Mesure des grandeurs physiques

Les buts de cet amphi
Comprendre la signification physique du formalisme mis en place
Quelle est l’information acquise lors d’une mesure ?
Mesure des grandeurs physiques
Formulation du principe 3, d’abord sous une
forme « faible », puis sous sa forme « forte »
Exploiter le lien entre « quantités physiques » et « opérateurs »
Valeurs propres et fonctions propres,
résolution de l’équation de Schrödinger
Chapitre 3
+
§3.3 du chapitre 4
2
Mesures de position et d’impulsion
Particule ponctuelle de fonction d’onde
(x)
Densité de probabilité pour la position
dP =: | (x)|2 dx
x⇥ =
x | (x)|2 dx
interférence d’électrons
(Hitachi)
| (x)|2
1.
La mesure des grandeurs physiques :
position, impulsion, énergie, …
x
Mesure d’impulsion, par exemple par une expérience de temps de vol
(x)
TF
⇥ ⇥(p)
(p
dP = | (p)|2 dp
p⇥ =
qui s’écrit aussi (isométrie + dérivation) : p⇥ =
p | (p)|2 dp
(x)
d
dx
i dx
px )
Structure commune en termes d’opérateurs
La mesure d’une grandeur physique
Valeur moyenne de la position
x⇥ =
Principe 3 (version « faible »)
(x) [x̂ (x)] dx
: multiplication par
x
À toute grandeur physique
x̂
= h | x̂ i
(x) ⇥ x (x)
, on peut associer une « observable » Â
 : opérateur linéaire hermitien
agissant dans l’espace des fonctions d’onde
Valeur moyenne de l’impulsion
p⇥ =
p̂
(x) [p̂ (x)] dx
à
= h | p̂ i
x (à
hai =
d (x)
(x) ⇥
i dx
1
|
=
2i
Comment construire l’opérateur
position
près)
p̂
Rappel du produit scalaire « naturel » dans L2 : h
quantité physique
Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l’état
et qu’on mesure A sur chacun, la moyenne
des résultats vaut
p̂x : dérivation par rapport
Z
⇤
(x)
h
i
(x) Â (x) dx = h | Â i
Opérateur hermitien :
Z
⇤
1 (x)
2 (x)
dx
h
1
| Â
2i
= hÂ
1
|
2i
ce qui entraîne en particulier que hai est réel
associé à A ?
action de l’opérateur associé sur
(⇤r)
multiplication par
p̂x =
impulsion
i x
p⇤ˆ =
énergie totale
i
p
E=
+ V (⌃r)
2m
moment cinétique
⌅ = ⌅r
L
Lz = xpy
pˆ2 =
Ĥ =
=
ypx
i z
2.
2
p̂2
+ V (⌃rˆ)
2m
2
2m
opérateur moment
⌅ˆ = ⌅rˆ
L
cinétique
p⌅
p̂z =
i y
⇤
Hamiltonien
2
p̂y =
L̂z =
i
Valeurs propres et fonctions propres d’un opérateur
+ V (⌅r)
p⌅ˆ
x
y
y
x
⇥
Définition générale
L’exemple de l’opérateur impulsion
(x) est une fonction propre de l’opérateur  , associé à une
On dit que
quantité physique A, si cette fonction n’est pas identiquement nulle et si
(x) = a
Â
Valeurs propres q et fonctions
propres
p̂x q (x)
=q
p̂
(x)
q (x)
=q
d q
iq
=
dx
Le nombre aα (même dimension que A)
est la valeur propre associée à
(x)
q (x) de l’impulsion
p̂ =
d
:
i dx
q (x)
q (x)
q
= C eiqx/
Les fonctions propres de l’impulsion sont les ondes planes.
Le spectre de l’impulsion (ensemble de ses valeurs propres)
est l’ensemble des nombres réels R .
Théorème spectral : en dimension finie, un opérateur hermitien (du type
de ceux qui sont associés aux grandeurs physiques) est diagonalisable :
on peut former une base de l’espace de fonctions avec ses vecteurs propres.
Subtilités avec notre espace de fonctions, qui est de dimension infinie...
Les fonctions propres de l’hamiltonien
V (x)
Le puits carré infini
Fonctions qui vont jouer un rôle crucial pour étudier l’évolution des systèmes
Ĥ
2
2m
d
2
E (x)
dx2
+ V (x)
E (x)
=E
E (x)
E (x)
=E
E (x)
Ĥ
E (x)
=E
E (x)
pour simplifier les notations:
(à une dimension)
La résolution de cette équation passe en général par un traitement numérique.
E (x)
x
0
L
Il existe cependant quelques cas solubles analytiquement :
potentiel harmonique
potentiel coulombien
potentiel constant par morceau
Sandwich de
Al Ga As – Ga As – Al Ga As
conditions aux limites :
continue
(x)
Les valeurs propres de l’énergie du puits carré infini
Si on choisit E réelle négative : pas de solution
Pour E réelle et positive : posons k =
2
2m
(x) = E (x)
(à vérifier en exercice)
Les « états stationnaires » du puits carré infini
Les fonctions propres de l’hamiltonien s’écrivent donc
⇥n (x) =
E = ~2 k 2 /2m
2mE/
(x) =
s’écrit alors
sin(kn x)
L
k 2 (x)
Normalisation :
0
Forme générale des solutions :
Limite en x =
0 :! ⇥(0) = 0
Limite en x = L :! ⇥(L) = 0
⇤(x) =
sin(kx) + ⇥ cos(kx)
2
n (x)|
|
kn = n /L
dx = 1
=
2/L
L’ensemble des n forme une « base » orthonormée de l’espace des
fonctions d’onde telles que (0) = (L) = 0
=0
L
orthonormalité :
sin(kL) = 0
avec
⇥n (x) ⇥⇤ (x) dx =
n,⇤
0
sin(kL) = 0
développement d’une fonction d’onde sur cette « base » :
+
Les vecteurs d’onde k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes :
n
k = kn =
L
n = 1, 2, . . .
(x) =
2
2 2
2mL2
Émission de lumière par un puits quantique
E
E1 =
⇥n (x)
n = 1, 2, . . .
n=1
|Cn |2 = 1
similaire à un développement d’une fonction périodique en série de Fourier
Bilan pour le puits carré infini
E n = n E1
n (x)
n=1
et les valeurs propres pour l’énergie sont « quantifiées » : En = n
2
+
Cn
E3
nitrure de gallium
E2
2 2
2mL2
E2
sin(n x/L)
E1
x
0
Ordres de grandeur
•  un électron dans un puits quantique de largeur L =
L
L=12 couches
atomiques
E1
0
L=6 couches
atomiques
L
6 10-9 m
E1 = 10 meV
•  un nucléon (proton ou neutron) dans un noyau de diamètre L = 4 10-15 m
E1 = 10 MeV
Photo: P. Reiss/CEA
Préambule 1 : lien entre « résultats
de mesure » et « valeurs propres »
3.
Le résultat de la mesure de A est certain (ou prédéterminé)
si et seulement si l’état (x) est un état propre de l’observable Â
Preuve du sens direct de l’équivalence
Quantité physique A, décrite par l’observable Â
:
Si
discret (ce qui exclut l’opérateur « impulsion »)
Base orthonormée de fonctions propres
pour tout
(x) =
C
E2
E1
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique A!
sur une particule préparée dans l’état (x)
Quels résultats pour une mesure individuelle ?
Spectre de valeurs propres a
E3
⇥⇥ (x) ⇥ (x) dx =
:
(x) avec
,⇥
|C |2 = 1
Préambule 1 (suite)
(x) =
↵ (x) ,
alors le résultat de la mesure de A est certain.
a⇥ =
(x) [Â
a2 ⇥ =
(x) [Â2
(x)] dx =
(x)] dx = a2
(x) [a
(x)] dx = a
a2 = ⇥a2 ⇤
(⇥a⇤)2 = 0
Par exemple, un état propre de l’hamiltonien est un état d’énergie bien définie.
Préambule 2 : qu’attend-on d’une mesure ?
Preuve du sens réciproque de l’équivalence
On suppose que la particule est dans un état (x) tel que la quantité A
est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure
a⇥ =
Alors,
a2 = 0
(x) [Â (x)] dx
La mesure d’une quantité physique fournit un nombre (ou un ensemble
de nombres) qui apporte une information sur le système étudié.
Tailles d’une population :
taux d’apparition
(x) est état propre de  avec la valeur propre a⇥ .
taille
Démonstration :
0=
=
(Â
(x) [(Â
[(Â
⇥a⇤) (x) = 0
⇥a⇤)2 (x)] dx
⇥a⇤) (x)] [(Â
⇥a⇤) (x)] dx
 (x) = a⇥ (x)
Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état
de la particule est un état propre de  . Le résultat est la valeur propre associée.
Pour que l’information fournie ne soit pas factice, il faut que les mesures
d’une même quantité (ici la taille d’un individu donné) à deux instants
« très proches » donnent le même résultat.
« très proches » : l’état du système n’évolue pas
de manière significative entre les deux mesures.
Quel est l’état de la particule après une mesure ?
Exemple d’une mesure
d’énergie dans un puits
à l’instant t1
E2
E1
une nouvelle
mesure de l’énergie sur le même
système à un
instant t2 « très
proche » de t1
doit donner
avec certitude
le résultat ε#
mesure de
l’énergie :
résultat ε#
E3
Quelles sont les
valeurs possibles
de ε ?
Quel est l’état
après mesure ?
état initial
(x) =
Cn n (x)
n
Les résultats possibles pour une mesure individuelle
cf. préambule 2 :
à l’instant t2
Si on mesure la quantité physique A, les seuls résultats de mesure possibles
sont les valeurs propres de l’opérateur  .
Si la particule est avant la mesure dans un état quelconque
=
C
alors le résultat sera aléatoirement une des valeurs propres aα.
Cette loi se déduit de :
(i) ε soit une des valeurs propres En de l’opérateur énergie
mesure à t1 :!
n de l’opérateur énergie à l’instant
(x) ⇥
n (x)
Avant la mesure :
(x) =
⇥
(x) = a
(x)
avec
|C |2 a
[Ân ] dx = . . . =
|C |2 an
= |C |2
Qu’apprend-on dans une mesure ?
(x)
Une mesure individuelle, sur une particule donnée, donne un renseignement
sur l’état du système après mesure :
aα supposée ici non dégénérée
C
[Â ] dx = . . . =
⇥
Loi de probabilité pour aα : p
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique A , d’observable Â
Â
a⇥ =
an ⇥ =
t2
Version forte du principe de la mesure
Valeurs propres aα et fonctions
propres orthonormées ψα de Â
|C |2 = 1
avec
Quelle est la loi de probabilité correspondante ?
Pour que le résultat à l’instant t2 soit avec certitude égal à ε, il faut (cf.
préambule 1) que:
(ii) le système soit dans un état propre
de  , alors le
Si la particule est avant la mesure dans l’état propre
résultat est avec certitude la valeur propre aα.
inconnu
|C | = 1
2
Principe 3 (version « forte »)
Le résultat a d’une mesure individuelle de la grandeur physique A
est nécessairement une des valeurs propres aα de Â
La probabilité pα de trouver le résultat aα est p = |C |2
Juste après une mesure ayant donné le résultat aα , la fonction d’onde
(x)
de la particule est
p = |C |2
Â
=
appareil
de mesure
(classique)
0
C
a
1
a
2
a
3
Si le résultat est α2,
l’état après
cette mesure est :
=
100
On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l’état
On sait seulement que p 2 n’était pas nulle…
La fonction d’onde est modifiée de manière irréversible par la mesure :
« réduction du paquet d’ondes »
2
Qu’apprend-on dans une mesure (II) ?
Si on dispose de N particules préparées dans le même état
inconnu,
on peut en effectuant une fois la mesure de A sur chaque particule déterminer
les probabilités pα#
4.
inconnu
appareil
de mesure
(classique)
0
=
aα1"
p1=N1/N
aα2"
p2=N2/N
aα3"
p3=N3/N
Etats propres de l’hamiltonien
et
résolution de l’équation de Schrödinger
100
C
i
À partir de p
= |C |2 , on peut reconstruire
(au moins partiellement)
p̂2
+ V (x̂, t)
2m
Les états propres de l’hamiltonien sont des « états stationnaires »
On détermine les états propres de l’hamiltonien : Ĥ n (x) = En
n (x)
n (x) forment une « base » de l’espace des fonctions d’onde
Fonction d’onde initiale de la particule :
Ĥ =
On se limite ici au cas où V ne dépend pas du temps : V (x̂, t) = V (x̂)
Évolution d’un état quelconque
Les états
⇥
= Ĥ
⇥t
(x, 0) =
Cn
Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 :
(x, 0) =
n (x)
alors la solution de l’équation de Schrödinger à l’instant t est
(x, t) =
n (x)
n (x) e
iEn t/
n
(x, t) =
Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut :
Cn
n (x) e
iEn t/
n
⇤
(x, t) proposé est-il solution de i
= Ĥ (x, t)?
⇤t
⇥
⇤
iEn
=i
Cn n (x)
e iEn t/ =
Cn En n (x) e iEn t/
Démonstration : le
⇥
i
⇥t
n
Ĥ (x, t) =
n
Cn Ĥ
n
n (x)e
iEn t/
=
Cn En
n (x) e
iEn t/
n
La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque
toujours par la détermination des fonctions propres de l’énergie.
La probabilité de présence n’évolue pas : | (x, t)|2 = | n (x)|2
et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique
a⇥(t) =
=
(x, t)[Â (x, t)] dx
n (x)[Â n (x)]
dx
Un état d’énergie bien définie n’est pas « en mouvement » !
Le chat de Schrödinger
Principe de superposition : si
et
« éligibles », alors
Le rôle de la mesure
sont des fonctions d’onde
l’est aussi.
On ouvre la boîte et on regarde l’état de santé du chat
Électron dans l’expérience des trous d’Young :
« passé dans le trou de gauche » ET « passé dans le trou de droite »
Une chance sur deux de le trouver en vie…
Y avait-il moyen de prévoir ce qui allait arriver ?
Non ! il ne s’agit pas d’une probabilité classique
comme dans un tirage à « pile OU face »
Le dispositif diabolique
de Schrödinger :
Quand le chat meurt-il ?
Tant qu’on n’a pas fait la mesure, l’état du système (chat+ atome+
cyanure) est une superposition cohérente des deux situations
« vivant » ET « mort » : on pourrait en principe reconstruire ψ
Après un temps bien choisi :
ET quantique
La décohérence
Pour un système macroscopique, couplé à l’environnement, la cohérence
quantique entre les états « vivant » et « mort » disparaît très rapidement :
ET quantique
décohérence
OU classique
Quels sont les plus gros objets sur lesquels on va pouvoir observer
le « ET » quantique ?
interférences de grosses molécules (virus ?), cohérence quantique
dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), …
importance pratique considérable pour le développement
de futurs « ordinateurs quantiques »…
OU classique
(0)