L3-PHYSIQUE Examen de Mécanique Quantique Première session – Mai 2016 3 heures, documents manuscrits autorisés (cours et TD), pas de smartphone Exercice 1 : Oscillateur harmonique On considère un oscillateur harmonique décrit par l’Hamiltonien Ĥ = Après le changement de variables q̂ = les opérateurs p mω ~ mω 2 2 P̂ 2 + X̂ 2m 2 X̂ et p̂ = â = √ 1 P̂ , m~ω q̂ + ip̂ √ , 2 (1) cet Hamiltonien s’écrit Ĥ = ~ ω2 (p̂2 + q̂ 2 ). On définit N̂ = â+ â (2) 1. Rappeler les actions des opérateurs Ĥ, â+ et â sur les états propres |ni de l’opérateur N̂ de valeur propre n. 2. Trouver les deux fonctions propres φn (x) = hx|ni de plus basses énergies, explicitement comme des variables de x, grâce aux expressions de â+ et â dans l’espace réel. Exercice 2 : Particule ferromagnétique On considère une particule ferromagnétique décrite par l’Hamiltonien effectif b Ĥ = aJˆz + Jˆz2 ~ (3) où a et b sont deux constantes positives ou nulles ayant les dimensions d’une pulsation. Le système a trois états stationnaires correspondant au moment cinétique j = 1 et formant une base {| + 1i, |0i, | − 1i} constituée des trois vecteurs propres de Jˆz tels que Jˆz |mi = ~m|mi avec m = 0, ±1. 1. Donner la représentation matricielle dans la base de chaque terme du Hamiltonien. Quels sont les niveaux d’énergie du système et pour quelle valeur du rapport ab y a-t-il dégénérescence du niveau fondamental ? ~ associé au moment cinétique, et γ le rapport gyromagnétique 2. On considère le moment magnétique M ~ dans la direction ~u(θ, φ) les deux angles du repère correspondant. On applique un faible champ statique B sphérique. Exprimer en fonction des composantes de J~ et des angles (θ, φ) l’énergie d’interaction W du ~ Ecrire la matrice représentant W dans la base des trois états propres. On moment magnétique avec B. donne l’expression des matrices Jˆx et Jˆy : 0 1 0 0 −i 0 ~ ~ Jˆx = √ 1 0 1 Jˆy = √ i 0 −i (4) 2 2 0 1 0 0 i 0 3. On suppose que b = a et que la direction de ~u est parallèle à Ox. Calculer les énergies et les états propres de W dans le sous-espace des deux états dégénérés. Exercice 3 : Triple puits de potentiel On considère une particule dans un triple de puits de potentiel. On désigne par |ii (i = 1, 2 ou 3) l’état de la particule lorsqu’elle se trouve dans le puits numéro i et on suppose que hi|ji = δi,j . On introduit dans le système un processus qui permet à la particule de passer d’un puits à l’autre par effet tunnel avec une amplitude t > 0, ce qui conduit à l’Hamiltonien : Ĥ = t (|1ih2| + |2ih1| + |1ih3| + |3ih1| + |2ih3| + |3ih2|) (5) 1. Démontrer que l’opérateur de permutation P̂ défini par P̂ |1i = |2i, P̂ |2i = |3i et P̂ |3i = |1i commute avec l’Hamiltonien. 1 2. Que vaut P̂ 3 ? En déduire les valeurs propres de P̂ . 3. Déterminer les vecteurs propres associés. 4. En déduire les valeurs propres de Ĥ et leur dégénérescence. Exercice 4 : Evolution temporelle On considère un système à deux niveaux dont le Hamiltonien, dans la base {|+i, |−i} s’écrit A B Ĥ = ~ B −A On donne les valeurs propres et les vecteurs propres de Ĥ : ( √ E+ = ~ A2 + B 2 |χ+ i = cos θ2 |+i + sin θ2 |−i √ E− = −~ A2 + B 2 |χ− i = − sin θ2 |+i + cos θ2 |−i avec cos θ = √ A , A2 +B 2 sin θ = √ B A2 +B 2 et tan θ = (6) (7) A B. 1. Le vecteur d’état |φ(t)i au temps t peut se décomposer sur la base {|+i, |−i}, |φ(t)i = c+ (t)|+i + c− (t)|−i. Ecrire le système d’équations différentielles couplées auquel obéissent les composantes c± (t). 2. En déduire que ces composantes vérifient l’équation différentielle ω2 d 2 c± + c± = 0 dt2 4 (8) √ avec ~ω la différence d’énergie entre les deux niveaux et ω = 2 A2 + B 2 . 3. On décompose à présent |φ(t = 0)i sur la base {|χ+ i, |χ− i} comme |φ(t = 0)i = λ|χ+ i + µ|χ− i avec |λ|2 + |µ|2 = 1. Montrer que c+ (t) s’écrit : ωt θ θ − µei 2 sin 2 2 4. On suppose que c+ (0) = 0. En déduire λ et µ à une phase près, ainsi que c+ (t). 5. Montrer que la probabilité de trouver le système au temps t dans l’état |+i est ωt ωt B2 2 2 2 p+ (t) = sin θ sin = 2 sin . 2 2 A +B 2 c+ (t) = λe−i ωt 2 cos (9) (10) 6. Montrer que si c+ (0) = 1, alors c+ (t) = cos ωt 2 − i cos θ sin ωt 2 . (11) 7. En déduire p+ (t) et p− (t) et vérifier la compatibilité du résultat avec celui de la question précédente. Exercice 5 : Etat quantique d’un atome d’hydrogène On considère un atome d’hydrogène formé d’un noyau fixe de charge e et d’un électron de masse m et de charge −e. L’opérateur Hamiltonien de cet électron en coordonnées sphériques s’écrit : L̂2θ,φ ~2 1 ∂ e2 2 ∂ Ĥr,θ,φ = − r + − 2m r2 ∂r ∂r 2mr2 r Dans cette expression, L̂2 est l’opérateur associé au carré du moment cinétique orbital, et le coefficient 1/(4π0 ) de l’énergie potentielle a été incorporé dans e2 . On place l’électron dans un état quantique décrit par la fonction d’onde : Ψ(r, θ, φ, t) = A(t)e−ρ/2 + B(t)(1 − ρ/4)e−ρ/4 Dans cette expression, A(t) et B(t) sont des nombres complexes fonctions uniquement du temps, et la distance 2 radiale r a été remplacée par la variable adimensionée ρ = 2me ~2 r. 1. Que vaut L̂2 Ψ pour cet état quantique ? Quel est le nombre quantique orbital l de cet état ? 2. Ecrire l’opérateur Ĥ en fonction de la variable adimensionée ρ. On fera apparaître l’énergie caractéristique 4 R = me 2~2 . 3. Calculer Ĥ Ψ pour cet état quantique. Est-ce un état stationnaire ? 4. En appliquant l’équation de Schrödinger, établir les équations différentielles temporelles sur A(t) et B(t), puis donner leur solution. 5. Rappeler les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. A quoi correspond l’état quantique Ψ ? 6. Calculer la densité de probabilité de présence |Ψ|2 . A quelle fréquence oscille-t-elle ? A quoi correspond cette fréquence ? 2