Préduaux d`espaces de Banach

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
G ILLES G ODEFROY
Préduaux d’espaces de Banach
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 16 (1976-1977), exp. no C3, p. C1-C8
<http://www.numdam.org/item?id=SC_1976-1977__16__A8_0>
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Séminaire CROQUET
analyse)
année, 1976/77, Communication
(initiation
16e
C3-01
=s
à l’
n°
3,
Mars 1977
8 p.
PREDUAUX D’ESPACES DE BANACH
par Gilles GODEFROY
E
Soit
tr
E a pour
que à E .
que "
",
~~
prédual
Je dirai
E
a un
est
F
si
,
G,y
F
est
un
prédual
espace de Banach tel que
un
unique vrédualt1
si tout espace de Banach
à
que "
espace de Banach. Je dirai
un
ou
G’
tel que
que
soit
"
F
"
de
E
F’
soit isométri-
ou
l’ unique prédual
est
à
isométrique
E ,
est
que
E ~~
de
isométrique
F .
Le but de
travail est d’établir des conditions d’existence
ce
ou
d’unicité du
pré-
dual pour certains espaces de Banach.
1. Existence
Soit
où
un
E
=
la
a
E’
Banach,
(F
s.
identifie ,
on
On
E
du prédual.
e.
dans toute la
comme
proposition
E
est
son
bidual. Soit
E’ )- fermé,
est
suite,
E
à
F
E"~ ,
E" .
sous-espace de
un
=
suivante.
PROPOSITION 1. - Soit
1°
F
E" ;
de
v.
E"
dual,
son
isomorphe
E
au
un
espace de Banach. On
a
l’équivalence
dual d’un espace de Banach.
2a ~ ~ ~ .
Démonstration.
1° ==~ 2°. -
sous-espace fortement
G~
d’où
2°
G’
~
est
E
Supposons que
E § .
Par
fermé,
soit
et
isomorphe à G’, où
~~E’ , E)
dense de
G
est considéré
E’ . On
a
alors
comme un
E 63
E" ,y
conséquent ~~ ~ ~ .
Soit G s. e. v. de
10. -
isomorphe à
donc à
E’
tel que
G1 -
F .
L’espace
E .
C. Q. F. D.
Remarque. - La
au
que
~
condition SE ~ ~
n’est pas suffisante pour que
F ~E ~ .
L’orthogonal
F~
de
F
dans
E’
pose
...1-
03C3(E’,E)
n
B
1 -$
o(F)
+ ~ . En
effet,
on a
E)-dense.
est
1(E’)
’
a
soit isométri-
dual d’un espace de Banach.
Soit alors
On
E
le résultat suivant.
_
-1
On
PROPOSITION 2. - Soit
F
plication
est
un
On
Démonstration. - On
induit donc
B
par
E’ .
c~
est
F1
se
On
Fl
n
un
~qT ~
a
E"
a
isomorphisme
~ 1 , où
prolonge
en une
a(V) .
a(E’,E)
a
Bl(Et)
,
~F’~~’
*
dans --Et . L.’.ap-
F
~ 1 .
L’application
E
entre
cela
forme
En
E B F .
cp
muni
on a
isomorphisme ;
un
=
))(p’;j
,et
=
de
&.
1
isomorphisme.
ment
F~ l’orthogonal
et soit
E ~
=
de la
E"/F =
norme
et
duale de la
(F ) ’.
norme
On
induite
signifie que toute forme linéaire continue
linéaire h
de
si
effet,
1
donc
E . On
1
sur
évidemsur
F’1’
h
sur
a
F~
ri
B( E’ ) , alors
(E’) . Et,
sur
a
par
1
sur
conséquent,
sur
De
soit
plus,
Diaprés
le théorème de
E
il existe
Hahn-Banach,
,B)
1
sur
n
BiE’ )
Ceci étant vrai pour tout
.
ey
On
on a
a
alors
!)
==
ho
=
tel que
11 ,avec ~h~
>
1 ,
1 . le
et
plus,
a(v).
C. Q. F. I).
On
peut à présent énoncer
THÉORÈME 3. -
Soit
(i)
(ii)
(iii)
isométrique
E
il
est
E
un
SE tel que
R V ~ E’
tel
que
le théorème suivant.
espace de
Banach.
On
a
les
équivalences :
dual d’un espace de Banach,
a(F) 1 ,
au
==
(ii)
Démonstration. n’est
qu’ une ré-écriture
(i)
nique i(v)
On
une
(i.) .
===~
En
En
est
E
si
effet,
(a)
vérifie
E’
F
soit
effet,
isométrique
(iii)
effet,
e
à
l’image
alors
V y
cano-
(b).
et
tel que
S
E 201420142014-~
l’application
en
=
y
dans
V
de
( ii)
montre que
(iii).
=~
a
Enfin
est
(iii) sont évidemment équivalents ;
F .
de (ii) où V
et
,
=
1 . La
qui vérifie
proposition 3
1 ,
et
(p 1 ))
1
=
isométrie.
C. Q. F. D.
Parenthèse. - Soit ~
l’ensemble des
K ~
NE
l’espace
normes
de Banach des
duit des méthodes
à la
E’ , équivalentes
sur
(E’ , N ) .
la boule unité de
soit
o-( E’ , E)-compacts
l’ensemble des tonneaux
applications
norme
duale ; pour toute
K
Pour tout
affines continues
K,
sur
= S ,
nulles
le résultat suivanti Soit
précédentes
E’ . Soit
de
On
en
a
(3. On dé-
l’équivalen-
ce :
(i)
est
à
isométrique
un
dual,
.
(ii)
Par
il F
~
tels
N
§ ,
une
soit
=
P
cr(E’ ,E)
n
.
conséquent, l’application
~ §.~20142014201420142014.~201420142014~201420142014~~
(F , N) ~201420142014201420149’
’
est
K
que
surjection
de
à
un
isométrique
M
ë
sur
tels que
l’ensemble des tonneaux
dual.
Les résultats obtenus dans la suite du travail montrent que,
thèses,
E’
propriété
la
a
de
Radon-Nikodym,
bien
E
est
séparable
et
est injective.
l’application 03A8
On déduit immédiatement de
(i)
(ii)
R K
Cette
équivalence
résultat
ce
tel
Montrons à
ou
certaines hypo-
sous
isométrique
soit
se
présent
déduit
également
que, dans
l’équivalence :
un cas
de la
à
un
dual,
1.
proposition
particulier,
on
peut
obtenir
un
résultat plus
maniable que le théorème 3.
PROPOSTTION 4. - Soit
~
?
est
=
~f
E
un s.
e.
v.
E" ;
Démonstration. -
cr(E’,
classe pour
a
E
un
Ker f
E’
Banach tel que
n
B~(E’ )
E’)-fermé
soit
soit
séparable.
cr (E’, E)-dense
Soit
)).
dans
E".
de
Remarquons que si E’
E) . Par conséquent,
est
Ker f
séparable,
n
f
toute
est
ê.
~
E"
dans
est de Ire
B (E" ) .
donc
f
e
A
-
Ker f n
B (Et)
est
a(E’ , E)-résiduel
dans
B (E’ ) .
On
Or,
on a
Ker
~)
+
à Ker
L’intersection de deux résiduels étant
R
Pour démontrer que
théorème de
Ker
f .
~
est
il suffit de
E" .
de
démontrer, diaprés
Et
est
v.
e.
un s.
le
E’ étant
)-fermé ;
est métrisable. Il suffit donc de vérifier que si
f
R,
E
n
Or,
Bi(E")
n
n
résiduel ,
un
E’ )-fermé,
est
Banach-Dieudonné,
B 1 (E")
parable,
f
f
n
201420142014~ f
E’ ) ,
pour
f
alors
e
(R .
on a
B~(E’) ~B~(E’) n
Une intersection dénombrable de résiduels étant
Ker
résiduel,
un
on a
C. Q. F. D.
On
alors,
a
~
avec
les mêmes
le résultat suivant.
notations,
~
THÉORÈME 5. - Soit
E
un
E’
de Banach tel que
espace
soit
séparable.
On
a
1~ équivalence
(i)
(ii)
E
est
E"
=
isométrique
au
dual d’un
Banach
E
Démonstration.
(i)
fie à
p
(ii).
un
sous-espace de
Soit
Soit
et,
=~
L’espace
(i).
E’
Bl(E’)
n
~E ~
E’ ,
étant
est
F
de
E .
E". On
a
L’espace
s’identi-
F
o(E’ , E)-dense
soit
n
dans
F
à
isométrique
soit
tel que
dans
les relations suivantes
E (I) ~. E C+~ ~.
Supposons que
qui est
F
F’
tel que
l’orthogonal
conséquent,
par
(il)
F
séparable,
=
E" . Soit
il existe
un
E’ )-dense
dans
résiduel,
donc dense dans
et vérifie
1 .
U~.. On
D’après
a
F
ensemble dénombrable
Ker
F =
f , ce
D
dans
=
qui montre
que
L’espace R appartient
le théorème
4, l’ espace
F’
E’ .
dans
l’orthogonal
est
E.
donc à
isométrique
à
C. Q. F, D.
l’implication ( i ) ~ (ii) ci-dessus n’utilise pas l’hypothèse " E’
séparable" ~ mais simplement le fait que (R. soit un espace vectoriel. Ceci va nous
permettre, dans la deuxième partie, d’établir des résultats d’unicité du prédual.
Remarquons
2.
que
Unicité
Soit
E
un
espace de
Banach,
E’
son
dual,
E"
son
bidual. Nous
noterons,
dans
i(E)
partie ,
cette
du théorème
l’esprit
Dans
6. - Soit
R
On
a
((p
=
E
Ker (p
Ker
conditions sont
=~
(ii).
est,
de
De
~
plus,
(p
B (E") ) .
dans
c-(N~) .
(i)
==~
(iii).
On
est dense dans
E’
)-dense
de
E’ .
dans
On
d’où
(ii )
p
donc
(i.).
i(E)~
toujours
a
plus,
R
n
E’
équivalentes (i), (ii) , (iii)
=
sont
=
réalisées!
(0) ~
et
on a
d’après le théorème des bipolaibien déterminé ;
l’unicité
dans
est donc
de
On
a
Donc
C. Q. F. D.
a
un
E" =
exemple où ?
~~(N~ ,
On voit aisément que
Soit
et
"unique position"
dans
son
n’est pas
U
E
(ii), (iii)
Les conditions
on a
Bi(E")
’
Remarques. - Voilà
Et ,
n
est
n
si les conditions
prédual
une
)-dense
E’
est l’unique prédual
E
i(E) ~~’ (orthogonal
L’espace i(E) , isométrique à E 9
res.
E =
Ker
n
vérifiées,
i(E)
i(E) ~ .
i(E~’~ ,
=
du
E~ 0
(p.
plus, immédiat que
Montrons que
=
a(E" y
est
par
espace vectoriel,
Démonstration. -
Il
E~’ , défini
le sous-ensemble de
i (E) -~ .
=
(iii)
E" .
dans
équivalences :
les
ces
(R
B (E" )
n
E
le lemme suivant.
on a
Banach. Soit
un
=
(i) ~ est un
(ii) V 03C61 , 03C62 ~ R ,
Si
5,
de
Epar l’injection canonique
1 image de
R ,
un
un
espace vectoriel. Soit
ultrafiltre
mais
03C61
non
sur
j~ .
Soit
’R .
+
du lemme 4 montrent
bidual, c’est-à-dire
trivial
en
l’espace E
est un prédual
fait que
que si
F
a
de
i(F) = i(E) .
Nous allons à
présent appliquer
le lemme 6 à montrer
l’unicité de certains
pré-
duaux.
THÉORÈME
7. - Soit
contient pas
l1(N).
E
un
Alors
espace de Banach dont le dual
E
est
l’unique prédual
Démonstration. - Vérifions la condition
ne
contient pas
~~’(N~ ,
d’après
(ii)
de
Et
séparable
E’
est
et
ne
Et .
du lemme 6. Si
la caractérisation de
est
Rosenthal, toute
séparable
cp E E"’
et
o(E" , E’ )
est
de Ire classe. On
donc
a
’
? ~ Ker (p
E
(p
B (En) .
est résiduel dans
B
ri
L’intersection de deux résiduels étant
résiduel,
un
(ii)
la condition
fiée.
C. Q. F. D.
THÉORÈME
E
8. - Soit
espace ’ de Banach localement uniformément
un
l’unique prédual
est
E
est véri-
x
E
est 1.
E’ ) ,
pour
xe
i(E) , ))xt)=
1 ,
E’
)-dense
(x )
On
~
j)x O!
alors
a
B (E" ) ~
de
xj)
e
x
c’est dire que :
B (E)
et
alors
1 ,
=
Et)
(iii).
Si
pour tout
i(E) ~ ))x))
x e
0 , d’où
est nulle
e
(p
tels que
20142014~
2014~
0.
a :
n
-
c.
x
Vérifions alors la condition
or(E" ,
u.
avec
On voit alors aisément que l’on
Si
Alors
E’ .
de
Démonstration. - Dire que
Si
convexe.
x
0 .
=
2014~ x
(p
sur un
1 ,
=
~~-xti-~0.
ensemble
il existe
pour
est alors nulle
sur
i (E) ,
C.Q.F.D.
THÉORÈME
E
Alors
E
9. - Soit
est
1~uni que prédual
Démonstration. - Si
est
l’enveloppe
Or,
on
Et
~
On
j
de
/
le
convexe
exposé
telle quey
C
où
la
a
x
de
au
R ô
W ~ ,
comme
E. La condition
Radon-Nikodym.
que si
en
(iii)
dans
y
E
point
i(x)
Et . Il existe donc
tout
q)
E"
de centre
est nulle
point
nB(i(x) , e) ,
ô)
de
sur
un
i(x)
et de rayon
fortement
& .
E’)-dense
ensemble
exposé,
et donc nul-
est donc vérifiée.
~
C~ Q. F. D.
Remarques. - Michèle CAPON
séparable" était superflue.
a
démontré que, dans le théorème 7,
Les
hypothèses des propriétés 7, 8 et 9 sont vérifiées
espaces considérés, mais pas par les quotients.
Ces théorèmes
l’hypothèse "
1° Les espaces à bidual
séparable (théorème 7),
E’
par les sous-espaces des
permettent d’établir qu’un certain nombre d’espaces
l’unique prédual de leur dual. Par exemple :
j
le
de
tel que
la boule fermée de
précédemment,
exposé
moyen d’un élément de
)f(y) - f(i(x))
désigne
de
Radon-Nikodym, la boule unité
ses points fortement exposés.
est fortement
dans
elle est nulle
sur
propriété
fortement fermée de
=
B(i(x) ~ e)
voit,
E
propriété
de
voit aisément que si
est fortement
f
espace de Banach ayant la
un
de Banach sont
2° Les sous-espaces des espaces duaux WCG
X(h)’
que
est
des
également
~l( r~
le fait que
exemple
est
l’unique prédual de ~-(h~ . Et,
"préduaux uniques".
Enf in,
général
en
(et
leur dual
ont même
de
On
si
=
L2 ,
peut employer
trouve
par
1.
u,
L1 ( R ,
exemple
est
E
de
Poursuivons par
un
ou
ayant
un
1.
u.
énoncé plus
E
PROPOSITION 10. - Soit
Nikodym,
un
a(Et , E)-compact de E’
telle que
S) soit
ou
sont
(L )’ ) ,
unique prédual
serait intéressant de
ayant
la
propriété
de
F
Radon-Nikodym,
contenant
ne
compact,
une
on
a ~ r.
as l1(N) .
topologie S d’e.
=
topologie d’ e,
K
Soit
dans
~.~ 0’ (K~
des fonctions affines
isométrique
(E’ j ) ’ , où jK
9
s’identifie à la
gie |K
sur
est
El ,
les
topologies 0
1.
c.
à
(E , N) ~
p
,
1.
c.
E’
sur
s.
sur
et
nulles
K ’
ces
cr(E’ E)
9
en
N
9
Exemples
1 ° ,~1
(i)
(ii)
2°
de
non-unicité
admet pour
tous les espaces
un
du
0-continues.
K .
position
or, la topoloet donc,
coïncident.
C. Q. F. D.
topologie d’espace
y
il existe
localement
une
seule to-
convexe
prédual.
préduaux :
~(K~ ,
espace qui n’est pas
~~~ ~G , 1~ ~
une
E,
(H! y
et
0~
sur
deux espaces ont même
~~ )-compact
par
(K , ~~
telle que
désigne la jauge sur E’ associée à
topologie de la convergence simple
et
E’
sur
s.
’
Exemple. - Sur tout
pologie de compact induite
ce
tonneau
un
montre qu’il existe une norme
compact. L’hypothèse faite sur
équivalente à la norme initiale, telle que K soit la boule unité de
L’espace
Banach ;
un espace de Banach ayant la propriété de Radon-
soit
1espace
voir, si,y
un
K
Soit
de
n’entrent pas dans les
façon suivante : soit
. Alors, pour toute
Démonstration. - Soit 0
ce
géométrique.
séparable
dual
tel espace, tandis que
un
espace vectoriel.
les théorèmes 8 et 9 de la
un
de Radon-
propriété
la
ayant
dt) , qui
t~unique posi tiont1 dans
théorèmes 7, 8 et 9 ; il
l’ensemble R
ou
c.
c.,
prédual
nécessairement l’unique prédual.
on
sera
E
cas
les
particulier
plus, leurs sous-espaces seront
une
classes définies par les
dans le
E
pour
L~’
les espaces
en
l’unique prédual
Remarquons de plus que si on renorme un espace E
Nikodym, ou tel que E’ ~ ~’‘~(T1J g on obtient encore
n’est pas vrai
et
séparables.
sous-espaces des duaux
On retrouve par
(théorème 9) ,
admet pour
où K
un
est
un
compact dénombrable ,
C(K) .
préduaux
tous les espaces
C(K) ,
où
K
est
un
com-
C3-08
pact métrisable
Ainsi,
ble K 9
non
dénombrable.
l)) ) ~
B 1 (~~(~0 ,
sur
il
existe,
topologie "localement
une
On voit que, dans
cas, il
ce
n’ y
me
est
4. Soit
l~(0393)"
OE
Identifions
a
des résultats
complémentaires
de ~ f ~ ~ . - Vérifions
B1(l~(0393)’)
que
telle
à
(p
1~ ) ) ) ’‘
K .
la
précédents.
propriété (iii)
du lem-
l~(0393))-
n
est-elle nulle
~( ~T) .
Soit
isolé dans
x
On voit aisément
qu’on
le lemme suivant.
Soit
x
Soient
(B)
CD
ble des
e.
s,
v.
E
K .
telles que
e
0 .
""’~
telles
Ker 03C6
vaguement ;
0 . Ceci étant vrai pour tout
(V E ~(E" ) 9
x
on a
isolé dans
~r ,
V n
Bi(E")
3(E")
l’ensem-
où
E"
est
est le
unique, car ?
V
)-dense
prédual
tout
de
(i), (ii)
et
E
18 villa du
75019 PARIS
et
appartient
(iii)
est
ce
on
voit aisément
qui explique
du lemme 6 sont
en-
).-~ ô .
On
a
donc
est
inductif ;p
il
le théorème 5. Cet élément minimal
séparable,
immédiatement l’unicité du prédual.
est stable par intersection. En
E’
que
effet,
si
(Texte
Gilles GODEFROY
B I. (E~~ ) ~ .
dans
plus petit élément
séparable,
élément minimal,
un
E~ . - Soit
à la condition suivante ?
(E)
existe donc
E’
Et! ,
sur
de
E" . Soit
. De plus,y les conditions
équivalentes
cas
l’unique prédual
est
hypothèses particulières
Dans le
tout
=
e
fortement fermés de
(IV)
est
n
séparable,
est minimal dans
core
~~~ -
c~ , d’où
est
S ==
Sans
isolé dans
x
0
=
E"
Si
compacty
alors 03B1 E
----~
on a
K
vaguement. Alors
e
~,
!
dénombra-
compact "canonique".
l’unique prédual
B1(l~(0393)’) .
dense dans
de
topologie
aucune
a
non
~(B 1 (~’~((C y
telle que
Terminons par deux démonstrations
(A) ~ (~’)
compact métrisable
pour tout
E"
est
reçu le 5
mars
1977)