Trigonométrie

Trigonométrie
Xavier Hallosserie
Lycée Blaise Pascal
janvier 2016
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
janvier 2016
1 / 33
Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Chapitre 8
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Définition 1
C
Le cercle trigonométrique C de centre O a pour rayon 1 et
est orienté dans le
.
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Chapitre 8
J
O
+
I
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Définition 1
C
Le cercle trigonométrique C de centre O a pour rayon 1 et
est orienté dans le sens direct
.
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Chapitre 8
J
O
+
I
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Définition 1
C
Le cercle trigonométrique C de centre O a pour rayon 1 et
est orienté dans le sens direct (sens giratoire) .
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Chapitre 8
J
O
+
I
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Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Enroulement
J
O
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Chapitre 8
•
9π
6
•
8π
6
•
7π
6
•
6π
6
•
5π
6
•
4π
6
•
3π
6
•
2π
6
•
1π
6
•
I
+
0π
6
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Enroulement
CJ
-K
O
x
•M
I
- 2π
-
3π
2
-−π
2
-π
+
–
- −π
CJ
- π
2
-K
- − 3π
2
O
x
•M
I
- −2π
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Chapitre 8
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Propriété 1
Si M est un point du cercle trigonométrique sur lequel s’enroule un réel x alors tous les
réels de la forme
, où k est un entier relatif, s’enroulent sur le même point
M.
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Propriété 1
Si M est un point du cercle trigonométrique sur lequel s’enroule un réel x alors tous les
réels de la forme x + k × 2π , où k est un entier relatif, s’enroulent sur le même point
M.
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Chapitre 8
janvier 2016
7 / 33
Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
.
intercepte sur le cercle C
+
J
C
1 rad
O
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Chapitre 8
I
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 .
+
J
C
1 rad
O
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Chapitre 8
I
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 .
+
J
C
1 rad
O
I
Remarques :
Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont
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Chapitre 8
.
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 .
+
J
C
1 rad
O
I
Remarques :
Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles .
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Chapitre 8
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 .
+
J
C
1 rad
O
I
Remarques :
Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles .
1 rad
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 .
+
J
C
1 rad
O
I
Remarques :
Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles .
1 rad =
180
degrés
π
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Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 .
+
J
C
1 rad
O
I
Remarques :
Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles .
1 rad =
180
degrés
π
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≈ 57o 3
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Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Définition 3
Soit (O ; I, J) un repère orthonormé direct et C le
cercle trigonométrique de centre O.
M est le point de C où s’enroule le réel x.
Les coordonnées de M dans le repère (O ; I, J) sont :
C
J
M
sin x
x
cos x I
O
cos x = 0.81915
sin x = 0.57358
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Définition 3
Soit (O ; I, J) un repère orthonormé direct et C le
cercle trigonométrique de centre O.
M est le point de C où s’enroule le réel x.
Les coordonnées de M dans le repère (O ; I, J) sont :
(cos x ;
C
J
M
sin x
sin x)
x
cos x I
O
cos x = 0.81915
sin x = 0.57358
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Propriété 2
Pour tout réel x :
−1 6 cos x 6 1
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Propriété 2
Pour tout réel x :
−1 6 cos x 6 1
−1 6 sin x 6 1
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12 / 33
Propriété 2
Pour tout réel x :
−1 6 cos x 6 1
−1 6 sin x 6 1
cos (x + k2π) = cos x
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12 / 33
Propriété 2
Pour tout réel x :
−1 6 cos x 6 1
−1 6 sin x 6 1
cos (x + k2π) = cos x
sin (x + k2π) = sin x
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12 / 33
Propriété 2
Pour tout réel x :
−1 6 cos x 6 1
−1 6 sin x 6 1
cos (x + k2π) = cos x
sin (x + k2π) = sin x
cos2 x + sin2 x = 1
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Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Valeurs remarquables
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
sin x
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Valeurs remarquables
π
2
π
3
π
4
π
6
0
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
π
4
π
6
1
2
x
0
π
6
0
π
4
π
3
π
2
cos x
sin x
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Chapitre 8
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
π
4
π
6
1
2
x
0
π
6
√
2
2
π
4
0
π
3
π
2
cos x
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
π
4
π
6
1
2
x
0
π
6
√ √
2
3
2
2
π
4
0
π
3
π
2
cos x
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
0
π
6
√ √
2
3
2
2
π
4
0
π
3
π
2
cos x
sin x
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Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
0
π
6
√ √
2
3
2
2
π
4
0
π
3
π
2
1
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
0
π
6
1
√
3
2
√ √
2
3
2
2
π
4
0
π
3
π
2
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
0
π
6
1
√
3
2
√ √
2
3
2
2
π
4
0
π
3
π
2
√
2
2
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
0
π
6
1
√
3
2
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
√
2
2
1
2
π
2
sin x
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Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
0
π
6
1
√
3
2
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
π
2
√
2
2
1
2
0
sin x
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
sin x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
0
π
6
1
√
3
2
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
π
2
√
2
2
1
2
0
0
Chapitre 8
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14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
sin x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
0
π
6
1
√
3
2
0
1
2
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
π
2
√
2
2
1
2
0
Chapitre 8
janvier 2016
14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
sin x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
0
π
6
1
0
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
π
2
√
3
2
√
2
2
1
2
0
1
2
√
2
2
Chapitre 8
janvier 2016
14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
sin x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
0
π
6
1
0
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
π
2
√
3
2
√
2
2
1
2
0
1
2
√
2
2
√
3
2
Chapitre 8
janvier 2016
14 / 33
Valeurs remarquables
π
2
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
1
2
x
cos x
sin x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
0
π
6
1
0
√ √
2
3
2
2
0
π
4
π
3
π
2
√
3
2
√
2
2
1
2
0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
Chapitre 8
janvier 2016
14 / 33
Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Chapitre 8
janvier 2016
15 / 33
Définition 4
Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels
s’enroulent deux réels x et y.
Les mesures en radian de l’angle orienté
J
N
y−x
C
sont les nombres réels
entier relatif.
où k est un
On note
.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
+
M
y
x
O
Chapitre 8
I
janvier 2016
16 / 33
Définition 4
Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels
s’enroulent deux réels x et y.
Les mesures en radian de l’angle orienté
−→
−→
OM; ON
sont les nombres réels
entier relatif.
où k est un
On note
.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
+
J
N
y−x
C
M
y
x
O
Chapitre 8
I
janvier 2016
16 / 33
Définition 4
Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels
s’enroulent deux réels x et y.
Les mesures en radian de l’angle orienté
−→
−→
OM; ON
sont les nombres réels y − x + k × 2π
entier relatif.
où k est un
On note
.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
+
J
N
y−x
C
M
y
x
O
Chapitre 8
I
janvier 2016
16 / 33
Définition 4
Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels
s’enroulent deux réels x et y.
Les mesures en radian de l’angle orienté
sont les nombres réels y − x + k × 2π
entier relatif.
On note
−→
−→
−→
−→
OM; ON
+
J
N
y−x
C
M
y
où k est un
x
O
I
OM; ON = y − x + k × 2π .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
janvier 2016
16 / 33
Définition 4
Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels
s’enroulent deux réels x et y.
Les mesures en radian de l’angle orienté
sont les nombres réels y − x + k × 2π
entier relatif.
On note
−→
−→
−→
−→
OM; ON
+
J
N
y−x
C
M
y
où k est un
x
O
I
OM; ON = y − x + k × 2π .
On peut alors définir les mesures de n’importe quel angle orienté de deux vecteurs non
→
→
nuls u et v
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
janvier 2016
16 / 33
Définition 5
−→
→
−→
→
Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non
nuls et A’ et B’ les points d’intersection des
demi-droites [OA) et [OB) avec C .
B
Les mesures en radian de l’angle orienté
→
v
sont les mesures en radians de
+
l’angle orienté
.
J B0
C
y−x
A0
y
A
→
u
x
O
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
I
janvier 2016
17 / 33
Définition 5
−→
→
−→
→
Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non
nuls et A’ et B’ les points d’intersection des
demi-droites [OA) et [OB) avec C .
B
Les mesures en radian de l’angle orienté
→
→
u; v
→
v
sont les mesures en radians de
+
l’angle orienté
.
J B0
C
y−x
A0
y
A
→
u
x
O
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
I
janvier 2016
17 / 33
Définition 5
−→
→
−→
→
Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non
nuls et A’ et B’ les points d’intersection des
demi-droites [OA) et [OB) avec C .
B
Les mesures en radian de l’angle orienté
→
→
u; v
→
v
sont les mesures en radians de
l’angle orienté
−→
−→
OA’; OB’
+
.
J B0
C
y−x
A0
y
A
→
u
x
O
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
I
janvier 2016
17 / 33
Définition 5
−→
→
−→
→
Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non
nuls et A’ et B’ les points d’intersection des
demi-droites [OA) et [OB) avec C .
B
Les mesures en radian de l’angle orienté
→
→
u; v
→
v
sont les mesures en radians de
l’angle orienté
−→
−→
OA’; OB’
+
.
J B0
C
y−x
A0
y
A
→
u
x
O
I
Remarque :
On appelle
comprise dans l’intervalle
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
de l’angle
→
→
u; v
l’unique mesure de cet angle
.
Chapitre 8
janvier 2016
17 / 33
Définition 5
−→
→
−→
→
Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non
nuls et A’ et B’ les points d’intersection des
demi-droites [OA) et [OB) avec C .
B
Les mesures en radian de l’angle orienté
→
→
u; v
→
v
sont les mesures en radians de
l’angle orienté
−→
−→
OA’; OB’
+
.
J B0
C
y−x
A0
y
A
→
u
x
O
I
Remarque :
On appelle mesure principale
comprise dans l’intervalle
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de l’angle
→
→
u; v
l’unique mesure de cet angle
.
Chapitre 8
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Définition 5
−→
→
−→
→
Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non
nuls et A’ et B’ les points d’intersection des
demi-droites [OA) et [OB) avec C .
B
Les mesures en radian de l’angle orienté
→
→
u; v
→
v
sont les mesures en radians de
l’angle orienté
−→
−→
OA’; OB’
+
.
J B0
C
y−x
A0
y
A
→
u
x
O
I
Remarque :
On appelle mesure principale
de l’angle
→
→
u; v
l’unique mesure de cet angle
comprise dans l’intervalle ] − π; π] .
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Exercice 1
+
C
B
D
Dans le repère (O; I, J) ci-contre, OABC est un carré
direct de côté 4 et OAD et OEA des triangles
équilatéraux directs.
Donner la mesure principale des angles orientés :
−→
−→
−→
−→
−→
OE, OD ,
BC, BA
et
−→
−→
OC, OE ,
−→
−→
−→
−→
AB, AD ,
−→
OB, OA ,
DB, DA .
~
O
A
~ı
E
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18 / 33
Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Définition 6
Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) de l’une quelconque
de ses mesures exprimée en radian.
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Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Propriété 3
−→
−→
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
−→
−→
u et v sont colinéaires et de même sens, si et seulement si :
;
−→
−→
u et v sont colinéaires et de sens contraires, si et seulement si :
.
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Propriété 3
−→
−→
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
−→
−→
u et v sont colinéaires et de même sens, si et seulement si :
→
→
u; v
−→
= 0 + k × 2π ;
−→
u et v sont colinéaires et de sens contraires, si et seulement si :
.
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22 / 33
Propriété 3
−→
−→
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
−→
−→
u et v sont colinéaires et de même sens, si et seulement si :
→
→
u; v
−→
= 0 + k × 2π ;
−→
u et v sont colinéaires et de sens contraires, si et seulement si :
→
→
u; v
= π + k × 2π .
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Propriété 4
→ →
→
Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls u , v et w :
.
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Propriété 4
→ →
→
Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls u , v et w :
→
→
u; v
+
→
→
v; w
=
→
→
u ; w + k × 2π .
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Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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Propriété 5
Pour tout réel x :
x
−x
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
−x
cos (−x) = cos x
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Chapitre 8
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
−x
cos (−x) = cos x
sin (−x) = − sin x
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
π−x
x
−x
cos (−x) = cos x
sin (−x) = − sin x
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
π−x
x
−x
cos (−x) = cos x
cos (π − x) = − cos x
sin (−x) = − sin x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
π−x
x
−x
cos (−x) = cos x
cos (π − x) = − cos x
sin (−x) = − sin x
sin (π − x) = sin x
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
π−x
x
−x
π+x
cos (−x) = cos x
cos (π − x) = − cos x
sin (−x) = − sin x
sin (π − x) = sin x
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x
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
π−x
x
−x
π+x
cos (−x) = cos x
cos (π − x) = − cos x
sin (−x) = − sin x
sin (π − x) = sin x
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x
Chapitre 8
cos (π + x) = − cos x
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26 / 33
Propriété 5
Pour tout réel x :
x
π−x
x
−x
x
π+x
cos (−x) = cos x
cos (π − x) = − cos x
cos (π + x) = − cos x
sin (−x) = − sin x
sin (π − x) = sin x
sin (π + x) = − sin x
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26 / 33
Propriété 6
Pour tout réel x :
π
2
−x
x
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Chapitre 8
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27 / 33
Propriété 6
Pour tout réel x :
π
2
−x
x
cos
π
− x = sin x
2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
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27 / 33
Propriété 6
Pour tout réel x :
π
2
−x
x
π
− x = sin x
2
π
− x = cos x
sin
2
cos
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
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27 / 33
Propriété 6
Pour tout réel x :
π
2
π
−x
2
x
+x
x
π
− x = sin x
2
π
− x = cos x
sin
2
cos
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
Chapitre 8
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27 / 33
Propriété 6
Pour tout réel x :
π
2
π
−x
2
+x
x
x
π
− x = sin x
2
π
− x = cos x
sin
2
cos
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cos
Chapitre 8
π
+ x = − sin x
2
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27 / 33
Propriété 6
Pour tout réel x :
π
2
π
−x
2
+x
x
x
π
− x = sin x
2
π
− x = cos x
sin
2
cos
π
+ x = − sin x
2
π
+ x = cos x
sin
2
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cos
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27 / 33
Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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28 / 33
Propriété 7
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels
et
où k ∈ Z.
x
a
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels
et
où k ∈ Z.
a
x
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29 / 33
Propriété 7
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π
et
où k ∈ Z.
x
a
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels
et
où k ∈ Z.
a
x
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Chapitre 8
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29 / 33
Propriété 7
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π
x = −a + k2π
et
où k ∈ Z.
x
a
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels
et
où k ∈ Z.
a
x
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Chapitre 8
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29 / 33
Propriété 7
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π
x = −a + k2π
et
où k ∈ Z.
x
a
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π
et
où k ∈ Z.
a
x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal)
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29 / 33
Propriété 7
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π
x = −a + k2π
et
où k ∈ Z.
x
a
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π
x = π − a + k2π
a
et
où k ∈ Z.
x
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29 / 33
Sommaire
1. Le cercle trigonométrique
1.1 Enroulement de la droite numérique
1.2 Le radian
1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.4 Valeurs remarquables
2. Mesures d’un angle orienté
2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté
2.2 Propriétés des angles orientés
3. Trigonométrie
3.1 Cosinus et sinus d’angles associés
3.2 Équations trigonométriques
3.3 Équations trigonométriques
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30 / 33
Propriété 8
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π et
x = −a + k2π où k ∈ Z.
x
a
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π et
x = π − a + k2π où k ∈ Z.
a
x
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Exemples :
π
L’équation trigonométrique cos x = cos
6
π
π
x = + k2π et x = − + k2π où k ∈ Z.
6h
6
i
a pour solutions dans R :
Dans 0 ; 2π il n’y a plus que deux solutions :
π
π
π
12π
11π
x=
et x = − + 2π = − +
=
6
6
6
6
6
π
6
−π
6
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2π
a pour solutions dans R :
L’équation trigonométrique sin x = sin
3
2π
2π
6π
2π
4π
x=
+ k2π et x = π −
+ k2π =
−
+ k2π =
+ k2π où k ∈ Z.
3
3
3
3
3
h
i
Dans 0 ; 2π il n’y a plus que deux solutions :
2π
4π
x=
et x =
3
3
2π
3
4π
3
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