Correction : 36 p. 83 p est un nombre premier, p ≥ 3. On considère l’équation : (E) ci-dessous dans laquelle les inconnues x et y sont des nombres entiers naturels non nuls. (E) : x2 + y2 = p2 a) p est un nombre premier tel que p ≥ 3. Donc, p est impair, soit p2 est impair. De plus, p2 est la somme de deux entiers x2 et y2. Ils sont donc de parité différente. Or, x et x2 sont de même parité. On peut donc conclure que x et y sont de parité différente. b) Supposons par l’absurde que x est divisible par p, soit x ≡ 0 [p]. Donc : x2 ≡ 0 [p]. D’où : y2 = p2 - x2 ≡ 0 - 0 [p] ≡ 0 [p] 2 p divise donc y . D’après l’exercice 32, on conclut que : p | y. Il existe un entier naturel k non nul tel que : y = kp. De plus, il existe un entier naturel k’ non nul tel que : x = k’p (puisque p | x). D’où : x2 + y2 = p2 k’2p2 + k2p2 = p2 : ce qui est impossible k’2 + k2 = 1 Donc, p ne divise pas x. On montre de même que p ne divise pas y. c) On considère d un diviseur commun positif de x et y. Par combinaison linéaire, d divise x2 + y2, soit d divise p2. Les diviseurs positifs de p2 sont 1, p et p2. d est donc différent de p et p2, sinon p diviserait x et y. Donc : d = 1. Ainsi : PGCD (x ; y) = 1. x et y sont bien premiers entre eux. Correction : 36 p.83 1/2