1 Espaces métriques 2 Exemples : espaces fonctionnels

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
Rappels de Cours – Espaces métriques. Espaces de Banach.
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Espaces métriques
Théorème : (Prolongement des applications uniformément continues)
Soient pE, dq et pF, δ q deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit A une
partie dense de E et f : A Ñ F une application uniformément continue. Il existe une unique application
continue g prolongeant f à E tout entier ; g est de plus uniformément continue.
Définition : On dit qu’une application définie entre deux espaces métriques f : pX, dq
contractante si elle est k-lipschitzienne, avec 0 ¤ k 1, i.e.
@px1 , x2 q P X X
Ñ pY, δq est
δ pf px1 q, f px2 qq ¤ kdpx1 , x2 q.
Théorème : (Point fixe de Picard)
Soit pX, dq un espace métrique complet. Tout application contractante de X dans lui-même admet un
unique point fixe a P X tel que f paq a. De plus, pour tout x0 P X, la suite des itérées définie par
récurrence xn 1 : f pxn q converge vers a.
Lemme : (Baire)
Soit pX, dq un espace métrique complet. Toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense et,
de manière équivalente, toute réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.
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Exemples : espaces fonctionnels
Définition : Soient pX, dq et pY, δ q deux espaces métriques. Une partie A
mément équicontinue lorsque, pour tout ε ¡ 0 il existe η ¡ 0 tel que
@px1 , x2 q P X X, @f P A,
dpx1 , x2 q η
€ C 0 pX, Y q est dite unifor-
ùñ δpf px1 q, f px2 qq ε .
Remarque : Il faut bien noter ici que la propriété de continuité est uniforme en px1 , x2 q
en f P A !
P X X
et
Théorème : (Ascoli)
Soit pX, dq un espace métrique compact et pY, δ q un espace métrique complet. A € C 0 pX, Y q est relativement compacte (pour la convergence uniforme) si et seulement si les deux conditions suivantes sont
réalisées :
(i) A est uniformément équicontinue.
(ii) Pour tout x P X, l’ensemble tf pxq : f
P Au est relativement compact dans Y .
Remarque : On a ainsi décrit exactement la forme des parties compactes de C 0 pX, Y q. D’ailleurs,
comme ce dernier est un espace métrique, l’énoncé précédent peut se reformuler en terme de suites de
fonctions.
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Définition : Soient pX, dq et pY, δ q deux espaces métriques. On dit qu’une partie A € C 0 pX, Y q sépare
les points de X si pour tous points x1 x2 P X il existe un élément f de A tel que f px1 q f px2 q.
Théorème : (Stone-Weirestrass)
Soit pX, dq un espace métrique compact. Soit A une sous-algèbre de C 0 pX, Rq telle que
(i) A sépare les points de X,
(ii) la fonction constante égale à 1 appartient à A (et donc toutes les fonctions constantes).
Alors A est dense dans C 0 pX, Rq pour la norme uniforme.
Remarque : Ce théorème se généralise en remplaçant l’espace d’arrivée par C, mais dans ce cas-là
l’algèbre A doit en plus être stable par conjugaison. Penser par exemple à la conjugaison z ÞÑ z qui n’est
pas limite uniforme de polynômes sur le disque unité fermé.
On a pour conséquences pratiques les résultats suivants
Proposition :
(i) Théorème d’approximation de Weirestrass : pour tout compact K
dans C 0 pK, Rq.
(ii) L’ensemble des polynômes trigonométrique tx ÞÑ P peix q : P
€ Rn , RrX1 , . . . , Xn s est dense
P CrX su est dense dans C 0 pra, bs, Cq.
(iii) Pour tout espace métrique compact X, l’espace (vectoriel engendrée par les fonctions tensorielles
Vect f b g : px, y q ÞÑ f pxqg py q : f, g P C 0 pK, Rq est dense dans C 0 pX X, Rq.
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Espaces vectoriels normés
On commence par une caractérisation très pratique de la dimension finie, qui n’utilise pas la notion
de complétude.
Théorème : (Riesz)
Un espace vectoriel normé pE, }
tx P E : }x} ¤ 1u est compacte.
}q
est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée
On passe ensuite au cas particulier des espaces de Banach. Les applications linéaires continues y
jouissent de propriétés remarquables, à commencer par le
Théorème : (Banach-Steinhaus)
Soit pE, } }E q un espace de Banach et pF, } }F q un espace vectoriel normé quelconque. On munit
L pE, F q (espace des applications linéaires continues) de la norme subordonnée ~ ~ :
@T P L pE, F q ~T ~ : sup }T}pxx}q}F .
P
x E
Pour toute famille pTi qiPI
E
P L pE, F qI on a alors la propriété suivante
@x P E p}Ti pxq}F qiPI est bornée ô p~Ti ~qiPI est bornée
.
Remarque : Cet énoncé est très surprenant : il permet de passer d’une borne ponctuelle à une borne
uniforme. La famille peut en particulier être indénombrable ; enfin, dans ce théorème seul l’espace de
départ est supposé complet.
Définition : Une fonction définie entre deux espaces topologiques est dite ouverte si elle envoie les
ouverts de l’un sur des ouverts de l’autre.
Remarque : Il n’y a en général aucun lien entre la continuité d’une application et son caractère ouvert.
Tout au plus, si f est une fonction bijective entre deux espaces topologiques, le caractère ouvert de f
exprime la continuité de son inverse.
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Théorème : (Application ouverte)
Soit E et F deux espaces de Banach. Tout application linéaire continue et surjective de E vers F est
une application ouverte.
Proposition : (Continuité automatique)
Soit E, F et G trois espaces de Banach.
(i) Toute application linéaire continue et bijective définie de E dans F est un homéomorphisme ( i.e.
est bicontinue).
(ii) La continuité d’une application bilinéaire définie de E
rapport à chacune de ses variables.
F
dans G équivaut à sa continuité par
Théorème : (Graphe fermé)
Soit E et F deux espaces de Banach et T une application linéaire de E dans F . On appelle graphe de
T l’ensemble tpx, T pxqq : x P E u € E F . L’application T est continue de E dans F si et seulement
si son graphe est fermé dans E F .
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