Compacité faible dans les espaces localement convexes

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
J EAN -L OUIS C LERC
Y VES C OLIN DE V ERDIÈRE
Compacité faible dans les espaces localement convexes ;
applications aux espaces du type C(K) et L1 (µ)
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 7, no 2 (1967-1968), exp. no B2 et B3,
p. B1-B24
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B2-01
Séminaire CHOQUET
(initiation, à l’Analyse)
année, 1967/68, n° B.2
7e
COMPACITÉ
30 novembre et 7 décembre 1967
et B.3
FAIBLE DANS LES ESPACES LOCALEMENT CONVEXES
C(K)
APPLICATIONS AUX ESPACES DU TYPE
par Jean-Louis CLERC et Yves COLIN de
Notations. - On
sera
à employer,
appelé
L1( )
VERDIÈRE
préciser,
les
sans
ET
les notations suivan-
tes :
E : espace
vectoriel topologique
E’ :
son
dual
E" :
son
bidual
topologique ;
L(E , F) ,
u E
K :
un
espace
M :
un
espace
u’
fort) ;
E’
(complété
E’
de
de
est
sa
tra~nsposée,
faible de
u"
sa
E);
bitransposée ;
topologique compact ;
topologique localement compact ;
C(K) : l’espace
norme
(dual
algébrique
le dual
Si
localement convexe ;
numériques
vectoriel des fonctions
de la convergence
continues
l’espace vectoriel des fonctions numériques continues
à l’infini, muni de la même norme ;
~ : mesure de Radon sur K y ou mesure de Radon sur M ;
(~.~ (M~ ;
S1( ) :
L~( ~ :
de la
espace de Banach des
mesures
espace vectoriel des fonctions
l’espace
~ (~,~ ~ L (jj) :
I.
1. Le théorème de
DÉFINITION
Smul’jan si
Exemple ?
sur
de Radon bornées
numériques
de Banach des classes de fonctions
M
sur
tendant
K
vers
( sur M );
-intégrables ;
numériques intégrables
muni
usuelle ;
norme
sous-suite
muni de la
uniforme ;
C~(M) :
0
K ,
sur
notations
classiques.
ilisJ
espaces localement convexes ( e. 1. c.)
Smul’jan.
1.1. - Nous dirons
espace topologique X
de toute suite relativement compacte de X , on
convergente dans
Tout espace
qu’un
a
la
peut extraire
X .
topologique métrisable
a
la
propriété (S)
propriété ( S) .
une
de
PROPOSITION I. ~. -- Si
F)
K
l’espace
CS(K;
topologie
de la convergence
est un
F
compact,
des fonctions continues
topologique métrisable,
à valeurs dans F , muni de la
espace
K
sur
propriété (S).
a la
simple,
un
Démonstration.
(a)
partie dénombrable partout dense D ~ et
sur toute partie relativement compacte de
F) , la topologie de la convergence simple dans D est séparée et moins fine que la topologie induite, donc lui
est identique. Une telle partie relativement compacte est donc métrisable, ce qui
prouve la proposition.
Si
K
est
métrisable,
il admet
une
CS(K,
(b)
K
Si
n’est pas
CS(K;
pacte dans
métrisable,
F) ,
considérons
et la relation
une
(f )
suite
d’équivalence
R
sur
F)
K/R est compact, et
P) . De plus, K est métrisable ;
L’espace topologique
=
espace fermé de
relativement
com-
K :
s ’identifie à
un sous-
effet, considérons
sur K la topologie la moins fine rendant continues les applications
de K
dans P , cette topologie est évidemment séparée, moins fine que la topologie quotient; elle lui est donc identique, de plus F étant métrisable, elle est métrisable. 0n peut donc extraire de f
une suite
f
simplement convergente vers
n
en
n
-
, continue
sur
-
,
1£ .
Cette suite
f
nk
convergera
simplement
vers
03C6
dans
F) .
PROPOSITION 1 . 2 . - Si
Soit
Cs(XJ
(f )
F)
une
-j£
X
1,,£
est y£e réunion dénombrable de compacts, ,et
(S).
suite relativement
compacte
dans CS(X ;
F) ,
F
métri-
pour tout
compact
X ;
compacte dans
n
F) ; on Peut donc en extraire une suite simplement convergente vers une
fonction D . 0n peut donc, par un procéàé diagonal, extraire de (f ) une sui te
n
simplement convergente en tout point de X j cette suite étant de Cauchy, converge-
K
de
ia suite des restrictions de
f
à
K
e?t relativement
Cs(K ;
ra
évidemment
vers une
fonction continue.
THÉORÈME I , l (de Ômul ’ j m) . - Si lll est u£ e. l. c. métrisable, l’espace lll muai
i_a topologie J ( B , " ’ ) a_ ia propriété _de
,c,’ ,e s_£-_bflire que _de ,t_Oy=
te suite
relativement compacte dans E , o£ peut extraire une
~,>
~’ .
En effet
R) ,
De
faibles
On
en
E’
où
E
est le dual
faible
comme un
(prendre
de
topologique
muni de la
f aible.
topologie
est réunion d’une suite de
E’
base dénombrable de
polaires d’une
les
sous-espace
E
de
topologique
est fermé dans cet espace, et
E
plus,
peut considérer
on
0
voisinages de
déduit le théorème de Smul’ jan par application de la proposition
compacts
E).
dans
précédente.
2. Le théorème d’Eberlein.
DÉFINITION 1.2. - On dit qu’un
(~~, si toute partie A de X,
rence
dans
est relativement
X,9
1’espace
J
F)
K
compacte
Démonstration. - Soit
met
une
valeur
A
d’adhérence ;
A
9
est
il suffit donc de montrer que si
A
pour la
nant par
l’ absurde,
que pour tout
On
peut
(x ) n;0
La
soit
un
x~
v
de
alors construire
une
voisinage
points
possibilité
truction faite
de
g
on
une
dans
simple
suite
K,
x
dans
peut trouver
x
n
adhérente à l’ensemble des
n
et
x
v
r
adhérente à
E >
0 ,
tel
d(g(x~ ~ g(x~))
avec
À
de
Supposons
et
une
>, E .
suite
(1)
Soient alors
f
effet la
en
cons-
signifie que l’on prend
simple dans
points d’un voisinage
une
dans
elle est continue. Raison-
pour la convergence
vérifiant (2) .
(fn) ,
la
suivantes :
l’expression
tous les
F
dans
de fonctions de
propriétés
(fn-1
n- , xn-1)
n- ,
K
compacte
n’est pas continue et
g
n1
et relativement
fonction de
il existe
un
a
dont toute suite extraite ad-
d’une telle construction est immédiate.
jusqu’à
complet,
topologique métrisable,
espace
F)
9
point où
fn dans voisinage donné de g
f n choisie, (3) est vérifiée pour
lequel
est
vérifiant les
K
un
de
n
de
F
tout espace uniforme
précompacte
de la convergence
topologie
valeur d’adhé-
d’Eberlein.
partie
une
°
une
d’Eberlein
X.
dans
compact,
un
propriété
la
a
est
propriété
dont toute suite extraite admet
Exemples : Tout espace topologique métrisable,
propriété d’Eberlein.
PROPOSITION 1.3. - Si
X a la
topologique
espace
une
K. Une fois
V
de
x0
dans
fonction continue
valeur d’adhérence de la suite
(xn) .
(1) implique
(3) implique
Donc
que, pour tout
i
que, pour
g(xj) ;
=
fi(x) =
a
g(xO) f(x~) = f(x) .
=
f(x.) .
d’adhérence des
THEOREME
E,
Il y
A
Démonstration. - Soit
E’
un
espace localement
E’) , possède
de
partie
une
qui s’identifie
complété
au
convexe
complet, l’es-
propriété
la
d’Eberlein.
dont toute suite extraite admet
E
est relativement
A
E .
valeur d’adhérence faible dans
algébrique de
montrer qu’une
est
E
topologie f aible
muni de la
est valeur
donc contradiction.
a
Si
1.2
f(x)
alors que
n’est pas valeur d’adhérence des
Or
pace
i,
1 f on
compacte
faible de
E ).
dans
une
E’ (dual
Il suffit donc de
E’ , adhérente à A pour la topologie
de la convergence simple, est dans E . Soit K une partie équicontinue faiblement
de la
compacte de E’ ; la restriction de X à K est adhérente pour la topologie
de A à K , lequel est
convergence simple dans K à l’ensemble des restrictions
relativement
numérique
fonction
restriction de
X
forme linéaire
sur
E’ ,
continue, est un élément
supposé E complet.
précédents
certains problèmes
Les théorèmes
Par
exemple,
on
la
sait
proposition précédente.
(théorème
de
Donc la
Grothendieck) qu’une
partie équicontinue de E’
E ,, c’est-à-dire ici de E , car on
dont la restriction à toute
est
ramener
d’après
est continue. Or
K
à
sur
C S (K ; ~~ ,
dans
compact
X
complété
du
ont
de
d’importantes applications,
de convergence à des
le théorème suivant et le
problèmes
ils
car
permettent
a
de
de convergence de suites.
théorème de Krein que
nous
étudierons ensui-
te.
THEOREME 1.3. - Soient K un
tions numériques continues sur
partie
pour
A
de
espace
muni de 1 a
K
C(K)
compact,
C(K) l’espace
de 1 a convergence
norme
qu’elle soit bornée et relativement compacte
topologie de la convergence simple.
évidente,
topologie faible.
Condition nécessaire : Elle est
ple
est moins fine que la
Condition suffisante : Soit
dit
1.1
nous
une
fonction
qu’on peut
en
unif orme ;
compacte,.. il faut et
l’espace C(K) muni de
soit faiblement relativement
il suffit
la
de Banach des fonc-
(f )
extraire
03C6 . Cette fonction
ca
une
une
car
la
dans
topologie
proposition
simplement convergente vers
suite contenue dans
suite
(f )
de la convergence sim-
A ;
la
est alors valeur d’adhérence faible de la
( f ),
suite
car, pour toute mesure
(fnk)
K,
sur
tend
(théo-
vers
Lebesgue).
rème de
3. Le théorème de Krein.
Nous
aurons
besoin d’un lemme
LEMME 1.1. - Soient
application linéaire
E
resservira
qui
séparé,
1. c.
un e.
continue de
E
dans
plusieurs fois dans
F
l.
un e.
F. Les
la suite.
et
complet,
c.
propriétés
une
u
suivantes sont
valentes :
(a) u transforme
de F
(b) La transposée
u’
parties
rel ativement
(c)
La
les bornés de
bitransposé e
de
u"
en
parties faiblement relativement compactes
transforme les parties
u
de
E
compactes de
a lique E"
u
équicontinues
de
F’
E’ ;
dans
F.
Démonstration. - Rappelons que E" est la réunion des adhérences dans
de
des parties bornées de E.
(a)
F"
dans
(c) :
~= >
(c)
Si
B
est
est contenue dans
(a) :
==>
En effet
relativement compacte pour
(c)
u’
(b) :
.---~
En effet
une
partie bornée
F9
donc
B
ties
(b)
sur
les
de
u"
est continue pour
E
est dense dans
F
est
Donc
en
de
u(B)
faible de
u"(B)
donc
est
que
u"
et
F"
F’ . Pour
ces
cr(E", E’ )
F’ ) ,
et
et transforme les
équicontinues)
parties
de
F’
en
donc
fai-
par-
est continue
quand on munit E" de la tode la topologie de la convergence uniforme
topologies, on a les propriétés suivantes :
E" 9
sous-espace fermé de
u" , qui applique
THEOREME
En) ,
et
T(E" , E’) ,
équicontinus
un
compacte,
particulier les parties
relativement compactes de E’ .
Mackey
E, l’adhérence
muni
9
(c) : (b) implique
=>
pologie
(donc
de
~
E’
a(F F’ ) .
est continue pour
blement compactes
a(E" y E’)
est
en
E
dans
F"
(car
F
F, applique
complet).
son
adhérence
E"
dans
F .
(KREIN). - Si E est un espace localement conv e xe complet, 1 ’enveloppe disquée B Ci.._ e. convexe équilibrée) de toute partie faiblement compacte
A
de
E
1.4
est f aiblement relativement
compacte
dans
E.
Démonstration. - Soit
F
sons
de la
(car
est faiblement
u
pactes
compacte. Comme
partie
A
fermé,
donc
E’
que l’on
dans
une
F’ , formé
B’
une
sont donc les
compacte
u’(B’)
E
et
F
y’
H
H
de
sont deux
de
E’
en une
F’ ,
dont la
de
de
est évidemment
un
aces
l. co,
parties
faiblement compactes de
u’ applique évidemment
u’ (B’ ) est une partie
localement
nous
Les
C(A) ,
u’(B’)
donc
fallait démontrer.
qu’il
ce
e.
E’ ;
C(A) .
est bornée dans
de
II. Etude de deux classes d’es
Notations. - Si
des
Et) .
q
parties
partie équicontinue
et
a(F’ , F")
du lemme 1.1. Il
F’ . De plus, si
de
compacte de
partie
topologie
caractérisées dans le théorème I.3. Or
H . Soit
relativement
est
a
com-
F’ .
de
H
(a)
partie équicontinue
sous-espace vectoriel fermé de
de
compactes
est évi-
applications faiblement
les
transforme toute
complet,y
un
B . Munis-
et le théorème dit exactement que
normé,
est
est continue pour la
s’identifie à
H
F
le sous-espace vectoriel du Banach
sous-espace
C(A) ,
u’
compacte
restriction à
Donc
E ),
par
F -~E
u ~
applications vérifiant l’hypothèse
suffit donc de montrer que
H
L’application canonique
est bornée dans
B
sont exactement les
Soit
B .
de
engendré
E
le sous-espace vectoriel de
jauge
norme
demment continue
F
convexes
désignerons
par
03B2(E ; F)
applications linéaires continues de E dans F transformant les
parties bornées de E en parties faiblement relativement compactes de F . Toute
F) .
application de E dans F faiblement compacte au sens habituel est dans
Si E est un Banach, les applications de
sont les applications faible9 F)
ment compactes de E dans F .
l’ensemble des
Nous allons
intéresser
nous
aux
possédant
E
espaces
deux suivantes :
-
Si
u
et
v
en
Si
u
sont dans
est dans
suites de
propriétés
du
type des
.
parties précompactes
-
des
Cauchy
de
p
E) ,
v
0
u
transforme les bornés de
E
en
E ;
p(E ; F) ,
fortes de
u
transforme les suites de
F .
Nous utiliserons le théorème suivant :
Cauchy faibles
de
E
THEOREME
E ;;
II.1. - Soient
E
un
c.s ~
1.
e.
parties bornées
ensemble de
un
de
désignerons par X l’ensemble des parties équicontinues disquées
E") compactes de E’ ;9 les hypothèses suivantes sur (E , 6) sont équiva-
nous
y
lentes :t
(a)
u(A)
(b)
(c)
F)
complet, toute u de
une partie relativement compacte de
F ;
A ~ 03B4 sont précompactes pour la %-convergence ;
sont précompactes pour la ~convergence.
Pour tout
est
Les
Les
( a)
====>
cation
l.
e.
F
c;
(b) : Soit ~
canonique
de
E
),
et
u
le
complété
dans
EF
E
de
(les
E ),
de 6 ,
A
et toute
!-convergence. L’applide F sont des parties
muni de la
est continue
,
B
u’ , qui est l’application identique de E’ dans E’ , transforme les parties équicontinues de E’ conen parties
sidéré comme dual de
E~ (c ’est-à-dire contenues dans un B
E") relativement compactes du dual E’ de E ( application du lemme I. l) .
donc A est précompacte
Donc u(A) est une partie relativement compacte
équicontinues
dans
Et
de
est dans
u
E~ .
(b)
==>
de la
(a) :
Soit
de la
topologie
F) ,
u E
I.1) . Donc,
faiblement fermées de
de
(b)
et
(c)
X
et
Y
LEMME IT .1. - Si
s ont deux esp aces
parties précompactes
Pour toute
x E A
est
(b)
Même
On
E
Y = E’
A
de 6 ,
précompact
de
X
pour la
(lemme
de F
x
dans
Y
topologie
A
et
un
et
b~x , y)
y
une
espace uniforme
applications
de la
(resp. T )
6
~--~
y
£§-convergence
B , 6
x
sur
et
un en-
application
les
Z,
ro-
b(x ~ y) pour
C(Y, Z) ;
y,
X
Y.
et
le lemme à :
muni de la
topologie faible,
E’ ) ,
muni de
b(x , x’) = (x , x’ ) ,
E’ ,
E
la forme suivante :
sous
uniformes,
( resp. Y ) 9
l’ensemble des
propriété en permutant
applique
=
B
parties
en
résulte du théorème d’Ascoli
séparament uniformément continue de X
priétés suivantes sont équivalentes :
(a)
F’
munit
transforme les par-
u’
car
on
u(A) est préA , élément de 6 , est précompacte dans
F ~ et comme F est complet, u(A) est relativement compacte.
L’équivalence
semble de
est continue si
u
comme
dans
compacte
montrons que
fil-convergence. C’est évident,
équicontinues disquées
ties
X
car
donc faiblement
6
et F
étant des familles de
précompactes.
Donnons maintenant deux définitions.
parties bornées
de
E
et
DÉFINITION 11.1. - On dira
(notée (DP)),
6
(notée (DPS)),
6
Nous
verrons
De
qu’un
propriété de Dunford-Pettis
équivalentes du théorème II.1 où
E a la
1.
e.
c.
E
a
la
est l’ensemble des suites de
que les espaces du
C(K)
où
E .
de
et du
L ()j)
type
ont les
(DPS).
et
il résulte immédiatement du théorème II.1 et des
plus,
de Dunford-Pettis
propriété
Cauchy faibles
type
E .
de
vérifie les conditions du théorème II.1
E
si
plus loin
propriétés (DP)
c.
parties disquées faiblement compactes
est l’ensemble des
DEFINITION II.2. - On dira
stricte
1.
e.
vérifie les conditions
E
si
qu’un
définitions,
la propo-
sition suivante :
PROPOSITION 11.1. - Si
et
u
compactes
particulier,
nous
de deux
D’où
o
v
c.
transforme les bornés de
u
avons
E
la
re-
proposition suivantei
est
endomorphismes
un
espace de Banach et
faiblement
a
E
de
compacts
la
est
propriété (D?)~ le
un
~
’
déduit,
en
prenant
u
pour
et
v
endomorphisme
com-
’
l’application identique
avoir la
peut
ne
E
de
dans
propriété (DP)
~’
est de dimension finie.
Si E a la propriété (DPS)y et
application ue p(E ; F) transforme les suites
PROPOSITION 11.4. -
suites
parties
en
proposition suivante :
s’il
toute
E
et si
~’
PROPOSITION 11.3. - Un espace de Banach réflexif
que
propriété (DP)y
la
complet ayant
E .
on
la
E ,y
1.
un e.
E.
de
PROPOSITION 11.2. - Si
produit
pact de
est
E) y
sont dans
v
lativement
En
E
convergentes dans
PROPOSITION 11.5. -
Si
F
est
de
Cauchy faibles
un e.
1.
complet~
c.
de
E
en
F.
E
est
un
Fréchet et
a
la
propriété (DPS)y
il
a
la pro-
priété (DP).
Soient
F
un
ment compacte de
me
de
mul’jan,
e.
1.
c.
complety
et
u
e
F) ;
soient
A
une
partie
faible-
u(x ) une suite extraite de u(A) ; d’après le théorèE , y
on peut extraire une sous-suite
(x ) faiblement convergente de
=
~Tc
(xn) , u(x )
est alors
valeur d’adhérence. On
pacte
(F
PROPOSITION II.6. - Si
F
effet,
E
et
A
PROPOSITION II.7. a
En
ties
la
( ~’ désigne
E" ~,
de
THÉORÈME
com-
complet dont toute
E
vérifie
(DP),
précédemment 9 (x )
diaprés le théorème
x ;9
u(A)
E
est
les
II.l)
est
y
(qui
Cauchy faide Krein, l’enveloppe disu(A) est compacte, et
suite de
et fortes sont identi-
fort
a
appliqué
à
la
propriété (DP),
fort,
parties de F
topologie de la
sont les
les paravec
les
précompactes pour la
des parties équicontinues disquées
sont
l’ensemble
qui
E’
et si
Banach,
un
Cauchy
(DPS).
vérifie
E
une
compacte, donc
topologies faibles
suite de
fine que la
plus
topologie
E "t)
6-convergence (nota-
de la
II.2. - Si
E
est
espace de
un
Banach,
les deux
propriétés
suivantes
équivalentes :i
(a)
(b)
E
vers
E
a
(a)
propriété (DP~ ;
la
Pour tout
F
x
dans
e.
1.
c.
F
un
e.
1.
c.
x dans E,
u(x. , y.)
===>
et
qu’il
existe
La suite
de
xi
application bilinéaire continue u
G ,y si (x.) est une suite f aiblement convergente
une suite f aiblement convergente vers
Yo dans F ,
complet,
et toute
u(x.. ~ y..)
vers
(b) :
signifie que, pour tout
La conclusion
une
=
au
cas
application linéaire
vy i
converge
Krein, appliqué
vers
à la suite
G
où
x’ 0
(x.)
vy 0
z’
de
G’,
est le corps de base. Mais alors
continue
=
G.
dans
converge faiblement
de sorte que l’on est ramené
me
limite pour
II.1).
tions du théorème
de
si
c.
effet, d’après Iténoncé (b) du théorème
E") compactes de E’
disquées
compactes
sont
vers
sur
Si
propriété (DP).
notations du théorème
gence
sa
donc relativement
précompacte,
est faiblement
de
u(x ) convergente (car
ques) .
E
1.
un e.
comme
u
ble convergeant faiblement
quée fermée
est
convergente, et
faible est faiblement
en
est
admet
complet).
est
Soient,
u(A)
déduit que
en
u(x )
et
convergente,
suite
une
v
F
de
au sens
et à la suite
dans
E’
(yj) ,
sait
fort telle que
E") .
de
on
Or le théorè-
montre que
l’enveloppe
disquée fermée
compacte).
uniformément
(b )
(x.)
(b)
Le
dans
(resp.
du théorème II.1
Si
pacte À’ de Et ,
pourrait trouver e
théorème de
xJ :
vers
xJ
et
°n
et
0 ,
il existerait
converge
que(x.i , xJ))
%
i
extraire de
xl i
et,
e ,
sur
en
alors contredite par le
triplet
com-
à’ . On
utilisant le
suite faiblement
une
suite
une
u(E’ , EU) ,
partie
une
converge pas uniformément
ne
tels
Smul’jan, on pourrait
l ’hypothèse (b) serait
L1( )
(x. )
convergente
(E , 2’ , (. , .)) .
Cas des espaces L1 et C(K)
C(K) £nt les propriétés (DP)
et
(DPS).
et
propriété (DPS),
_a la propriété (DP),
Ô° a ia propriété (DP),
C(K) _a la propriété (DP),
C(K) a la propriété (DPS).
,j _1,a
(1)
a
( 1)
(2)
( 3)
(2) ,
en
( 3) ,
(4) ,
==
K
compact
°°t°=
( 3)
=
est
vertu de la
en
effet,
É°
tel que
É°
(5),
vertu de la
=
Donc,
en
soit (fi)
+
2° Il existe
g
du fait que dans
proposition II .7,
est
une
et du fait que
C*-algèbre
de
Soit
(X
localement
compact)
suite de
Cauchy
faible dans
C0(M) ;
une
démontrer que
(L1)’ É° ;
=
donc il existe
un
a
la
propriété (DPS).
on
sait que:
Cx> ,
borélienne
bornée,
et
f,i (x) =* g(x)
2° , on utilise la mesure de Dirac e x
suffi s antes , d ’ aprè s le théo rème de Lebesgue.]
X
toute
proposition II.5.
montrer le
l eurs
Banach,
L1 ,
résultera.
une
))f, i, Î) m
1°
(5).
C(K) ;
Nous allons démontrer que
Le théorème III.1
=
proposition II.6, et
faiblement convergente;
en
en
( 4)
==
vertu de la
Cauchy faible
=
( 4)
(2)
=
==
suite de
[Pour
propriété ( DP) ,
vers
i
II I . I . -
L1
L1
(I)
( 2)
( 3)
( 4)
(5)
(x.1 )
à’
G
de conclure que la suite
.
convergente
III.
THÉORÈME
permet
(resp. u(lil’ , En)
compacte
( xi 1 )
telles que
~
u(E , E’)
est
n ’ avait pas la
E
faiblement
B ,
xJi )
de
l’ensemble de s
sur
( a) :
=>
(x.i )
de
partie faiblement relativement compacte
((f. ) , p)
converge uniformément en
( ~
en
;
ces
dans M1(M) ;
chaque point.
conditions sont d’ail-
devons
nous
X) , quand
1
-
m
(condition (b)
ne
peut être
rapport
compte
une
uniforme. Mais
00
p
à t~==
tout
compact) ,
on
sur
fonction
(f. )
h
g
voit que le
Lebesgue. Tenant
presque-partout, converge
théorème sera démontre lorsqu’on aura
converge
en mesure
L1) ,
parcourt
une
i.
partie
H
Dunford-Pettis,
e.
en
d’après
posant
le choix de
K ~
~(KBK~)~~
d’après
la définition de
K
i
tout
sur
compact ;
tend
f.
faiblement
compacte
vers
H
faiblement relativement
il existe
alors, d’après l’hypothèse
convergeant
suite uniformément bornée dans
une
~
de
le critère de
car
les mesures sont absolument continues
le lemme suivanti
Démonstration. - Soient
D’où,
on
alors le théorème de
appliquons
(toute suite, qui
au sens
Mais
qu’alors
d’Egoroff
vers une
quand
H y pour
Lebesgue, cette limite
pourrait extraire une
laquelle la convergence ne
l’absurde ;
dans
sait
on
1 2014 ~ ;
LEMME 111.1. - Soit
g
( 03C1)
suite
le théorème de
du théorème
en mesure
prouvé
et
Raisonnons par
déjà
soit pas
par
(g, )~) .
que
(f )
sous-suite
II.1). Or, d’après
du théorème
sur
un
de
(Fn)
,
n
J gh
vers
uniformément
d
L
et
compact,
compact K ~
la suite
alors elle converge
>
il existe
0 ,
N
e >
0 .
D’après
tels que
tel que
m
Remarque. limite
comme
On
peut remplacer
sur
en mesure
tout
la suite par
un
filtre
quelconque admettant
g ~ L
compact.
application linéaire faiblement continue ( ) de
dans un e. 1. c. sépare F . Alors u est faiblement compacte, et transforme toute
suite de L (~) ~ qui est bornée et qui converge en mesure sur tout compact vers
en une suite fortement convergente vers
u(g) .
COROLLAIRE. - Soit
En
u
nues
de
que
u
F
et
une
la boule unité de
effet,
par
u
est faiblement
F’
en
est
compacte.
parties
est faiblement
L
Mais alors
de
continue, lorsqu’on munit E L de la topologie
topologie initiale. Le lemme précédent permet alors de conclure.
encore
de la
compactes
image
son
parties équicontice qui signifie
transforme les
u’
faiblement relativement
par suite
compacte ;
=
faible compacité dans M1(M)
IV. Critères de
L’intérêt d’étudier la faible
compacité
de la remarque sui-
provient
vante :
Remarque. - Soit u :
faiblement compacte revient à
unité de
THÉORÈME
E’)
est
une
IV.l. - Soit
-~ E
E
désigne
o-(~ (M) y (?’" (M))’)
une
un
Banach. Dire que
(u’(y’) ~
dire que 1~ ensemble
partie
H
y où
partie faiblement
est
dans la boule
y’
relativement
relativement
u
compacte.
compacte
de
M1(M) .
Alors :
(a)
Il existe
une
mesure,
(b) H 6
en
Soit
une mesure
fait
t ant
correspondre
que partie de
la
mage est exactement
ment continues par
positive, bornée,
positive bornée
sur
est
une
mesure
(théorème
rapport
sait que c’ est aussi la bande
(1)
Par
L1( ) ,
topologie faible de
de
, sur M y
est f aiblement rel ativement
L ’ application, qui à g ~
application linéaire continue,
désigne
engendrée par
on
compacte.
M .
Lebesgue-Nikodym)
on
telle que
encore
,
entend la
l ’ensemble des
par
au sens
L ~(~,~
de
mesures
cette
dont l’iabsolu-
image. On
Bourbaki [1].
topologie 03C3(L~ , L1) .
Démonstration. - Rappelons d’abord
~,~’ M
est
une mesure
un
résultat de KAKUTANI
[4] :
Tout espace
isomorphe, en tant qu’espace de Banach ordonné, à un L~ (v) ,
positive sur un espace localement compact T. H 9 considérée
partie faiblement
relativement
Dunford-Pettis. Pour tout
compacte
satisfait
ainsi trouver
peut
on
n,
I~~ ( v~
de
comme
critères de
aux
compact
un
est
Kn , tel
que
Kn ~ kn-1 ,
00
Soit maintenant
=
U K ; tout élément de
~
H
est alors presque
nul hors
partout
1
Q . Considérons alors la fonction
de
C’est
fonction
une
et donc
H
Q
(voir
positive, intégrable
chap. II,9 § 1,
BOURBAKI
engendrée
est contenue dans la bande
Par
isomorphisme inverse,
contenue dans la bande
dessus,
Nous
H
avons
H
prouvé (a) ;
réciproque est
H
n°
par
ainsi trouvé
par
03BB . Ou
positive
sur Q . Par suite
proposition 6)
corollaire de la
5,
f .
mesure 03BB , telle que H
encore, diaprés le commentaire
une
soit
ci-
L1(03BB) .
ainsi
une
le
(b)
résulte de
ce
L (B)
que
est fermé dans
évidente.
de 3~ (M) ;
partie bornée
les
propositions
suivan-
est faiblement relativement
2° Pour toute suite
mément
a
engendrée
THEOREME IV. 2. - Soit
tes sont équivalentes :
1°
on
est contenue dans
Enfin la
et strictement
(fi)
de fonctions
bornée, convergeant
lim -
chaque point
en
vers une
pour
toute
fonction
~ H ),
unifor-
on a
g ,
r
r
fi
3° Pour toute suite
d s =
uniformément
quand
de fonctions f aiblement
=
4° Pour toute suite
lim (0j)
=
1
d
g
(f.)
d
,
(mesurables
0
uniformément
quand
parcourt
convergente vers 0
parcourt
d’ouverts disjoints deux à deux,
0
uniformément
20142014201420142014201420142014
quand
201420142014
H ;
on
parcourt
201420142014201420142014
H ;
a
H
9
dans
5° Les deux conditions suivantes sont vérifiées :
(a)
tenant
Pour tout
et pour tout
E >
0 ,y
il existe
un
ouvert
U y
con-
et tel que
K,
(b)
K
compact
Pour tout
E
> 0 ~
K
compact
1°
=>
2° : Cela résulte du théorème
2°
=>
3° : Cela est clair,
d’après
tel que
et du lemme III.1.
III.1,
la caractérisation des suites faiblement
convergentes
3°
4° : Si le 4° n’était pas vrai,
=====>
de
mesures
On
pourrait
1
4°
et
et
sui te
suite (On)
ce
> e ,
(a)
5° : si ie 5°
=>
ce une
| fi d i|Î
(Vn)
un
ne
prendre
rencont rant p as
De même pour le 5°
Enfin
5°
toute suite
( n)
====>
( n)
telle que
0~ ,
construire par récurren-
pourrait
extrai te de
H ,
et
une
le 4°.
’~ n+1 (V n n ~K~ ~ > E ,
n+1n+1) | > ~ 2 , donc ouvert
et
on
voisinages de
la construction f aite
Il suffit alors de
suite
une
contredit le 3° .
n’était pas vrai,
telle que
n
qui
0 ,
tels que
contenu dans
support compact
ce
trouver e >
K , une suite (yàn)
d’ouvertsrelativement comp acts , t el s que
de
qui contredirait
Supposons
à
f
alors trouver
(0i) ,
suite d’ouverts
une
pourrait
on
un
jusqu’au rang
donc ur~ compact
relativement
n 9 il existe alors
K n+~ ~
compact o n+1
voisinage ouvert de
K ,
~K
E
une
H,
tel que
tel que
soit
y
contenu dans
On~ ~ °
(b).
~. ° : En vertu du théorème
extraite de
est contenue dans
un
H
espace
admet
d’Eberlein,
une
L1( ) ;
il suffit de montrer que
valeur d’adhérence faible. Or la suite
on
lisons alors le critère de Dunford-Pettis : il
se
ramène donc à
nous
un
espace
suffit de montrer que
L1 ;
uti-
~b~ . Supposons
la deuxième condition étant exactement le 5°
on
pourrait
alors trouver
extraite de
V
Posons alors
les
mesures
tendent
(a) implique,
Or le 5°
a >
0 ,
Soit,
par
suite,
soit
K’ ~
Mais
on
peut
Mais les
vers
peut
H
~
un
compact
K. ;
on
a
un
K
au
M,
et
une
suite
que pour tout ouvert
V
et
Vn
tel que
et
n
intégrale
suite de
compacts
leur intersection
ouvert
suite décroissante d’ouverts dont
tel que
contenu dans
n
n
une
une
complémentaire,
K C V
compact
Kn
forment
0 . Soit
trouver
un
minorer la deuxième
K’
ouvertes de
faux,
n
par passage
il existe
tout
parties
soit
et telle que
0,
vers
forment
V
U.. Les
U
=
n
de
ce
telles que
H ,
n
(Un~
suite
une
donc que
U ~ K
non
tel que
en
remarquant
non
que
vides, dont
vide. On
a
(K) =
les mesures décroissent
0 ,
et par ailleurs
on
Mais
K
comme
D’autre
est de
il existe
part
nulle, il vient
mesure
THEOREME IV.3. - Soit
tel que
n
un
localement
M
D’où
K’ n C V .
l’espace vectocaractéristiques de fermés
compact. Désignons
03B20
par
engendré par les fonctions
soit faiblement relativequi sont des G . Pour qu’une partie bornée de
ment compacte, il suffit (et il faut évidemment) qu’elle soit relativement compacte
riel des fonctions
pour la
M
sur
topologie
contient
On sait que le dual
tions bornées sur
et,
Bu
rons
muni
particulier
en
M ~ mesurables pour toute
de sa norme naturelle, il
le sous-espace des fonc-
Nous le note-
mesure ~
est
Il contient
complet.
comme
p..
sous-espace.
Démonstration. - Commençons par le
Soient
bornée,
H
H
Or
sous-suite faiblement
une
compact métrisable.
est
relativement
compacte.
En vertu du théorème
il suffit de montrer que, de toute suite extraite de
d’Eberlein,
traire
cr(~’ (M) ~ ~)
et
M
où
cas
bornée,y
par suite,
est
on
peut
ex-
convergente.
équicontinue
donc
H y
en
tant
qu’ensemble
de tonnes linéaires
sur
H .
p~) et o-(~ ~ P~) coïncident
dans
S y qui revient
Mais ~ ~ adhérence forte de p.. dans (~ (M)) ~
sous-espace fermé de (~ (l’i)) ~ contient C(M) y ainsi
même, puisque (8 est
topologies
les
sur
ce
ou
au
un
u
est facile de le voir
qu’il
nues
sur un
compact.
H
est
encore
y". (M) .
’
M
Pour que
que, pour tout ouvert
’
(ou
étant
une
(~.) ~
suppose métrisable,
partie
on
bornée)
peut
est
vaguement convergente,
’ ’"
"
espace
"
"
~
""’
j"
topologie
C(M)
est sé-
extraire de la suite
donc aussi
une
compact quelconque. Soit
la suite ( j)
converge faiblement, il faut et
0 ~ M , la suite i(0) soit convergente.
un
la
vaguement métrisa-
On achève la démonstration à l’aide du lemme suivant :
LEMME IV.l. - Soit
dans
M
j3~) y
topologies
vaguement compacte et bornée,
sous-suite notée
convergente.
les
H ,
sur
et la boule unité de
ble. Comme
une
suite,
utilisant l ’uniforme continuité des fonctions conti-
03B20) , coïncident.
vague, et
parable,
Par
en
((~.)
P..)
’
suite bornée
il suffit
démontrer,
Pour le
suite dtouverts deux à deux
disjoints;
lim
1.
devons démontrer ~ue
nous
.
N,
J
~~
partie
Par suite
une
converge
N
un
suite de
=
forment
Le
cas
grâce
au
où
(j -+ ce) .
M
est
Pour
utilisant par
en
compact quelconque
un
dans l~ ,
de
suite, (i) est
faiblement convergente. Ce qui entraîne
donc
uniformément en j ,y
0
0
=
caractéristiques
Or les fonctions
sous-ensemble total
Cauchy faible
J
i
Pettis.
= i(0i)
.
J
défini par i(i)
p
une
:‘r,
j , 1N1 ~ ,
de
parties
de
N~
de l1
l’ élément
unif ormément en ’ . Soit
toute
(0i)
a.
~.(o.~
~ i
utilisons le critère 4° du théorème IV.2. Soit
nous
se
et par
le critère de Dunford-
exemple
ramène
où
au cas
M
métrisable,
est
lemme suivant :
LEMME IV.2. - Soit
~~I
un
bornée
A
compact. Pour qu’une partie
soit
f aiblement relativement compacte il faut et il suffit que, pour tout espace quotient
sépare métrisable M
partie faiblement relativement
D’après
le théorème de
A
~~I l’image canonique de
compacte de cet espace.
de
Krein,
soit
il suffit de démontrer le résultat
lorsque
convexe, cerclée et vaguement fermée. Nous utiliserons deux lemmes
théorie des
1.
e.
E
est
un
clée et f aiblement fermée de
de E
dans
univoquement
un
e.
son
unité de
F’
F
naturelle de
le
quotient complété
E
dans
F
LEMME IV. 4. - Soient
lement
compact séparé
continue de
C(K)
K
(e.
dans
suffit quey pour tout
faiblement compacte.
une
classiques de
F, telle
la
convexe,
application linéaire
une
que la
"
transposée
t
u’
continue
applique
’
cer~-
bi-
A .
sur
de
partie équicontinue,
il existe
dual,
espace de Banach
la boule
A
1. c.,
Il suffit de considérer la semi-norme
d’appeler
est
c.
LEMME IV. 3. - Si
u
A
une
sur
E
E9 jauge
A,
de
polaire de
muni de cette semi-norme.
A , et
L’application
satisfait à la condition voulue.
un
l.
F
compact,
c.
un
s.) quasi-complet),
F . Pour que
u
quotient métrisable
soit
K
(ou
Banach
seulement
un
espace loca-
application linéaire
faiblement compacte, il f aut et il
de
et
K,
u
u
une
restreinte à
soit
La condition nécessaire est
évidente ; pour
extraite de l’image
d’établir que toute suite
(d’après EBERLEIN).
leur d’adhérence faible
considérons
K
(f . )
Donc, soit
x N
C(K)
telle
une
a une va-
suite ;
f.(x) = f.(y) .
si
y
il suffit
suffisante,
de la boule-unité de
d’équivalence
la relation
K
sur
la condition
d’équivalence, muni de la topologie
quotient. La topologie la moins fine, rendant continues les applications f. , est
séparée, métrisable, moins fine que la topologie quotient. Par suite, K est séparé, donc compact, et aussi métrisable. Mais alors, d’après l’hypothèse, u restreint à C(K) est faiblement compacte, et par suite (u(f.)) possède au moins
Soit
une
par cette relation
K
de
quotient
le
valeur d’adhérence faible.
Enfin,
le
pace. Si
M
sures
cas
V.
qui
ne
compact
est
de
par
me-
point à l’infini.
le
chargent pas
l’es-
compactification de
isomorphe à l’hyperplan des
règle
se
Nouvelle caractérisation des a lications faiblement compactes :
La propriété de Dieudonné
THEOREME V.l. -
Soient
E
Toute
E"
l. c . ,
un e,
En . Les
tel que
vectoriel,
( 1)
compactifié
est le
M
sur
est localement
M
où
H) compacte
partie équicontinue disquée
H
et
un
sous-espace
équivalentes :
suivantes sont
propositions
.
bidual’
son
E")
est
com-
pacte ;9
( 2) Si
F
est
un e.
l.
f aiblement continue de
E
E"
applique
( 1)
E’
==>
muni de
parties
dans
F
telle que
application linéaire
applique H dans F, alors u"
est
u
u"
une
F .
(2) : u’’(H) C F signifie que u’ est continue de F’ faible
a(E’ , H) . Donc u’ transforme les parties équicontinues de
H) compactes, donc
E") compactes 9 par suite, u
====>
compacte,
(1) :
et donc
applique
Ai
Soient
E’ . Par application du lemme
tion linéaire continue
la boule unité de
H)
on
et si
complet,
s.
y
faiblement
(2)
dans
c.
munit
de
ment dense dans
de
F’ . Comme
relativement
H
u
H
pour
et
dans
E
dans
u’
F"
F ,
telle que
A’
la restriction de
T (H , E’ ) ,
sa
donc
topologie
u"
u"
à
H
compacte
et
F’
est
naturelle. Mais
applique
en
une
l’image
soit
transforme la boule unité de
de
F’
en
est
F .
H)
équicontinue, disquée, et
IV. 3, on peut trouver un Banach F ,
compacte,
T(H, E’)
E"
dans
fait
H
de
applica-
par
u’
de
partie
continue, quand
en
E
est faible-
dans
F .
u"
D’après l’hypothèse,
E"
alors
applique
dans
et par
F,
A’
suite,
est bien
E") compacte.
Nous allons
nous
intéresser
au cas
où
H
est le sous-espace de Baire de classe
1 , c’est-à-dire le sous-espace formé des limites faibles dans E" des suites de
Cauchy faibles de E . On dira que E a la propriété de Dieudonné (en abrégé (D)),
si les propositions équivalentes du théorème précédent sont vérifiées. On voit que
si E possède (D), si F est un e. 1. c. complet, toute application linéaire continue de E dans F, qui transforme suites de Cauchy faibles en suites convergentes, transforme parties bornées en parties faiblement relativement compactes.
THEOREME
plet~
et
V.2. -
u
est f aiblement
Pour toute
C(K)
dans
est
un e.
F,
=>
faible dans
1.
c.
com-
les conditions
compacte ;
A
partie
fermée G03B4 de
K,
F ;
on a
transforme toute suite croissante de fonctions continues
u
rées par 1,
(1)
continue de
F
si
exactement,
équivalentes :
suivantes sont
(1)
(2)
(3)
Plus
application linéaire
une
u
C(K) possède (D).
(3) : En effet,
C(K) .
une
de
convergente
suite faiblement
en
suite croissante
positives majo-
F .
majorée
est
suite de Cauchy
une
F , où G dési(K ) cette suite, qu’on peut
gne un ouvert réunion dénombrable de compacts. Soit
toujours supposer croissante. D’après le théorème d’Urysohn, on peut trouver une
(2) :
En
fonction continue
co
(3)
=>
effet,
n
CG .
Posons alors
tions continues
(2)
==>
SI
(2)
comprise
f =
faible est
entre
... ,
positives, bornées
( 1) : D’après
par
le théorème
0
équivalent
IV. 3,
E
1, valant
et
c.a ) . La
1,
à
suite
(f )
1
sur
K
et
0
dans
est formée de fonc-
et est croissante. D’où le résultat.
il
nous
suffit de montrer que toute
partie équicontinue disquée ~(Et 9 H) compacte est a(E’ , E") relativement
pacte, lorsque H désigne le sous-espace vectoriel engendré par les fonctions
ractéristiques de fermés qui sont des C . Or c’est exactement le résultat du
théorème IV.2.
comca-
Applications à des propriétés d’intégration et de mesure vectorielles
VI.
M
Soient
1.
e.
c.
espace localement
un
s. ;une
si, pour tout
ble
la forme linéaire
Radon
,
E
et
un
~E’*
f
03A6 , et
-intégrable,
f
telle que, si
L~( ) ;
dans
déduit
on en
f
et
est dans
f
appe-
L~( )
est dans
f
Si
d .
est scalairement
f$
que de la classe de
L~( )
$ :
de
mesure
j2014~ ~ y’ ~ d~ ainsi définie par
y’1
E’y
sur
-intégrable,
dépend
ne
muni d’une
application $ de M dans E est dite scalairement -intégrar
y’t de Et, la fonction numérique y’ 0 il? est -intégrable ;
lée intégrale faible de
lairement
compact
et 03A6
sca-
et
f03A6 d = T(f)
l’application linéaire
classe dans
sa
ait
on
f~
u
*
étant
E
un
*
quels cas 03A6
Il
,
,
il est naturel de
(L (pà))
vus
plus haut que l ’on
le critère suivant:
a
,
M
et
haut,
comme plus
B
une
(1)
(2)
(3)
É~(yà) , 4l~~(f)
Y 1
e
§*
est
(g.
)
i
Si
-
tout
sure
sur
sens
de la
e
un
filtre
compact de
I,I
Démonstration. - Soit
llJ
de
E
fonction
g ,
Baire de
L~( ) .
de
B ;
convergeant
la boule unité de
et
triction
de la boule unité
de
à
p..
B
’Îi(g.i )
tend
W(g)
vers
engendré
y’
muni de la
dans
03B20
un
E
est
élément de
est faiblement bornée dans
est donc continue de
en me-
_
au
-
E’,
P..
dans
E ,
en
effet,
a
B~/
donc
E. Soit
on
par les
induite par
norme
continue;
‘‘’
Z’image
M ,
dans
le sous-espace vectoriel de
03B20
de
llJ .
suivant
caractéristiques de fermés de
L’ application f F-> j f4l dp
désigne
u£
borné de fonctions de
fonctions
B
est
s,.
E j
vers une
topologie initiale
c,
complet,
dans E ; supposons §,e, ggg§
application faiblement compacte £e
est
l.
un e.
application scalairement -intégrable de M
_que,, pour tout fermé de Baire À (c’est-à-dire tout fermé qui
On ai t
Ù 03C6A F dP G E . Alors :
si
demander dans
E ..
est contenu- dans
THEOREME VI.l. - Soient
4l
se
~
résulter des théorèmes
va
Et
sous-espace vectoriel de
u
bornée ;
la
res-
cette restric-
tion ;
u
de
dans
P..
03B20
nues
de
pj .
Mais
dans
application
contient
v :
v
réliennes bornées
en
On
et coïncident
éléments de
Si
partie
une
B’
est
une
J
Nous
d’éléments de
$ )1
o
dans
u’(B’)
est
E
J
compacte
(lemme
$g d
de
E’ y
une
y’ eB’)
donc
de
suivant le filtre
d~
vers
(ORLICZ). E
III.
Cela
.~ y’
d~
o
signifie
con-
que
l).
particulier
en
E
Soient
un
1.
e.
c.
s.
complet,
et
(x )
dont toute sous-famille soit faiblement sommable dans
pour toute suite bornée
et
l’image
déduisons le corollaire suivant :
en
THÉORÈME VI.2
E ,
dont
est
c’est-à-dire que
compacte
vers
tend dans E
fonction boré-
une
la boule unité de
car
partie équicontinue
faiblement relativement
verge uniformément
il exiate
dans
immédiate
est
fyt
est
L~( ) ,
compacte.
relativement
partie faiblement
f
~
et
égales,
transforme les fonctions bo-
v"
et
de la boule unité de
est faiblement relativement
(3).
f
si
E ;
(2)
le
l’adhérence faible dans
Démontrons le
l’adhérence forte
donc sont
sur
compacte,
même classe que
( 1) ;
ainsi démontré
a
E’* ,
est faiblement
f ayant
lienne bornée
de
plus, et sont faiblement contiet coïncident sur
03B20 , donc u coïncide avec 03A6 sur
C0(M) , par restriction de à C0(M) , on a donc une
2014~ E . De plus v" et $ sont faiblement continues sur
à valeurs dans
lll; donc
application u
en une
E . De
à valeurs dans
p"
[~(M)~’
par continuité
prolonge
se
(X )
la suite
de
la suite
scalaires,
(x )
(À x )
une
suite
E ; alors,
est sommable dans
est sommable.
Démonstration. - Il suffit d’appliquer le théorème VI. 1 à l’espace localement
compact N muni de la mesure discrète chargeant chaque point de la masse + 1 . On
applique
et
on
nie de
(3)
aux
fonctions
1
pour
partie
finie
définies par
considère le filtre dont les éléments sont les ensembles, pour
lI ,
"~
.
,
1
-
-,
J
partie
fi-
Suivant
tend
filtre, g1
ce
donc ~ ~
tend
x
vers
~--~
n
g :
00
~. l~n
vers
1
An
en mesure sur
tout
et
compact,
x .
n
2. Mesures vectorielles.
X
DEFINITION VI .1 a -- Soient
c,
on
s. ;
appellera
plication dénombrablement
pace vectoriel de
abstraite
mesure
E
ensemble muni d’une tribu
un
(X ; 03B1)
sur
t~
additive de
à valeurs dans
toute
E,
ap-
E) l’es-
E. On notera
dans
1.
une.
ces mesures.
peut, a priori, distinguer des mesures abstraites à valeurs dans E muni de
topologies distinctes, mais il résulte du théorème VI.2 la proposition suivante :
On
PROPOSITION VI.1. - Si
valeurs dans
muni de
sa
E
est
muni de la
E
(n
E
I)
c.
toute
complet,
s.
f aible est aussi
topologie
Démonstration. - En effet,y si
une mesure
1.
e.
abstraite à
mesure
une mesure
E
à valeurs dans
initiale.
topologie
)J
un
A
est
suite d’éléments
une
n
E
abstraite à valeurs dans
est faiblement sommable de
faible,
disjoints de
toute sous-famille de
( U An))n
somme
et
est
1
somma-
ble.
De
,
plus
,
avons, dans le
nous
cas
,
THEOREME VI. 3. - Soient
qui,
à toute
sur
(K, ~.~
mesure
K
un
de Radon
telle que
~T(A)
compact, a
K ,
sur
=~((o.) ~
a vu
que, si
A
est
sulte des théorèmes
une
un
vus
plus haut que
Soient
s.
est
un
Nous le démontrerons seulement dans le
cas
où
E
E
un
C(K)
E . De
l.
e.
dans
plus,
c.
E 9
il ré-
application dénombraallons voir qu’en fait tout élémanière unique.
est
compact, 03B1 sa tribu
complet, l’ application qu’on vient de définir de
E) est une bijection.
K
de
est dans
A }2014~
sur
compact,
un
f aiblement
(car elle l’est faiblement). Nous
M(K , 03B1 , E) peut s’obtenir ainsi, et de
THEOREME VI.4. - Si
c,
K
abstraite
scalaire
mesure
bijection de
blement additive
ment de
Baire ; 1; application
tribu de
de a,
est
ensemble
sa
associe la
Exemple de mesure abstraite vectorielle :
s. complet, et
u
une application linéaire
on
théorème de Riesz.
le
scalaire,y
est
une
de
Baire, et
E)
un
E
un e.
dans
espace de Banach :
l.
Soit ~,
Radon
(y’ ~ v ~ ~
[ Si y’ ~ 0
v(A)
et
E’
dans
à toute
y’
de
tend
(~’.(K~ ~’
v’ :
Donc
.-~
et
C(K) ,
contient
u"
De plus
F
E" . De plus, si
v’
et
v’(F) cE; donc,
on
bien pour
a
Pour de telles
égales
sont
A
=
0.]
v’
Soit
03B1)
sa
(M’(K))’
(M(K))’ ;9
on
engen-
Comme
a
F
application u : C(K) --~E,
C(K) et f aiblement continues, donc égales
u
est faiblement compacte (théorème V.2),
sur
comme
A ~
et
E
A
déduit par restriction de
on en
0
03BB(A) ( A
vers
le sous-espace vectoriel de
F
adhérence dans
son
tend
03BB(A) =
donc
0,
vers
E E . Soient
dré par les
M(K) , Vy’n (A)
dans
n
transposée :
et
et
= (A) , y’)
yn
et
M(K , ~. , E) ;
élément de
E’ , associons la mesure de
déduite de la mesure abstraite y’ ~ ~ ; cette application v : E’t -~
est linéaire ; elle est continue, d’après le théorème du graphe fermé.
un
v’
une
03B1 ,
mesures
vectorielles,
on
a un
c.
s.
théorème analogue
théorème de
au
Lebesgue :
,
,
THEOREME VI.5. - Soient
E
un
e.
1.
application linéaire faiblement compacte
née de
u"(gn)
fonctions
tend dans
de
C(K)
dans
boréliennes simplement convergente
E
vers
Démonstration. - Soit
et
complet~
et
et 1 h ,
y
t
u"(gn)
gn
B’
une
tend dans
V, § 3 et § 4).
on
E
vers
et
compacta
(g )
u
une
fonction
une
suite bor-
g ; alors
de
E’ ;
u’(B’)
est
est donc contenue dans
E (~)
une
un
pares-
représentant u~(y’)
a
converge uniformément
d
Pour d’ autres
IV.l),
E ,
vers une
L (~i) ~
le théorème
un
u"(g) .
partie équicontinue
tie faiblement relativement compacte de ~{K) y elle
et si on appelle
pace
hy’ une fonction de
(voir
K
u"(g)
applications,
(cf.
voir par
vers
h
y
t
lemme III.
exemple
le
g
d
y
quand y’
E
e
B . Donc
l).
cours
de GROTHENDIECK
[2] (chap.
B2-24
BIBLIOGRAPHIE
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[2] GROTHENDIECK (Alexander). - Espaces
universitária
edição. -
da Faculdade de
vectoriels
Matemática,
Her-
topologiques. Curso de extensão
Filosofia, Ciências
São Paulo, Sociedade de
Paris,
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Letras de São Paulo. 3a
1964.
[3]
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[4]
KAKUTANI
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Concrete
representation
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(L)-spaces
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reçu le 21
p.
and the
523-537.
janvier
1969)