grandeurs sinusoidales

EP1
Les grandeurs sinusoïdales
TELT
L’énergie électrique produite par les alternateurs et distribuée en France (EDF)
crée naturellement un courant de type alternatif symétrique dont la loi de
variation dans le temps est sinusoïdale.
C’est une tension sinusoïdale qui existe aux bornes d’une prise de courant.
1) Equation d’une grandeur sinusoïdales
Un courant sinusoïdal a une équation mathématique de la forme suivante :
i = I. 2 .sin ( ωt + ϕ )
La valeur efficace I de
l’intensité du courant
en ampères (A)
Valeur instantanée
du courant i
La pulsation ω du courant
ω = 2.π.f
La phase à l’origine ϕ du
courant en radians (rad)
en radians par seconde
(rad/s)
De même pour une tension sinusoïdale : u = U. 2 .sin ( ωt + ϕ )
Ainsi pour définir complètement une grandeur sinusoïdale, trois caractéristiques
sont nécessaires :
♦ La valeur efficace (en V, ou en A, selon s’il s’agit d’une tension ou d’un
courant),
♦ La pulsation (en rad/s) : ω = 2.π.f,
♦ La phase à l’origine θ (en rad).
2) Le vecteur de Fresnel
La projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation (à vitesse constante ω) sur
un repère orthogonal génère une sinusoïde. Nous pouvons utiliser un vecteur pour
représenter une grandeur sinusoïdale, il s’agit du vecteur de Fresnel.
2.1) Exemple 1
La tension u = 160.
2 .sin (100πt -
π
4
) est représenté par un vecteur
Origine trigonométrique
Les directions et sens sont définis par la phase à l’origine :
θ=-
π
4
U
ϕ
rad = - 45°
Le module du vecteur correspond à la valeur maximale :
Umax = 160.
2 ⇒ U = 4,52 cm
(échelle 1cm ⇔ 50V)
U
U ⇔ u = 160.
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ω
1cm ⇔ 50V
2 .sin (100πt -
π
4
)
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2.2) Exemple 2
La tension u = 230.
2 .sin (100πt +
π
TELT
U
) est représenté par un vecteur
3
Les directions et sens sont définis par la phase à l’origine :
θ=+
π
3
1cm ⇔ 50V
U
rad = + 60°
ω
Le module du vecteur correspond à la valeur maximale :
Umax = 230.
ϕ
(échelle 1cm ⇔ 50V)
2 ⇒ U = 6,5 cm
Origine trigonométrique
U ⇔ u = 230.
π
2 .sin (100πt +
)
3
3) Représentation graphique d’une grandeur sinusoïdale à
partir du vecteur de Fresnel
V1 = V. 2 sin (ωt + ϕ)
Si Vmax = 3V et si on pose ϕ = 0 et ωt = α (en rad)
On a donc :
Echelle :
V1 = 3.sin α
π
1cm ⇔
6
1cm ⇔ 1V
rad
V1 (V)
π/2
2π/3
π/3
3π/4
π/4
5π/6
Aπ
/6
α
p
0
B
0
2π/3
π/3
π/6
0
π/4
π/2
5π/6
3π/4
7π/6
π
4π/3
5π/4
5π/3
3π/2
11π /6
2π
7π/4
11π/6
7π/6
7π/4
5π/4
5π/3
4π/3
3π/2
T = 2π rad = 360°
Exemple
à
π
6
nous avons le triangle O A B
sin α =
AB
OA
AB = OA . sin α
v = Vˆ . sin α
Angle en
radians
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
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Angle en
degrés
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
Angle en
radians
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
Angle en
degrés
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
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α (rad)
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4) Mesures de valeurs efficaces et valeurs moyennes
4.1) Définition
Intensité moyenne :
L’intensité moyenne d’un courant variable est égale à l’intensité du courant
continu (donc constant) qui transporte pendant la même durée la même quantité
d’électricité.
Intensité efficace :
L’intensité efficace d’un courant variable est l’intensité que devrait avoir un
courant continu (constant) pour produire dans le même résistor, le même
dégagement de chaleur pendant la même durée de passage du courant.
4.2) La valeur moyenne
Elle est notée par le symbole de la grandeur (en majuscule) surmonté d’une barre
U pour une tension ou I pour un courant.
Prenons le courant périodique carré de la figure ci-dessous, sa valeur moyenne
est : I = 1,5A
i=f(t)
1A / div
1s / div
i
I : valeur moyenne de i
i
3
A1
A
t
A2
0
A1 =15
T
t
0
A2 =3
T
I = 1,5A
I = A1− A2 = 15−3 =1,5
T
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4.2.1 Mesure de la valeur moyenne
Le voltmètre, ou l’ampèremètre, quelle que soit la nature du courant, devra être :
-
Soit analogique de type magnéto-électrique
Soit de type numérique de tout type sur la position « DC » (ou --- )
Symbole d’un appareil
magnéto-électrique
4.3) La valeur efficace
Elle est notée par le symbole de la grandeur (en majuscule)
U ou I
La valeur efficace est très importante, c’est toujours elle qui est précisée sur
les récepteurs ou les générateurs électriques
Prenons le courant périodique carré de la figure ci-dessous. Sa valeur efficace
est I ≈ 2,45A
i=f(t)
i²
9
A1
1
1A / div
1s / div
Ieff =I =
I=
0
valeur moyenne de i²
t
A1
1
T=8s
I = 6 ≈ 2,45A
A1+ A2 = 45+3 = 6
T
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4.3.1 Mesure de la valeur efficace
Le voltmètre, ou l’ampèremètre, quelle que soit la nature du courant, devra être :
-
Soit analogique de type ferromagnétique
Soit de type numérique de type RMS (ou TRMS) AC + DC sur a position
« AC » ou « ~ ».
Symbole d’un appareil
ferro-magnétique
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