Master 1 Mathématiques Analyse Fonctionnelle HMMA113 Université de Montpellier Année universitaire 2016-2017 Feuille d’exercices no 1 Rappels sur les espaces de fonctions continues Exercice 1 Soit (E, || · ||) un espace de Banach, et E 0 = Lc (E, K) son dual topologique, que l’on munit de la norme subordonnée |||ϕ||| = sup||x||=1 |ϕ(x)|. Montrer que E 0 est un espace de Banach. Exercice 2 Soit X un espace métrique. On note C0 (X, R) l’espace des fonctions continues f : X → R nulles à l’infini: f ∈ C0 (X, R) si pour tout ε > 0 il existe un compact A ⊂ X tel que |f (x)| ≤ ε si x ∈ / A. Montrer que (C0 (X, R), ||.||∞ ) est un espace de Banach. Exercice 3 (∗) Soit X un espace métrique localement compact, c’est-à-dire tel que tout point de X possède un voisinage compact. On note Cc (X, R) l’espace des fonctions continues f : X → R à support compact: f ∈ Cc (X, R) si il existe un compact A ⊂ X tel que f (x) = 0 si x ∈ / A. Montrer que Cc (X, R) est un sous-espace dense de (C0 (X, R), ||.||∞ ) (cf exercice 2). (On pourra utiliser les fonctions de la forme x 7→ d(x, B)/(d(x, B) + d(x, A)), où A et B sont deux fermés disjoints de X). Exercice 4 Montrer qu’un ouvert d’un espace métrique complet est un espace de Baire. Exercice 5 Soit X = C([0, 1], R) muni de la norme || · ||∞ , et D ⊂ X le sous-ensemble des fonctions dérivables en au moins un point. On note Fn = {f ∈ X | ∃t ∈ [0, 1], ∀s ∈ [0, 1], |f (t) − f (s)| ≤ n|t − s|}. 1. Justifier que D est dense dans X. 2. Montrer que D ⊂ ∪∞ n=0 Fn . 3. (∗) Montrer que chaque Fn est un fermé de X d’intérieur vide. 4. En déduire que X \ D est dense dans X. Exercice 6 Soit T : X → Y une application linéaire entre espaces vectoriels normés. 1. Montrer que si X est de dimension finie, alors T est continue. 2. Montrer que T est continue si et seulement si pour toute partie bornée E de X, T (E) est une partie bornée de Y . 3. En déduire que tout espace vectoriel normé de dimension infinie possède des formes linéaires ainsi que des endomorphismes non continus (on pourra utiliser l’existence d’une base de X, et considérer une suite infinie de vecteurs de norme égale à 1). Exercice 7 Soit X un espace vectoriel normé réel et u : X → R une forme linéaire non nulle. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. u est continue; 2. Ker(u) est fermé; 3. Ker(u) n’est pas dense dans X; 4. Il existe un voisinage de 0 ∈ X sur lequel u est bornée. Exercice 8 Soit 0 < k < 1 fixé. Montrer que toute suite de fonctions k-lipschitziennes fn : R → [−1, 1] possède une sous-suite qui converge sur tout compact de R. 1 Exercice 9 Le sous-ensemble des applications lipschitziennes de (C([0, 1], R), ||.||∞ ) est-il compact ? Exercice 10 On utilise les notations de l’exercice 1. Soient E et F deux espaces de Banach, et E 0 et F 0 leurs duaux topologiques munis des normes subordonnées. Soit T : E → F un opérateur compact, c’est-à-dire tel que l’image de toute partie bornée de E est relativement compacte dans F . Soit T ∗ : F 0 → E 0 l’adjoint de T , défini par T ∗ (ϕ) = ϕ ◦ T pour tout ϕ ∈ F 0 . Le but de cet exercice est de montrer que T ∗ est compact (théorème de Schauder; la réciproque est également vraie). On note BE et BF 0 les boules unité ouvertes de E et F 0 centrées en 0. 1. Soit (vn ) une suite de points de BF 0 , et K = T (BE ). Montrer que H = {vn|K , n ∈ N} est une partie bornée et équicontinue de (C(K, K), || · ||∞ ). 2. En déduire qu’il existe une sous-suite (vnk )k telle que (vnk|K )k soit de Cauchy. 3. Montrer que (T ∗ (vnk ))k est convergente. 4. En déduire que T ∗ est un opérateur compact. Exercice 11 (∗) (Autour de la preuve d’Ascoli) Soit X un espace topologique, Y un espace métrique, et A une partie de C(X, Y ). On note T u la topologie de la convergence uniforme sur Cb (X, Y ), et T s la topologie de la convergence simple. 1. Montrer que A est relativement compacte pour T s si, et seulement si, A(x) est relativement compacte dans Y pour tout x ∈ X. 2. Montrer que si A est équicontinue, alors l’adhérence Ās de A pour T s est équicontinue. (On pourra d’abord considérer le cas où A est l’ensemble des éléments d’une suite convergente (fn )). 3. On suppose que X est compact. (a) Montrer que si A est équicontinue, alors les topologies de la convergence simple et de la convergence uniforme coincident sur A. (b) Montrer que A est relativement compacte pour T u si, et seulement si, A est relativement compacte pour T s et les topologies T u et T s coincident sur A. 4. En déduire que les conditions du théorème d’Ascoli sont suffisantes : si X est compact, A est une partie équicontinue de C(X, Y ), et A(x) est relativement compacte dans Y pour tout x ∈ X, alors A est relativement compacte pour T u . Exercice 12 (∗) Soit K un espace métrique compact, et Iso(K) l’ensemble des isométries de K. Montrer que Iso(K) est un groupe pour la loi de composition des applications, et que c’est une partie compacte de l’espace (C(K, K), ||.||∞ ). (Pour montrer la surjectivité des fonctions de Iso(K), on pourra considérer, pour tout point a ∈ K, la suite des itérés f n (a)). 2