelle, 3e
[1]
BOURBAKI
[5]
Budapest, Académie des Sciences de Hongrie, 1955.
Séminaire de Mathématiques, dirigé par Adrien DOUADY et Paul KRÉE, Année
1965/66. Tome 2 : exposés 11 à 20. - Nice, Université de Nice, Faculté
édition. -
Sciences,
s.
d.
(multigraphié).
des