Exercice I (6 pts). Exercice II (7 pts): champ champ électrique
publicité
Devoir n° 01 Les rappels mathématiques, l’électrostatique et la magnétostatique A remettre mettre avant jeudi, le 15/10/2015 a 10 : 00 AM --------------Note/20--------------- Exercice I (6 pts). → coordonnées sphériques sphériques, l’opérateur différentiel nabla, ∇ , est le suivant : → ∂ → 1 ∂ → → → → → → 1 ∂ → ur + uθ + ∇= u ϕ . Soit A un vecteur quelconque: A = A u r + A u θ + A u ϕ r θ ϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ Démontrer que : En ∂A → → 1 ∂ ϕ 1 ∂ 1 ∇• A = ( r 2 Ar ) + (sin θ Aθ ) + 2 ∂ r r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ r → → ∇∧ A = 1 r sin θ ∂A ∂ ( Aϕ sin θ ) − θ ∂ϕ ∂θ → 1 u r + r sin θ et que ∂A → ∂Ar → 1 ∂ ∂ − sin θ ( rAϕ ) u θ + (rAθ ) − r u ϕ ∂r r ∂r ∂θ ∂ϕ Exercice II (7 pts): champ électrique - hors axe - d’un anneau. Un anneau de rayon R, situé dans le plan Oxy, de centre O, d'axe Oz est uniformément chargé par une densité linéique homogène, λ, algébrique c.-à-d. λ>0 ou λ< 0. Un élément infinitésimal de charge dq est → repéré sur l’anneau par le vecteur position r ' faisant un angle α arbitraire avec l’axe Ox. Le vecteur → position r repère un point P quelconque dans l’espace. λ O P (D) On pose a = r/R : rayon relatif, r varie allant de 0 à l’∞, a = 1 à r = R. → 1. Etablir la forme intégrale de l’expression du champ électrostatique E créé au point P par l’anneau uniformément chargé. 2. En déduire la grandeur du champ dans le plan Oxy de l’anneau au point de coordonnées a=1/2,θ =π/2 en fonction de kλ/R où k=1/(4πε0). 3. Tracez alors E=f(a) avec a compris entre 0 et 2 par pas de 0,1 etθ =π/2. Page 1 sur 2 Prof. : B. SAAD Exercice III (7 pts). Lee Potentiel vecteur d’un dipôle magnétique. Considérons une boucle de courant circulaire, de rayon a,, parcourue par un courant I stationnaire dans le sens trigonométrique. La boucle est située dans le plan Oxy. z → uϕ → → uθ ur P → → ' r r → θ ur I α → ϕ a y uϕ → dl x 1. Démontrer que le potentiel vecteur en un point P loin de la boucle peut se mettre sous la forme → → → → µ m∧ ur A= 0 où m est le moment magnétique. Donner l’expression de m et son unité. 4π r 2 → → 2. Calculez le vecteur densité de flux magnétique, B , créé par la boucle au point P utilisant le → potentiel vecteur A . → → → → 3. Calculer ∇ ∧ A et ∇ ∧ B . ***** Page 2 sur 2 Prof. : Bendaoud SAAD
